2024-2025學年八年級（下）期中數學試卷【滬科版】考試時間：120分鐘；滿分：120分；考試范圍：第16~18章姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共25題，單選10題，填空6題，解答9題，滿分120分，限時120分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容的具體情況！第Ⅰ卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（24-25八年級·廣東深圳·期末）下列計算中，正確的是（

）A．2+3=C．12÷3=42．（3分）（24-25八年級·四川宜賓·期末）若將一元二次方程x2?6x?2=0化成x+m2+n=0的形式，則A．?15 B．?17 C．5 D．173．（3分）（24-25八年級·江蘇揚州·期末）如圖，長方形中，AB=3，AD=1，AB在數軸上，若以點A為圓心，AC的長為半徑作弧交數軸于點M，則點M表示的數為（

）A．10 B．10?1 C．5 D．4．（3分）（24-25八年級·山東濟寧·階段練習）要把(2?x)1x?2中根號外的因式移入根號內，下面式子正確的是（A．x?2 B．2?x C．?2?x D．5．（3分）（24-25八年級·山東臨沂·期末）對于任意4個實數a，b，c，d定義一種新的運算abcd=ad?bc，例如：4216A．只有一個實數根 B．有兩個相等的實數根C．有兩個不相等的實數根 D．無實數根6．（3分）（24-25八年級·河南開封·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=2，CD=1，AD=12，且∠BCD=90°，則四邊形A．33+22 B．3327．（3分）（24-25八年級·山東東營·期末）已知三角形的三邊長分別為a，b，c，求其面積問題，中外數學家曾經進行深入研究，古希臘的幾何學家海倫給出求其面積的海倫公式S=pp?ap?bp?c，其中p=a+b+c2，我國南宋時期數學家秦九韶（約A．3158 B．3152 C．8．（3分）（24-25八年級·四川宜賓·期末）已知α和β是方程x2+2023x?2=0的兩個解，則α2A．?2023 B．2023 C．?2021 D．20219．（3分）（24-25八年級·四川眉山·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．如果D、E分別為BC、AB上的動點，那么AD+DE的最小值是（

A．245 B．5 C．27510．（3分）（24-25八年級·安徽安慶·階段練習）對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有下列說法：①若a?b+c=0，則方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一個根為1；②若方程ax2+c=0有兩個不相等的實根，則方程aA．0個 B．1個 C．2個 D．3個二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（24-25八年級·黑龍江綏化·期末）已知a+b=?8，ab=1，則ba+a12．（3分）（24-25八年級·湖南長沙·期末）已知關于x的一元二次方程ax2+bx?3=0

的一個解是x=?1，則2028?a+b=．13．（3分）（24-25八年級·遼寧沈陽·期末）如圖，點O為數軸的原點，點A和B分別對應的實數是1和2．過點A作射線AD⊥OA，以點O為圓心，OB長為半徑畫弧，交AD于點C；以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交數軸的正半軸于點E，則點E對應的實數是．14．（3分）（24-25八年級·上海·階段練習）求值：1+1115．（3分）（24-25八年級·四川成都·期末）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D，P都在格點上，連接AP，CP，CD，則∠PAB－∠PCD＝．16．（3分）（24-25八年級·浙江麗水·期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，F為CD上一點，連接AF交BD于點E，AF⊥AB，已知∠BAG=∠ABC=45°，且（1）則AB的長是；（2）若AE=2EF，且∠AGD+∠BCD=180°，則AF=第Ⅱ卷三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（6分）（24-25八年級·山東青島·期末）計算：(1)3(2)218．