22.1.3二次函數(shù)y=a(xh)2+k的圖象和性質(zhì)一、函數(shù)的定義及頂點(diǎn)式結(jié)構(gòu)a：二次項(xiàng)系數(shù)，決定了拋物線的開口方向和開口大小。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，開口向下。h：頂點(diǎn)的x坐標(biāo)，表示拋物線在水平方向上的平移量。k：頂點(diǎn)的y坐標(biāo)，表示拋物線在豎直方向上的平移量。例如，函數(shù)y=2(x3)2+4的頂點(diǎn)為(3,4)，表示拋物線在x軸上向右平移3個(gè)單位，在y軸上向上平移4個(gè)單位。二、圖象特征1.開口方向當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，形狀像一個(gè)“U”。當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，形狀像一個(gè)倒置的“U”。2.對(duì)稱性拋物線關(guān)于其頂點(diǎn)(h,k)對(duì)稱。這意味著，對(duì)于拋物線上的任意一點(diǎn)(x,y)，其關(guān)于頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也在拋物線上。例如，若點(diǎn)(x1,y1)在拋物線上，則點(diǎn)(2hx1,y1)也在拋物線上。3.頂點(diǎn)頂點(diǎn)(h,k)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)（取決于開口方向）。在開口向上的情況下，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)；在開口向下時(shí)，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)。4.與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,k)。拋物線與x軸的交點(diǎn)（如果存在）可以通過求解方程a(xh)2+k=0得到。三、性質(zhì)分析1.增減性當(dāng)a>0時(shí)，拋物線在頂點(diǎn)左側(cè)遞減，在頂點(diǎn)右側(cè)遞增。當(dāng)a<0時(shí)，拋物線在頂點(diǎn)左側(cè)遞增，在頂點(diǎn)右側(cè)遞減。2.極值頂點(diǎn)(h,k)是函數(shù)的極值點(diǎn)。當(dāng)a>0時(shí)，k是最小值；當(dāng)a<0時(shí)，k是最大值。3.應(yīng)用場(chǎng)景二次函數(shù)y=a(xh)2+k的圖象和性質(zhì)在現(xiàn)實(shí)問題中應(yīng)用廣泛，例如：物理：描述拋物線運(yùn)動(dòng)（如拋物運(yùn)動(dòng)中的軌跡）。經(jīng)濟(jì)：分析成本、收益和利潤(rùn)的最大值或最小值。工程：計(jì)算拋物面天線或橋梁結(jié)構(gòu)的形狀。22.1.3二次函數(shù)ya(xh)2k的圖象和性質(zhì)四、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分析1.與y軸的交點(diǎn)當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)值y=k。因此，拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,k)。這一點(diǎn)表示函數(shù)在y軸上的位置。2.與x軸的交點(diǎn)拋物線與x軸的交點(diǎn)（即根）可以通過求解方程ya(xh)2k=0得到。解此方程可以得到兩個(gè)解（如果存在），分別表示拋物線與x軸的交點(diǎn)。當(dāng)a>0時(shí)，若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；若方程無解，則拋物線完全位于x軸上方。當(dāng)a<0時(shí)，若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；若方程無解，則拋物線完全位于x軸下方。3.特殊情況當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)退化為一次函數(shù)y=k，此時(shí)拋物線退化成一條水平直線，與x軸無交點(diǎn)。當(dāng)k=0時(shí)，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)(0,0)，即頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合。五、函數(shù)的增減性及極值1.增減性當(dāng)a>0時(shí)（拋物線開口向上），函數(shù)在x<h時(shí)隨x的增大而減小，在x>h時(shí)隨x的增大而增大。當(dāng)a<0時(shí)（拋物線開口向下），函數(shù)在x<h時(shí)隨x的增大而增大，在x>h時(shí)隨x的增大而減小。2.極值頂點(diǎn)(h,k)是函數(shù)的極值點(diǎn)。當(dāng)a>0時(shí)，k是函數(shù)的最小值；當(dāng)a<0時(shí)，k是函數(shù)的最大值。3.應(yīng)用場(chǎng)景在物理中，這種性質(zhì)可以用來描述拋物運(yùn)動(dòng)中的速度變化。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，可以通過分析函數(shù)的增減性來確定成本、收益或利潤(rùn)的變化趨勢(shì)。六、對(duì)稱軸與頂點(diǎn)的關(guān)系1.對(duì)稱軸拋物線的對(duì)稱軸是直線x=h。對(duì)稱軸不僅決定了拋物線的對(duì)稱性，還決定了函數(shù)的增減趨勢(shì)。對(duì)稱軸穿過頂點(diǎn)(h,k)，將拋物線分為左右對(duì)稱的兩部分。2.頂點(diǎn)的幾何意義頂點(diǎn)(h,k)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，它反映了函數(shù)的極值。