教學(xué)設(shè)計題目5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象第1課時內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象內(nèi)容解析正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是一類基本初等函數(shù)，作為函數(shù)的下位知識，學(xué)生有以往研究函數(shù)的經(jīng)驗，知道按照研究函數(shù)的一般路徑，在學(xué)習(xí)了正弦、余弦函數(shù)的定義之后必然要探究其圖象，并為后續(xù)研究正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)、正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象及函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)奠定基礎(chǔ).正弦函數(shù)的圖象體現(xiàn)了函數(shù)圖象與三角函數(shù)定義之間內(nèi)在的邏輯聯(lián)系——圖象是函數(shù)的一種表示法，先根據(jù)定義畫出任意一點(diǎn)，掌握了精確繪制一點(diǎn)的作法原理后，通過選擇具體的、足夠多的點(diǎn)，或者借助信息技術(shù)工具描出任意多的點(diǎn)，畫出正弦函數(shù)在［0,2π］的圖象，進(jìn)而通過平移、連續(xù)成線畫出三角函數(shù)的圖象，這里加強(qiáng)了信息技術(shù)的應(yīng)用.對于余弦函數(shù)，則是根據(jù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的“天然”聯(lián)系，由正弦函數(shù)的圖象通過平移得到余弦函數(shù)的圖象，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)以及銳角的正弦函數(shù)、任意角的正弦函數(shù)，這為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了認(rèn)知基礎(chǔ).同時，學(xué)生也熟悉用“列表——描點(diǎn)——連線”作圖的基本思路.不過，對于正弦函數(shù)，如何根據(jù)其定義準(zhǔn)確地繪制出函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，這仍然是個難點(diǎn)．因為圖象是函數(shù)的一種表示法，所以作函數(shù)圖象的本質(zhì)就是利用函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系作出圖象上的點(diǎn)．假設(shè)T(x0,sinx0)是正弦函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，根據(jù)定義，x0與圖1所以作圖的關(guān)鍵是：給定任意一個橫坐標(biāo)x0，在單位圓上畫出∠AOB=x0，其終邊OB與單位圓交點(diǎn)B的縱坐標(biāo)就是圖象上點(diǎn)T(x0,sinx0)的縱坐標(biāo)，再將之平移至x0處，就得到了點(diǎn)T(目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)1.借助單位圓能畫出正弦函數(shù)的圖象，發(fā)展直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).2.能畫出余弦函數(shù)的圖象，滲透數(shù)形結(jié)合和化歸的數(shù)學(xué)思想.目標(biāo)解析1.能根據(jù)正弦的定義，借助單位圓，在直角坐標(biāo)系中作出圖象上任意一點(diǎn)，并且能利用這一點(diǎn)的作圖原理畫出整個圖象.2.能利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)解析式的關(guān)系，得出其圖象之間的關(guān)系，通過平移正弦曲線得到余弦曲線.教學(xué)重點(diǎn)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象教學(xué)難點(diǎn)作正弦函數(shù)圖象上的一點(diǎn)T(x0,sinx教學(xué)方法分析1.發(fā)揮單位圓的作用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)的整體性.