(數(shù)學(xué)類(lèi)高年級(jí)組，2024年4月)題號(hào)一二三四總分滿(mǎn)分得分---密封線(xiàn)答題時(shí)不要超過(guò)此線(xiàn)○密封線(xiàn)答題時(shí)不要超過(guò)此線(xiàn)○一、(本題20分，每小題5分)填空題1.將24階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣按合同關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)，即兩個(gè)24階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣屬于同一類(lèi)當(dāng)4.4.微分方程xy'+y=cosx定義在(-α,+α)上的全局解為12二、(本題10分)在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢球S的方程為x2+2y2+3z2=4.過(guò)動(dòng)點(diǎn)P=(x,y,z)存在三條互相垂直的射線(xiàn)與橢球S相切，求動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足的方程.解答.設(shè)P=(x,y,z),過(guò)P有三條互相垂直的射線(xiàn)與橢球S相切.又設(shè)這三條射線(xiàn)的e?=(A?1,A?2,A?3),e?=(A?1,A?2,A?3),e?=(A?1,A?2,A?3).則P+te;=(x+Ajit,y+Aj?t,z與橢球S僅交于一點(diǎn)，即t的二次方程(A2?+2A?2+3A3)t2A2(aAA42yAj?+的判別式△=4[(xAji+2yA;2+3zAjs)2-(A21+2A?2+3A}?)(x2+2y2+3由此得到三個(gè)方程x2+4y2+9z2-6(x2+2y2+3z2-4)=0.5x2+8y2+9z2=24.--CompetitionZeroDistance--密封線(xiàn)答題時(shí)不要超過(guò)此線(xiàn)○--34三、(本題14分)設(shè)A∈Rn×n,E為單位矩陣.求證A?=E當(dāng)且僅當(dāng)rank(E-A)+rank(E+A+A證明.考慮多項(xiàng)式p=1-x,q=1+x+x2+x3.則有：(p,q)=1.故存在f(x),g(x)f(x)(1-x)+g(x)(1+x+x2+x3)=1.結(jié)果→→故可經(jīng)分塊初等變換化為rank(E-A)+rank(E+A+A2+A3)=n+rank(A?-E).A?=E臺(tái)rank(E-A)+rank(E+A+A2+A3)=n.證畢.四、(本題20分)設(shè)f,g是[0,1]上有正下界的Riemann可積函數(shù).試給出在此種條件下(ii)若進(jìn)一步假設(shè)f,g分段常值，試給出在此種條件下密封線(xiàn)答題時(shí)不要超過(guò)此線(xiàn)密封線(xiàn)答題時(shí)不要超過(guò)此線(xiàn)○-(ii)記E={x∈[0,1]|f(x)≥g(x)},F=[0,1○---則56令成立.當(dāng)f,g只是Riemann可積時(shí)，f,g限制在相應(yīng)的E,F上不一定密封線(xiàn)答題時(shí)不要超過(guò)此線(xiàn)〇密封線(xiàn)答題時(shí)不要超過(guò)此線(xiàn)--五、(本題12分)設(shè)f在[0,1]上連續(xù)可微，W={x∈[0,1]|f'(x)=0},E=證明.(此為Sard定理的特例)由f的連續(xù)可微性，W為閉集，E=f(W).任取ε>0,If'(t)|<e,Vt∈(x-δx,x+δx)n[0,1--CompetitionZeroDistance--78六、(本題12分)(i)設(shè)n≥3,f是以a?,a?,…,an為簡(jiǎn)單零點(diǎn)的n次多項(xiàng)式，m為整數(shù)(0<m≤n-2),證明：證明.(i)考慮函數(shù),因?yàn)閍?,a?,···,an為f的簡(jiǎn)單零點(diǎn)，從而為φ的簡(jiǎn)單a?,a?,…,an都含于C的內(nèi)部.