（6分）（24-25八年級·河北廊坊·期末）解方程(1)x2(2)xx?2(3)x2(4)x219．（6分）（24-25八年級·重慶沙坪壩·期末）如圖，小區A與公路l的距離AC=200米，小區B與公路l的距離BD=400米，已知CD=800米．(1)政府準備在公路邊建造一座公交站臺Q，使Q到A、B兩小區的路程相等，求CQ的長；(2)現要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B兩小區的路程之和最短，求PA+PB的最小值，求出此最小值．20．（8分）（24-25八年級·陜西西安·期末）如圖1是一架移動式小吊機工作示意圖，吊機工作時是利用吊臂的長度和傾斜角的變化改變起升高度和工作半徑．在某次起重作業中，學習興趣小組通過測量和咨詢工人師傅了解到如下信息：如圖2，起重臂AB=1.3m，點B到地面CD的距離BC=DE=2m，點B到AD的距離BE=1.2m，BE⊥AD于E，BC⊥CD，AD⊥CD，求點A地面21．（8分）（24-25八年級·江蘇淮安·期末）像4?23如：4?23再如：5+26請用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡：9+214(2)化簡：8?43(3)若2m?n2=k?62，且22．（10分）（24-25八年級·陜西咸陽·期末）涇陽茯茶是中國傳統的黑茶之一，具有消食健胃、降脂減肥、補充維生素和礦物質等功效．(1)如圖①，某茶莊種植茯茶，由于規模不斷擴大，現計劃開闊一塊面積為600平方米的長方形采茶基地，已知該采茶基地的長比寬多10米，求采茶基地的長和寬；(2)如圖②，該茶莊開設了一片觀光園區，園區內原有一塊長方形空地，該空地與（1）中的采茶基地大小、形狀均相同，后計劃在此區域栽種鮮花（陰影部分）并鋪設如圖所示的寬度相同的小路（空白部分）供游客觀光，若鮮花的種植面積為486平方米，求小路的寬度．23．（10分）（24-25八年級·河北滄州·期末）嘉琪根據學習“數與式”的經驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規律．下面是嘉琪的探究過程，請補充完整：(1)具體運算，發現規律：特例1：1+1特例2：2+1特例3：3+1特例4：______（填寫一個符合上述運算特征的式子）．(2)觀察、歸納，得出猜想：如果n為正整數，用含n的式子表示上述的運算規律為：______．(3)證明你的猜想；(4)應用運算規律：①化簡：2023+1②若a+1b=91b（a24．（12分）（24-25八年級·四川資陽·期末）定義：已知x1，x2是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個實數根，若x1<x2<0請閱讀以上材料，回答下列問題：(1)判斷一元二次方程x2(2)若關于x的一元二次方程2x2+k+7x+k2(3)若關于x的一元二次方程x2+1?m25．（12分）（24-25八年級·上海浦東新·期末）已知：如圖△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點E、F分別在邊BC、AC上，且BE=1，AF=3，EF=10

(1)證明：線段EF，(2)當D是邊AB上的中點時，判斷：DF、DE的位置關系．

2024-2025學年八年級（下）期中數學試卷【滬科版】參考答案與試題解析第Ⅰ卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（24-25八年級·廣東深圳·期末）下列計算中，正確的是（

）A．2+3=C．12÷3=4【答案】D【分析】本題主要考查二次根式的加法、減法、乘法、除法運算等知識點，明確二次根式加減乘除運算的計算法則是解答本題的關鍵．根據二次根式的加法、減法、乘法、除法運算法則逐項判斷即可．【詳解】解：A．2和3不是同類二次根式，不能相加減，故選項A錯誤，不符合題意；B．32C．12÷D．12×故選：D．2．（3分）（24-25八年級·四川宜賓·期末）若將一元二次方程x2?6x?2=0化成x+m2+n=0的形式，則A．?15 B．?17 C．5 D．17【答案】C【分析】本題主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關鍵．先利用配方法將方程化成x?32?11=0的形式，從而可得【詳解】解：x2x2x?32∵將一元二次方程x2?6x?2=0化成∴m=?3,n=?11，∴2m?n=2×?3故選：C．3．（3分）（24-25八年級·江蘇揚州·期末）如圖，長方形中，AB=3，AD=1，AB在數軸上，若以點A為圓心，AC的長為半徑作弧交數軸于點M，則點M表示的數為（

