應用統計學

應用統計學是一門認識社會和自然的方法論科學。它采用統計方法對社會現象及自然現象總體數量特征方面進行研究。

應用統計學是管理類專業研究生的必修學位課程。教學安排學時14個單元，內容：第一部分：隨機變量與概率分布（Chapt6,7)；1.5個單元第二部分：統計數據的整理、描述性指標，抽樣分布（Chapt2,3,)；2個單元第三部分：參數估計與假設檢驗（Chapt8)；3.5個單元教學安排（續）第五部分：時間序列分析

（Chapt5)；2.5個單元考核考試50%平時作業10%，大作業30%考勤10%第四部分：回歸分析和相關分析

（Chapt10)；2.5個單元第一部分：隨機變量與概率分布一、基本概念1、隨機試驗與隨機事件現象確定性現象隨機性現象必然現象不可能現象概率論研究的對象，研究其內在的客觀規律。隨機試驗①可在相同條件下重復進行③每次試驗出現一個且僅一個結果，結果不能夠預先斷定。②試驗的所有可能結果已知，且不止一個結果。隨機試驗的每一個可能的結果稱為基本結果，記作ω。基本結果的全體組成的集合稱為樣本空間，記作Ω。隨機事件是定義在樣本空間Ω上的一個子集合A

Ω

。樣本空間Ω為必然事件，空集

為不可能事件

。例1擲篩子，樣本空間Ω={1，2，3，4，5，6}隨機事件A1={擲得的點數大于4}={5，6}隨機事件A2={擲得的點數為偶數}={2，4，6}例2隨機抽查由甲、乙送檢的產品的合格情況，樣本空間Ω={(甲,合格),(甲,不合格),(乙,合格),(乙,不合格)}隨機事件A1={抽得不合格品}={(甲,不合格),(乙,不合格)}事件的關系及運算：

包含：A

B

和：A

B

交：A

B=AB

差：A–B

對立（逆）：Ω–A=

互斥（不相容）：A

B=，A，B互斥時，A

B記為A+B關系：

運算的性質A(BC)=(AB)C；(A

B)

C=A(B

C)

AB=BA例3設A，B，C為三個隨機事件，試以A，B，C的運算表示下列事件：僅A發生；A，B，C中恰有一個發生；A，B，C中至少有一個發生；A，B，C均不發生。2、概率古典概型：P(A)=A所包含基本結果的數量/

所包含基本結果的數量=n/N幾何概率：試驗概率：主觀概率：概率的公理化定義：設?為上的隨機事件組成的集合，P為定義在?上的實函數，滿足①P(A)0，對任何A?成立；②P()=1；③若A1,A2,…,Am互不相容，有P(A1+A2+…)=P(A1)+P(A2)+….3條件概率定義：設A、B為兩個隨機事件，且P(B)>0，稱P(A|B)=P(AB)/P(B)為B發生條件下，A發生的條件概率。乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)4隨機事件的獨立性定義：若P(AB)=P(A)P(B)，稱隨機事件A，B相互獨立。5全概率公式與貝葉斯公式設隨機事件A1,A2,…,Am互不相容，且P(Ai)>0，則對任何一事件B，有發射臺接收臺A10A210B11B2例40.80.20.10.9設P(A1)=0.6，P(A2)=0.4，求P(A1|B1)1、隨機變量二、隨機變量及其概率分布隨機試驗樣本空間={1，2，}隨機事件A：的子集數值集合{x1，x2，}隨機變量X隨機變量X的某一個取值范圍隨機變量：定義在樣本空間上的一個實變函數。實驗結果數量化例5設袋中裝有依次標有-1，0，0，1的4個球，從袋中任取一個球，用X表示取得的球上標記的數值。例6從一批次品率為p的產品中有放回的抽取產品進行檢驗，直至抽得次品為止。用X表示抽取的次數。例7從一批次品率為p的產品中有放回的抽取n件產品進行檢驗，用X表示抽得次品的次數。例8點目標射擊，用X表示擊中點(x,y)與目標點(0,0)的距離。例9出租車通過十字路口，用X表示等待時間長度。2、離散型隨機變量的概率分布（1）分布律與分布函數設X為隨機變量，{x1,x2,,xk,}為X的所有可能取值，則稱P{X=xi}=pi(i=1,2,3,…)為X的分布律。稱為X的分布函數。例5中X的分布律：X-101Pi0.250.50.25X的分布函數F(x)為10.750.25-101xF(x)(2)常見離散分布變量兩點分布（貝努里分布，或（0，1）分布） 分布律：P{X=1}=p，P{X=0}=q=1-p分布函數：1q-101xF(x)二項分布（n重貝努里分布）B(n,p)：相互獨立n次貝努里試驗中事件A出現的次數 分布律：Poisson分布分布律：幾何分布（例6）分布律：（3）隨機變量的統計獨立性設X與Y為離散隨機變量，若對于所有的xi，yj，有P(X=xi，Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj)成立稱X與Y，若相互獨立。（4）離散隨機變量的數學期望E(X)與方差D(X)數學期望（均值）代表了X概率分布的集中趨勢，是重要的數字特征。公式為方差D(X)的性質：D(C)=0，C為常數；D(CX)=C2