單位圓是研究三角函數(shù)的工具，在探究正弦函數(shù)的圖象時，要注重發(fā)揮單位圓的“腳手架”作用，在加強(qiáng)整體性的同時增強(qiáng)教學(xué)效果，降低學(xué)習(xí)難度，提高教學(xué)質(zhì)量.2.在一般觀念指導(dǎo)下展開研究.一般觀念在本節(jié)內(nèi)容中的指導(dǎo)具體體現(xiàn)：(1)以函數(shù)的一般概念與性質(zhì)為線索；(2)類比指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)展開研究；(3)注重三角函數(shù)的特殊性——周期性；(4)相同背景條件下的幾個對象之間一定有內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)聯(lián)系和轉(zhuǎn)化方法是數(shù)學(xué)研究中的基本任務(wù).3.加強(qiáng)信息技術(shù)的應(yīng)用.本節(jié)內(nèi)容最好借助信息技術(shù)工具輔助完成.教學(xué)過程設(shè)計教師活動與任務(wù)設(shè)計學(xué)生學(xué)習(xí)活動與任務(wù)解決設(shè)計意圖或評價目標(biāo)環(huán)節(jié)一任務(wù)1：情境創(chuàng)設(shè)、提出問題問題1：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義，類比以往研究函數(shù)的經(jīng)驗，接下來我們還要研究三角函數(shù)的什么內(nèi)容呢？追問：我們知道，單位圓上任意一點(diǎn)在圓周上旋轉(zhuǎn)一周就回到原來的位置，這一現(xiàn)象可以用公式sin(x±2π)=sinx，cos(x±2π)=cosx來表示．它的含義是什么？根據(jù)這一特性，你覺得在研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)時可以怎樣簡化研究對象？學(xué)生類比之前學(xué)習(xí)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的經(jīng)驗，思考得出：得到函數(shù)的定義之后，接著必然研究它們的圖象與性質(zhì)．學(xué)生獨(dú)立思考，小組討論后全班交流，教師幫助完善．因為每增加（減少）2π，正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)，因此可以簡化研究過程，只需畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的圖象，就可以通過平移得到它們在整個定義域上的圖象．設(shè)計意圖：讓學(xué)生明確研究函數(shù)的一般路徑，積累研究一類對象的學(xué)習(xí)經(jīng)驗.設(shè)計意圖：規(guī)劃研究方案，構(gòu)建正弦、余弦函數(shù)的研究路徑．評價目標(biāo)：發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)，達(dá)成目標(biāo)1.環(huán)節(jié)二任務(wù)2：探究原理、獲得圖象問題2：繪制函數(shù)的圖象，首先需要準(zhǔn)確繪制其上一點(diǎn)．對于正弦函數(shù)，在[0,2π]上任取一個值x0，如何利用正弦函數(shù)的定義，確定正弦函數(shù)值sinx0，教師引導(dǎo)學(xué)生，根據(jù)定義分析確定x0問題3：我們已經(jīng)學(xué)會繪制正弦函數(shù)圖象上的某一個點(diǎn)，聯(lián)想、類比以前所學(xué)函數(shù)的作圖經(jīng)驗，接下來，如何畫出函數(shù)y=sinx，x∈追問：這兩種繪制方法的異同是什么？引導(dǎo)學(xué)生用“手工細(xì)線纏繞”的方法，使用自制教具完成．具體步驟：找一根沒有彈性的細(xì)線，在x軸上量出橫坐標(biāo)x0圖2然后將長度為x0的細(xì)線以A為起點(diǎn)沿逆時針方向纏繞在單位圓上，細(xì)線的末端就是B(cosx0,sinx0)，于是學(xué)生給出設(shè)想，選擇一種或者多種適合的方法實(shí)施．預(yù)設(shè)：方案1：在區(qū)間[0,2π]內(nèi)任取一些橫坐標(biāo)的值，按照上述方法逐一繪制，再用光滑的曲線連接．方案2：為方便操作，可以在區(qū)間[0,2π]內(nèi)取等分點(diǎn)，按照上述方法逐一繪制，再用光滑的曲線連接．兩種方法本質(zhì)相同，在信息技術(shù)條件支持下都容易實(shí)現(xiàn)，在手工操作的條件下，用方案2比較可行.