）A．10 B．10?1 C．5 D．【答案】B【分析】本題考查了實數與數軸、勾股定理，由題意可得∠ABC=90°，AC=AM，BC=AD=1，再由勾股定理求出AM=AC=10【詳解】解：由題意可得：∠ABC=90°，AC=AM，BC=AD=1，∵AC=A∴AM=AC=10∴點M表示的數為10?1故選：B．4．（3分）（24-25八年級·山東濟寧·階段練習）要把(2?x)1x?2中根號外的因式移入根號內，下面式子正確的是（A．x?2 B．2?x C．?2?x D．【答案】D【分析】根據非負數才能移入根號內或根號外，變成非負數后，變形化簡即可．本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握根式的性質是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意，得x?2>故2?x=?1故選：D．5．（3分）（24-25八年級·山東臨沂·期末）對于任意4個實數a，b，c，d定義一種新的運算abcd=ad?bc，例如：4216A．只有一個實數根 B．有兩個相等的實數根C．有兩個不相等的實數根 D．無實數根【答案】C【分析】本題考查了新定義，一元二次方程根的判別式，根據新定義得到x2【詳解】解：由題意得：x4整理得：x2∵Δ=∴方程有兩個不相等的實數根，故選：C．6．（3分）（24-25八年級·河南開封·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=2，CD=1，AD=12，且∠BCD=90°，則四邊形A．33+22 B．332【答案】A【分析】本題主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢記勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關鍵．先由勾股定理求出BD=3，則AB2+BD【詳解】解：∵∠BCD=90°，∴BD=B∵AB=3，AD=12∴AB∴∠ABD=90°，∴S===3故選：A．7．（3分）（24-25八年級·山東東營·期末）已知三角形的三邊長分別為a，b，c，求其面積問題，中外數學家曾經進行深入研究，古希臘的幾何學家海倫給出求其面積的海倫公式S=pp?ap?bp?c，其中p=a+b+c2，我國南宋時期數學家秦九韶（約A．3158 B．3152 C．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的應用，設a=2，b=3，c=4，則p=92，再根據【詳解】解：設a=2，b=3，c=4，∴p=a+b+c∴S=9故選：D．8．（3分）（24-25八年級·四川宜賓·期末）已知α和β是方程x2+2023x?2=0的兩個解，則α2A．?2023 B．2023 C．?2021 D．2021【答案】C【分析】本題考查了根與系數的關系的運用，由根與系數的關系可以求出α2+2023α=2，α+β=?2023，然后α2【詳解】解：∵α和β是方程x2∴α2+2023α?2=0，∴α2∴α==2?2023=?2021，故選：C．9．（3分）（24-25八年級·四川眉山·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．如果D、E分別為BC、AB上的動點，那么AD+DE的最小值是（

A．245 B．5 C．275【答案】A【分析】延長AC到點F，使得AC=CF，則直線BC是線段AF的垂直平分線，連接DF,BF，于是得到AD=DF，AB=BF，于是AD+DE就變成了DF+DE，根據點到直線的距離以垂線段最短原理，得到DF+DE的最小值就是△ABF的高，過點F作FG⊥AB于點G，求FG即可．此題考查了軸對稱最短路徑問題，垂線段的性質，勾股定理，根據三角形的面積求高等，熟練掌握以上性質是解本題的關鍵．【詳解】解：延長AC到點F，使得AC=CF，∵∠ACB=90°，∴直線BC是線段AF的垂直平分線，連接DF,BF，∴AD=DF，AB=BF，∴AD+DE就變成了DF+DE，根據點到直線的距離以垂線段最短原理，得到DF+DE的最小值就是△ABF的高，過點F作FG⊥AB于點G，∵∠ACB=90°，AC=3，AB=5，∴AF=2AC=6，BC=A∴S△ABF∴6×4=5FG，∴FG=24故選：A．10．（3分）（24-25八年級·安徽安慶·階段練習）對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有下列說法：①若a?b+c=0，則方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一個根為1；②若方程ax2+c=0有兩個不相等的實根，則方程aA．