山東省沂水縣2024-2025學年高三下學期第二次段考數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數(shù)和復數(shù)，則為A． B． C． D．2．集合，則（）A． B． C． D．3．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積（）A． B． C． D．4．設(shè)為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且，則直線的斜率的最大值為（）A．1 B． C． D．5．的內(nèi)角的對邊分別為，若，則內(nèi)角（）A． B． C． D．6．函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A． B．C． D．7．復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A． B． C． D．8．下列說法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．“若，則”的逆命題為真命題C．，使成立D．“若，則”是真命題9．已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值是A． B． C．1 D．410．關(guān)于函數(shù)，有下述三個結(jié)論：①函數(shù)的一個周期為；②函數(shù)在上單調(diào)遞增；③函數(shù)的值域為.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．①② B．② C．②③ D．③11．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A． B．C． D．12．設(shè)（是虛數(shù)單位），則（）A． B．1 C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫（單位：℃）依次為8，，，0，2，則該組數(shù)據(jù)的標準差為_______.14．函數(shù)過定點________.15．四邊形中，，，，，則的最小值是______.16．在中，角的平分線交于，，，則面積的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，令，則稱是“極差數(shù)列”.（1）若，求的前項和；（2）證明：的“極差數(shù)列”仍是；（3）求證：若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.18．（12分）已知函數(shù)，為實數(shù)，且．（Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間，上的值域（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．19．（12分）已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.20．（12分）在中，．（1）求的值；（2）點為邊上的動點（不與點重合），設(shè)，求的取值范圍．21．（12分）已知拋物線的準線過橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點F，且點F到直線l：（c為橢圓焦距的一半）的距離為4.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點F做直線與橢圓C交于A，B兩點，P是AB的中點，線段AB的中垂線交直線l于點Q.若，求直線AB的方程.22．（10分）已知集合，，，將的所有子集任意排列，得到一個有序集合組，其中.記集合中元素的個數(shù)為，，，規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當時，求的值；利用數(shù)學歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿足任意，，都有.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

利用復數(shù)的三角形式的乘法運算法則即可得出．【詳解】z1z2＝（cos23°+isin23°）?（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝．故答案為C．熟練掌握復數(shù)的三角形式的乘法運算法則是解題的關(guān)鍵，復數(shù)問題高考必考，常見考點有：點坐標和復數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，點的象限和復數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，復數(shù)的加減乘除運算，復數(shù)的模長的計算.2．D【解析】

利用交集的定義直接計算即可.【詳解】，故，故選：D.本題考查集合的交運算，注意常見集合的符號表示，本題屬于基礎(chǔ)題.3．C【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可．【詳解】解：幾何體的直觀圖如圖，是正方體的一部分，P?ABC，正方體的棱長為2，

該幾何體的表面積：．故選C．本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．4．A【解析】

設(shè)，因為，得到，利用直線的斜率公式，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的焦點坐標為，設(shè)，因為，即線段的中點，所以，所以直線的斜率，當且僅當，即時等號成立，所以直線的斜率的最大值為1.故選：A.本題主要考查了拋物線的方程及其應(yīng)用，直線的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.5．C【解析】

由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換可得．【詳解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故選：C．本題考查正弦定理，考查兩角和的正弦公式和誘導公式，掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵．6．B【解析】

根據(jù)定義域排除，求出的值，可以排除，考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域為，所以不合題意；選項，計算，不符合函數(shù)圖象；對于選項，與函數(shù)圖象不一致；選項符合函數(shù)圖象特征.故選：B此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式，主要利用函數(shù)性質(zhì)分析，常見方法為排除法.7．C【解析】

直接利用復數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可．【詳解】由得：本題正確選項：本題考查復數(shù)的除法的運算法則的應(yīng)用，考查計算能力．8．D【解析】選項A，否命題為“若，則”，故A不正確．選項B，逆命題為“若，則”，為假命題，故B不正確．選項C，由題意知對，都有，故C不正確．選項D，命題的逆否命題“若，則”為真命題，故“若，則”是真命題，所以D正確．選D．9．B【解析】

作出該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示，設(shè)，則，易知當直線經(jīng)過點時，z取得最小值，由，解得，所以，所以，故選B．10．C【解析】

①用周期函數(shù)的定義驗證.②當時，，，再利用單調(diào)性判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域，而，當時，再求值域.【詳解】因為，故①錯誤；當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增，故②正確；函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域，易知，故當時，，故③正確.故選：C.本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.11．A【解析】試題分析：由題意，得，解得，故選A．考點：函數(shù)的定義域．12．A【解析】

先利用復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則求出，即可根據(jù)復數(shù)的模計算公式求出．【詳解】∵，∴．故選：A．本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則的應(yīng)用，以及復數(shù)的模計算公式的應(yīng)用，屬于容易題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出這組數(shù)據(jù)的方差，由此能求出該組數(shù)據(jù)的標準差．【詳解】解：某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫（單位：依次為8，，，0，2，平均數(shù)為：，該組數(shù)據(jù)的方差為：，該組數(shù)據(jù)的標準差為1．故答案為：1．本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標準差的求法，考查平均數(shù)、方差、標準差的定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14．【解析】