D(X)；若X與Y相互獨立，則D(X

Y)=D(X)

D(Y)兩點分布X的方差D(X)=pq；二項分布X的方差D(X)=npq；Poisson分布X的方差D(X)=t；幾何分布X的方差D(X)=q/p2方差描述了X概率分布的離散狀況，即偏離均值的程度。公式為D(X)=E(X-E(X))2=E(X2)–(E(X))2

數學期望E(X)的性質：E(C)=C，C為常數；E(CX)=C

E(X)；E(X

Y)=E(X)

E(Y)；若X與Y相互獨立，則E(XY)=E(X)E(Y)兩點分布X的均值E(X)=p；二項分布X的均值E(X)=np；Poisson分布X的均值E(X)=t；幾何分布X的均值E(X)=1/p3、連續型隨機變量的概率分布（1）分布密度函數，均值與方差設隨機變量X的分布函數為F(x)，若存在非負函數f(x)，使得對于任意實數x，有稱X為連續型隨機變量，并稱f(x)為X的概率密度。概率密度f(x)有如下性質：①f(x)0，-<x<+；②③對于任意實數a，b，且a

b有④若f(x)在x點處連續，則有連續型隨機變量的分布函數F(x)必為連續函數。(2)常見的連續分布變量[a，b]上的均勻分布X稱為X的均值為X的方差指數分布X正態分布X記為N(

,

2)，特別當

=0，

=1時稱為標準正態分布，記作N(0,1)，其分布函數記作(x)。正態分布X的性質：①f(x)關于

x=對稱，呈鐘形；

越小，曲線越陡。②f(x)

f(

)；當x趨于正負無窮大時，f(x)以x軸為漸近線③f(x)與x軸所圍面積等于1。0

xf(x)

<

對于一般正態分布N(

,

2)的隨機變量X，經過線性變換Y=(X-

)/

，則Y為標準正態分布。4、協方差與相關系數定義：設（X，Y）為二維隨機變量，若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在，則稱其為X與Y的協方差，記為Cov(X,Y)。協方差的性質：①Cov(X,Y)=Cov(Y,X)。②Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)③Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)④若X與Y相互獨立，則Cov(X,Y)=0⑤若E(X2)，E(Y2)存在，則[Cov(X,Y)]2D(X)D(Y)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)定義：稱為X與Y的相關系數，記為

X,Y相關系數的性質：①若X與Y相互獨立，則

X,Y=0②|

X,Y|1③|

X,Y|=1的充要條件是：存在常數a,b，使得P{Y=a+bX}=1定義：若

X,Y=0，稱X與Y不相關。隨機現象的統計規律性，只有在相同條件下進行大量的重復試驗才能夠體現出來，隨著試驗次數N的增加，時間的頻率趨于它的穩定值，即概率。大數定理：在隨機試驗過程中，每次的結果不同，但是大量重復試驗的結果的平均值的極限總是存在的。大數定理是統計推斷的最重要的理論基礎之一中心極限定理：設X1,X2,…,Xn服從為獨立同分布隨機變量，均值為

,方差為

2，則隨機變量X5大數定理與中心極限定理當n很大時，其分布漸近于N(n

,n2)，若

0

漸近于N(0,1)9、青少年是一個美好而又是一去不可再得的時期，是將來一切光明和幸福的開端。。4月-254月-25Wednesday,April23,202510、人的志向通常和他們的能力成正比例。12:23:3412:23:3412:234/23/202512:23:34PM11、夫學須志也，才須學也，非學無以廣才，非志無以成學。4月-2512:23:3412:23Apr-2523-Apr-2512、越是無能的人，越喜歡挑剔別人的錯兒。12:23:3412:23:3412:23Wednesday,April23,202513、志不立，天下無可成之事。4月-254月-2512:23:3412:23:34April23,202514、古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有