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】按照方程的解的含義、一元二次方程的實數根與判別式的關系、等式的性質、因式分解法解一元二次方程等知識對各選項分別討論，可得答案．【詳解】解：①當x=?1時，a×(?1)2+b×(?1)+c=a?b+c=0，所以方程a②方程ax2+c=0有兩個不相等的實根，則?4ac>0，那么b③由c是方程ax2+bx+c=0的一個根，得ac2+bc+c=0．當c≠0，則故選：C．【點睛】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、因式分解法解一元二次方程、等式的性質，熟練掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質是解決本題的關鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（24-25八年級·黑龍江綏化·期末）已知a+b=?8，ab=1，則ba+a【答案】8【分析】本題主要考查了二次根式的加減混合運算以及求值，根據a+b=?8，ab=1判斷出a<0,b<0，將ba+ab化簡再進行加減運算，最后將【詳解】解：∵a+b=?8，ab=1，∴a<0,b<0，∴b=?ab=?b=?=?a+b當a+b=?8，ab=1，原式=??8故答案為：8．12．（3分）（24-25八年級·湖南長沙·期末）已知關于x的一元二次方程ax2+bx?3=0

的一個解是x=?1，則2028?a+b=．【答案】2025【分析】此題主要考查了一元二次方程的解，代數式求值，解題的關鍵是利用整體代入的思想解決問題．首先把x=?1代入已知方程中，然后利用整體代值的方法即可求解．【詳解】解：把x=?1代入ax2+bx?3=0，∴a?b?3=0，即a?b=3，2028?a+b=2028?a?b故答案為：202513．（3分）（24-25八年級·遼寧沈陽·期末）如圖，點O為數軸的原點，點A和B分別對應的實數是1和2．過點A作射線AD⊥OA，以點O為圓心，OB長為半徑畫弧，交AD于點C；以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交數軸的正半軸于點E，則點E對應的實數是．【答案】1+3/【分析】本題考查了勾股定理，實數與數軸，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．由題意可知AE=AC，OC=OB=2，再由勾股定理求出AC=3，則AE=3，然后求出【詳解】解：∵點A和B分別對應的實數是1和2，∴OA=1，OB=2，由題意可知，AE=AC，OC=OB=2，∵AD⊥OA，∴∠OAC=∠BAC=90°，∴AC=O∴AE=3∴OE=OA+AE=1+3即點E對應的實數是1+3故答案為：1+314．（3分）（24-25八年級·上海·階段練習）求值：1+11【答案】2023【分析】本題考查了二次根式的運算，完全平方公式的應用，先推導公式1+1【詳解】解：1+======1+1∴原式=1+=2023×1+1?=20232023故答案為：2023202315．（3分）（24-25八年級·四川成都·期末）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D，P都在格點上，連接AP，CP，CD，則∠PAB－∠PCD＝．【答案】45°【分析】如圖，取CD邊上的格點E，連接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD,證明△APE為等腰直角三角形，從而可得答案．【詳解】如圖，取CD邊上的格點E，連接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD．由題意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10．∴AE2＝AP2+PE2．∴△APE是等腰直角三角形．∴∠PAE＝45∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°．【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，勾股定理的逆定理的應用，掌握以上知識是解題的關鍵．16．