由留數(shù)定理，在上式右端的積分中，令(=ei?,則Distance--所以9七、(本題12分)設(shè)p為素?cái)?shù)，n為正整數(shù)，有限群G的階為p".證明對(duì)任意0≤k≤n,群G有p^階正規(guī)子群.證明.對(duì)n作歸納.若n=1,則G為p階循環(huán)群.顯然單位元群{e}和G本身都是G的正規(guī)子群，它們的階分別為1和p,故n=1時(shí)結(jié)論成立.設(shè)n≥2,且結(jié)論在n-1時(shí)成立，下面考察n的情形.設(shè)G的階為p",由于G為有限p-群，所以G的中心Z(G)≠{e}.取Z(G)中一個(gè)非單位元g,則g的階o(g)整除p"且o(g)≠1.設(shè)o(g)=pi,其中j≥1,令a=go3-1,則有o(a)=p.設(shè)N={a),則N為G的p階子群.由于N≤Z(G),所以任取a2∈N和x∈G,從而N≤G,即G有p階正規(guī)子群N.記G=G/N,則G|=pn-1,由歸納假設(shè)，對(duì)任意0≤k≤n-1,G有p*階正規(guī)子群Nk.在G→G的典范同態(tài)下，Nk的原像Nk為G的包含N的正規(guī)子群 這表明對(duì)任意0≤k≤n-1,G有pk+1階正規(guī)子群N..而單位元群{e}是G的平凡正規(guī)子群，階為1=p?,故結(jié)論在n時(shí)成立.由歸納法原理，結(jié)論對(duì)任意正整數(shù)n成立.--○密封線(xiàn)答題時(shí)不要超過(guò)此線(xiàn)八、(本題12分)在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)懸鏈面S的方程為x(u,v)=(coshucosv,coshusinv,u),u∈R,v∈[0,2π].(i)證明：懸鏈面是極小曲面；(ii)求懸鏈面上Gauss曲率K取到最大值的所有點(diǎn).解答.計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)xv=(-coshusinv,cosE=xu·xu=cosh2u,F=Xu·x=0,G=.....................L=Nuu·n=-1,M=Tuw·n=0,N=xvw·n=1......................……曲面為極小曲面.…………………(8分)K取不到上確界，即沒(méi)有最大值.曲率K取到最大值的所有點(diǎn)為空集.九、(本題12分)考慮二維整數(shù)格點(diǎn)Z2={ke?+je?:k,j∈Z},其中e?=設(shè)φ:R2→R為一有界連續(xù)函數(shù)，定義ue(t,z):=Pφ(z):=Eφ(Z{+z).(i)計(jì)算Z的特征函數(shù).密封線(xiàn)答題時(shí)不要超過(guò)此線(xiàn)密封線(xiàn)答題時(shí)不要超過(guò)此線(xiàn)為二維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).從而du=△u/4,其中△為L(zhǎng)aplace算子.有○-○--=exp{((eie1+eicr2+e-i=exp{((cos(ex?)+cos(ex?)/2-1)t/e2}.再由Poisson過(guò)程的獨(dú)立增量性質(zhì)因此交換求和順序(iii)由上一問(wèn)只需要證明注意到Pφ(z)=φ(z)P(Nt=0)+Eφ(其中很清楚因此○○密封線(xiàn)答題時(shí)不要超過(guò)此線(xiàn)密封線(xiàn)答題時(shí)不要超過(guò)此線(xiàn)○○-----CompetitionZeroDistance--十、(本題12分)設(shè)0=xo<x?<...<XN=1是區(qū)間[0,1]的等距剖分點(diǎn)，即Vh={u對(duì)于任何1≤j≤N,ol,∈PA(L)},其中Pe(Ij)是定義在區(qū)間I;=(xj-1,xj)上次數(shù)不超過(guò)k次的多項(xiàng)式全體.設(shè)函數(shù)u(x)∈C(k+2)[0,1],u(x(i)證明并給出常數(shù)C與u(x)導(dǎo)數(shù)的依賴(lài)關(guān)系.并給出常數(shù)C與u(x)及φ(x)導(dǎo)數(shù)的依賴(lài)關(guān)系.令則-CompetitionZero