在實(shí)際問題中，頂點(diǎn)可以表示最大或最小值，例如最大利潤(rùn)或最小成本。3.平移對(duì)對(duì)稱軸的影響如果將拋物線沿x軸平移h個(gè)單位，對(duì)稱軸也會(huì)相應(yīng)地移動(dòng)h個(gè)單位；沿y軸平移k個(gè)單位，則對(duì)稱軸的位置不變。七、實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景1.物理學(xué)中的拋物運(yùn)動(dòng)拋物線的圖象可以描述物體在重力作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡。例如，拋物線的頂點(diǎn)可以表示物體的最高點(diǎn)，而對(duì)稱軸則表示物體的運(yùn)動(dòng)方向。2.經(jīng)濟(jì)學(xué)中的成本分析在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，二次函數(shù)可以用來分析生產(chǎn)成本與產(chǎn)量的關(guān)系。頂點(diǎn)可以表示最低成本點(diǎn)，而對(duì)稱軸則表示產(chǎn)量達(dá)到這一點(diǎn)時(shí)的條件。3.工程學(xué)中的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)在工程學(xué)中，拋物線常用于設(shè)計(jì)橋梁、天線等結(jié)構(gòu)。通過對(duì)稱軸和頂點(diǎn)的分析，可以優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，使其既美觀又實(shí)用。22.1.3二次函數(shù)y=a(xh)2+k的圖象和性質(zhì)一、圖象的基本特征1.開口方向當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，頂點(diǎn)為最低點(diǎn)。當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，頂點(diǎn)為最高點(diǎn)。2.頂點(diǎn)坐標(biāo)函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k)，其中h和k分別表示拋物線沿x軸和y軸的平移量。頂點(diǎn)不僅是拋物線的對(duì)稱中心，也是函數(shù)極值點(diǎn)。3.對(duì)稱軸拋物線的對(duì)稱軸是直線x=h。對(duì)稱軸將拋物線分為左右對(duì)稱的兩部分，且通過頂點(diǎn)。4.函數(shù)值的變化趨勢(shì)當(dāng)x<h時(shí)，若a>0，函數(shù)值隨x增大而減小；若a<0，函數(shù)值隨x增大而增大。當(dāng)x>h時(shí)，若a>0，函數(shù)值隨x增大而增大；若a<0，函數(shù)值隨x增大而減小。二、對(duì)稱性與頂點(diǎn)的幾何意義1.對(duì)稱性拋物線關(guān)于對(duì)稱軸x=h對(duì)稱，這意味著拋物線上任意一點(diǎn)(x,y)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(2hx,y)也在拋物線上。這一性質(zhì)在解決某些幾何問題時(shí)非常有用。2.頂點(diǎn)的幾何意義頂點(diǎn)(h,k)表示函數(shù)的極值點(diǎn)。當(dāng)a>0時(shí)，k是最小值；當(dāng)a<0時(shí)，k是最大值。在實(shí)際問題中，頂點(diǎn)可以表示最大利潤(rùn)、最小成本等關(guān)鍵指標(biāo)。3.對(duì)稱軸的平移影響當(dāng)拋物線沿x軸平移h個(gè)單位時(shí)，對(duì)稱軸也隨之移動(dòng)h個(gè)單位。沿y軸平移k個(gè)單位時(shí)，對(duì)稱軸位置不變，但拋物線整體上下移動(dòng)。三、函數(shù)的增減性與極值分析1.增減性當(dāng)a>0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，在對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞增。當(dāng)a<0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞增，在對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞減。2.極值分析極值點(diǎn)即為頂點(diǎn)(h,k)。當(dāng)a>0時(shí)，頂點(diǎn)為最小值點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，頂點(diǎn)為最大值點(diǎn)。四、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分析1.與y軸的交點(diǎn)當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)值為y=a(0h)2+k=ah2+k。因此，拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,ah2+k)。2.與x軸的交點(diǎn)拋物線與x軸的交點(diǎn)可以通過解方程a(xh)2+k=0獲得。當(dāng)a>0且方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)a<0且方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，拋物線與x軸也有兩個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)方程無解時(shí)，拋物線完全位于x軸上方或下方。五、實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景1.物理學(xué)中的拋物運(yùn)動(dòng)拋物線的圖象可以描述物體在重力作用下的運(yùn)動(dòng)軌跡。例如，拋物線的頂