（3分）（24-25八年級·浙江麗水·期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，F為CD上一點，連接AF交BD于點E，AF⊥AB，已知∠BAG=∠ABC=45°，且（1）則AB的長是；（2）若AE=2EF，且∠AGD+∠BCD=180°，則AF=【答案】106【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性質等知識，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．（1）延長AF交BC的延長線于點H，易得△ABH是等腰直角三角形，可證△ABG≌△HAC，所以BH=BC+AG=102（2）由條件易證△AGE≌△HCFASA，得到FH=AE=2x，所以AH=5x=10【詳解】解：（1）延長AF交BC的延長線于點H，∵AF⊥AB，∴∠BAH=90∵∠ABC=45∴∠H=90°?∠ABC=45°=∠ABC，∴AB=AH，即△ABH是等腰直角三角形，∴∠AHB=45°=∠BAG∵AC⊥BD，∴∠CAH=90在△ABG和△HAC中，∠BAG=∠AHCAB=AH∴△ABG≌△HACSAS∴CH=AG，∵BC+AG=102∴BC+CH=BH=102在Rt△ABH中，A即2AB∴AB=10；故答案為：10；（2）∵∠AGD+∠BCD=180°，∴∠AGD=∠FCH，∵∠BAG=45°，∠BAG=∠FHC，∴∠EAG=45°=∠FHC，在△AGE和△HCF中，∠EAG=∠FHCAG=CH∴△AGE≌△HCFASA∴FH=AE，設EF=x，則FH=AE=2x，∴AH=AE+EF+FH=5x=10，解得：x=2，∴AF=AE+EF=3x=6．故答案為：6．第Ⅱ卷三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（6分）（24-25八年級·山東青島·期末）計算：(1)3(2)2【答案】(1)13+4(2)11【分析】本題考查二次根式的混合運算，平方差公式，完全平方公式，解題的關鍵是掌握二次根式的混合運算法則．（1）利用平方差公式，完全平方公式計算即可；（2）先計算乘除，再計算加減．【詳解】（1）解：3==27?1?12+4=13+43（2）解：2=2=12=11218．（6分）（24-25八年級·河北廊坊·期末）解方程(1)x2(2)xx?2(3)x2(4)x2【答案】(1)x(2)x(3)x(4)x【分析】本題主要考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解答本題的關鍵．（1）方程運用因式分解法求解即可；（2）方程移項后運用因式分解法求解即可；（3）方程運用公式法求解即可；（4）方程運用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：x2x+4x?4x+4=0,x?4=0,∴x1（2）解：xx?2xx?2x?2x?2=0,x?3=0,∴x1（3）解：x2∵a=1,b=?5,c=3,Δ=∴x=?∴x1（4）解：x2x?5x?5=0,x+1=0,∴x119．（6分）（24-25八年級·重慶沙坪壩·期末）如圖，小區A與公路l的距離AC=200米，小區B與公路l的距離BD=400米，已知CD=800米．(1)政府準備在公路邊建造一座公交站臺Q，使Q到A、B兩小區的路程相等，求CQ的長；(2)現要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B兩小區的路程之和最短，求PA+PB的最小值，求出此最小值．【答案】(1)475米(2)1000米【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，坐標與圖形的性質，勾股定理，確定出Q、P的位置是本題的關鍵．（1）設CQ=x，則DQ=800?x，根據AQ=BQ利用勾股定理即可得出結果．（2）作A關于l的對稱點A′，連接A′B，交l于P，由對稱性得PA+PB的最小值為線段A′B的長，作A【詳解】（1）解：如圖1，根據題意得：AQ=BQ，設CQ=x，則DQ=800?x，∴200解得x=475，即CQ的長為475米；（2）如圖，作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B，交直線l則AP=A∴AP+BP=A∴PA+PB的最小值為A′如圖，作A′E⊥BE于點在Rt△A′E=CD=800米，∴A∴PA+PB的最小值為1000米．20．（8分）（24-25八年級·陜西西安·期末）如圖1是一架移動式小吊機工作示意圖，吊機工作時是利用吊臂的長度和傾斜角的變化改變起升高度和工作半徑．