令，，與參數(shù)無關(guān)，即可得到定點.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，函數(shù)值與參數(shù)無關(guān)，所有過定點.故答案為：此題考查函數(shù)的定點問題，關(guān)鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無關(guān)，熟記常見函數(shù)的定點可以節(jié)省解題時間.15．【解析】

在中利用正弦定理得出，進而可知，當時，取最小值，進而計算出結(jié)果.【詳解】，如圖，在中，由正弦定理可得，即，故當時，取到最小值為.故答案為：.本題考查解三角形，同時也考查了常見的三角函數(shù)值，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題．16．15【解析】

由角平分線定理得,利用余弦定理和三角形面積公式，借助三角恒等變化求出面積的最大值.【詳解】畫出圖形：因為，，由角平分線定理得,設(shè)，則由余弦定理得：即當且僅當，即時取等號所以面積的最大值為15故答案為：15此題考查解三角形面積的最值問題，通過三角恒等變形后利用均值不等式處理，屬于一般性題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】

（1）由是遞增數(shù)列，得，由此能求出的前項和.（2）推導出，，由此能證明的“極差數(shù)列”仍是.（3）證當數(shù)列是等差數(shù)列時，設(shè)其公差為，，是一個單調(diào)遞增數(shù)列，從而，，由，，，分類討論，能證明若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【詳解】（1）解：∵無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，，，是遞增數(shù)列，∴，∴的前項和.（2）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴的“極差數(shù)列”仍是（3）證明：當數(shù)列是等差數(shù)列時，設(shè)其公差為，，根據(jù)，的定義，得：，，且兩個不等式中至少有一個取等號，當時，必有，∴，∴是一個單調(diào)遞增數(shù)列，∴，，∴，∴，∴是等差數(shù)列，當時，則必有，∴，∴是一個單調(diào)遞減數(shù)列，∴，，∴，∴.∴是等差數(shù)列，當時，，∵，中必有一個為0，根據(jù)上式，一個為0，為一個必為0，∴，，∴數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列.綜上，若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運用，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于難題.18．（Ⅰ）極大值0，沒有極小值；函數(shù)的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間，（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）由，令，得增區(qū)間為，令，得減區(qū)間為，所以有極大值，無極小值；（Ⅱ）由，分，和三種情況，考慮函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可得到本題答案.【詳解】當時，，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當時，函數(shù)取得極大值，沒有極小值；函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，當時，，在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的值域為；當時，，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的值域為；當時，易得時，，在上單調(diào)遞增，時，，在上單調(diào)遞減，故當時，函數(shù)取得最大值，最小值為，中最小的，當時，，最小值；當，，最小值；綜上，當時，函數(shù)的值域為，當時，函數(shù)的值域，當時，函數(shù)的值域為，當時，函數(shù)的值域為.本題主要考查利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值，以及利用導數(shù)研究含參函數(shù)在給定區(qū)間的值域，考查學生的運算求解能力，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想.19．（1）;（2）.【解析】

（1）方程的兩根為，由題意得，在利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前項和公式即可求出．【詳解】方程x2－5x＋6＝0的兩根為2，3.由題意得a2＝2，a4＝3.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝，從而得a1＝.所以{an}的通項公式為an＝n＋1.（2）設(shè)的前n項和為Sn，由（1）知＝，則Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，兩式相減得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.考點：等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的求和．【方法點晴】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式、“錯位相減法”、等比數(shù)列的前項和公式、一元二次方程的解法等知識點的綜合應(yīng)用，解答中方程的兩根為，由題意得，即可求解數(shù)列的通項公式，進而利用錯位相減法求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了學生的推理能力與運算能力，屬于中檔試題．20．（1）（2）【解析】

（1）先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得,再由求解即可；（2）在中,由正弦定理可得,則,再由求解即可.【詳解】解:（1）在中,,所以,所以（2）由（1）可知,所以,在中,因為,所以,因為,所以,所以.本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查正弦定理的應(yīng)用.21．（1）；（2）或.【解析】

（1）由拋物線的準線方程求出的值，確定左焦點坐標，再由點F到直線l：的距離為4，求出即可；（2）設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，運用根與系數(shù)關(guān)系和弦長公式，以及兩直線垂直的條件和中點坐標公式，即可得到所求直線的方程.【詳解】（1）拋物線的準線方程為，，直線，點F到直線l的距離為，，所以橢圓的標準方程為；（2）依題意斜率不為0，又過點，設(shè)方程為，聯(lián)立，消去得，，，設(shè)，，，，線段AB的中垂線交直線l于點Q，所以橫坐標為3，，，，平方整理得，解得或（舍去），，所求的直線方程為或.本題考查