在某次起重作業中，學習興趣小組通過測量和咨詢工人師傅了解到如下信息：如圖2，起重臂AB=1.3m，點B到地面CD的距離BC=DE=2m，點B到AD的距離BE=1.2m，BE⊥AD于E，BC⊥CD，AD⊥CD，求點A地面【答案】點A到地面DC的距離AD的長為2.5米【分析】本題主要考查了勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理．根據勾股定理求出AE，根據長方形的性質，得出ED=BC，即可得出答案．【詳解】解：由題知：∠AEB=90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=∵ED=BC=2m，AD⊥CD∴AD=ED+AE=2+0.5=2.5m答：點A地面DC的距離AD的長為2.5米．21．（8分）（24-25八年級·江蘇淮安·期末）像4?23如：4?23再如：5+26請用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡：9+214(2)化簡：8?43(3)若2m?n2=k?62，且【答案】(1)7(2)6(3)11或19．【分析】此題考查化簡二次根式，完全平方公式的應用，準確變形是解題的關鍵．（1）利用題中復合二次根式借助構造完全平方式的新方法求解；（2）利用題中復合二次根式借助構造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，結合k、m、n為正整數求解即可．【詳解】（1）解：9+214故答案為：7（2）8?43故答案為：6（3）∵2∴2m∴k=2m∴mn=3又∵k、m、n為正整數，∴m=1,n=3，或者m=3,n=1，∴當m=1,n=3時，k=2m當m=3,n=1時，k=2m∴k的值為：11或19．22．（10分）（24-25八年級·陜西咸陽·期末）涇陽茯茶是中國傳統的黑茶之一，具有消食健胃、降脂減肥、補充維生素和礦物質等功效．(1)如圖①，某茶莊種植茯茶，由于規模不斷擴大，現計劃開闊一塊面積為600平方米的長方形采茶基地，已知該采茶基地的長比寬多10米，求采茶基地的長和寬；(2)如圖②，該茶莊開設了一片觀光園區，園區內原有一塊長方形空地，該空地與（1）中的采茶基地大小、形狀均相同，后計劃在此區域栽種鮮花（陰影部分）并鋪設如圖所示的寬度相同的小路（空白部分）供游客觀光，若鮮花的種植面積為486平方米，求小路的寬度．【答案】(1)采茶基地的長為30米，寬為20米；(2)小路的寬度為1米．【分析】本題考查了一元二次方程的應用，正確理解題意，找出等量關系，列出方程是解題的關鍵．（1）設采茶基地的寬為x米，則長為x+10米，根據面積為600平方米列方程xx+10（2）設小路的寬度為y米，根據鮮花的種植面積為486平方米列出方程30?3y20?2y【詳解】（1）解：設采茶基地的寬為x米，則長為x+10米，根據題意得：xx+10=600，整理得：解得：x1=20，答：采茶基地的長為30米，寬為20米；（2）解：由（1）得采茶基地的長為30米，采茶基地的寬為20米，設小路的寬度為y米，根據題意得：30?3y20?2y整理得：y2解得：y1=1，答：小路的寬度為1米．23．（10分）（24-25八年級·河北滄州·期末）嘉琪根據學習“數與式”的經驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規律．下面是嘉琪的探究過程，請補充完整：(1)具體運算，發現規律：特例1：1+1特例2：2+1特例3：3+1特例4：______（填寫一個符合上述運算特征的式子）．(2)觀察、歸納，得出猜想：如果n為正整數，用含n的式子表示上述的運算規律為：______．(3)證明你的猜想；(4)應用運算規律：①化簡：2023+1②若a+1b=91b（a【答案】(1)4+1(2)n+(3)見解析(4)①20242【分析】本題主要考查二次根式的混合運算，掌握其運算法則是解題的關鍵．（1）根據材料提示計算即可；（2）由材料提示，歸納總結即可；（3）運用二次根式的性質，二次根式的混合運算法則計算即可；（4）根據材料提示的方法代入運算即可．【詳解】（1）解：根據材料提示可得，特例4為：4+1故答案為：4+1（2）解：由上述計算可得，如果n為正整數，上述的運算規律為：n+1故答案為：n+1（3）解：n+1等式左邊=n+（4）①解：2023+=2024×=20242②∵a+1∴n+1=9，∴n=a=8，∴a+b=18．24．（12分）（24-25八年級·四川資陽·期末）定義：已知x1，x2是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個實數根，若x1<x2<0請閱讀以上材料，回答下列問題：(1)判斷一元