設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生利用定義分析正弦函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的畫法，深化對正弦函數(shù)定義的理解．通過分析點(diǎn)的坐標(biāo)的幾何意義，準(zhǔn)確描點(diǎn)．設(shè)計意圖：確定畫出一個周期內(nèi)正弦函數(shù)圖象的方法并實(shí)施，同時體會信息技術(shù)給數(shù)學(xué)研究帶來的便捷.評價目標(biāo)：提升邏輯推理、直觀想象核心素養(yǎng),達(dá)成目標(biāo)1.設(shè)計意圖：畫出正弦函數(shù)在［0,2π］上的圖象后，讓學(xué)生自己根據(jù)誘導(dǎo)公式一進(jìn)行拓展，得出正弦曲線，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力，并在作圖過程中感受正弦函數(shù)的變化規(guī)律，為接下來研究性質(zhì)做準(zhǔn)備．設(shè)計意圖：通過觀察函數(shù)圖象，概括其特征，獲得“五點(diǎn)法”作圖的簡便畫法.評價目標(biāo)：提升直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng),達(dá)成目標(biāo)1.師生活動：學(xué)生用方案2繪制函數(shù)圖象，教師借助信息技術(shù)，用方案1繪制函數(shù)圖象．利用信息技術(shù)，可使x0在區(qū)間［0,2π］上取到足夠多的值而畫出足夠多的點(diǎn)T(x0,sinx0),將這些點(diǎn)用光滑的曲線連接起來，可得到比較精確的函數(shù)y=sinx，圖3問題4：根據(jù)函數(shù)y=sinx，x∈［0,2π］的圖象，你能想象正弦函數(shù)y=sinx，學(xué)生獨(dú)立思考，說明依據(jù)并畫圖：根據(jù)誘導(dǎo)公式一，可知函數(shù)y=sinx，x∈［2kπ，2(k+1)π］,k∈Z且k≠0的圖象與y=sinx，x∈［0,2π］的圖象形狀完全一致．因此將函數(shù)y=sinx，x∈［0,2π］的圖象不斷向左、向右平移（每次移動2π個單位長度），就可以得到正弦函數(shù)圖4小結(jié)：正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線．問題5：我們已經(jīng)知道了正弦函數(shù)圖象的形狀．請你結(jié)合上述正弦曲線的作圖過程思考，在確定正弦函數(shù)的圖象形狀時，應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點(diǎn)？教師：只要描出這五個點(diǎn)，按照正弦函數(shù)圖象的走勢，并用光滑曲線將之連接就可以畫出函數(shù)的簡圖，稱之為“五點(diǎn)法”.學(xué)生回顧取點(diǎn)的作圖過程，同時觀察正弦曲線，得出：在函數(shù)y=sinx，x∈［0,2π］的圖象上，五個點(diǎn)(0,0)，(π2,1)，(π,0)，(3π2,環(huán)節(jié)三任務(wù)3：發(fā)現(xiàn)聯(lián)系、變換作圖問題6：現(xiàn)在我們知道了正弦函數(shù)圖象的畫法，那么，余弦函數(shù)y=cos追問1：你能在兩個函數(shù)圖象上選擇一對具體的點(diǎn)，解釋這種平移變換嗎？教師：余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R的圖象叫做余弦曲線．它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪形”曲線．追問2：類似于用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)的圖象，如何畫出余弦函數(shù)的簡圖呢？學(xué)生先用排除法觀察誘導(dǎo)公式，選擇簡潔的公式，作為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系研究的依據(jù)．學(xué)生通過比較進(jìn)行選擇．從數(shù)的角度看，可以選擇關(guān)系式cosx=sin(x+π2)．記f(x)=siny=cos學(xué)生獨(dú)立完成，之后展示交流：設(shè)x0,yy0＝cosx0=令x0y0＝sint0，即在函數(shù)y=sinx圖象上有對應(yīng)點(diǎn)t0,y0．比較兩個點(diǎn)：所以點(diǎn)x0,y0可以看作是點(diǎn)t學(xué)生獨(dú)立完成，設(shè)計意圖：利用誘導(dǎo)公式，通過圖象變換，由正弦函數(shù)的圖象獲得余弦函數(shù)的圖象，增強(qiáng)對兩個函數(shù)圖象之間的聯(lián)系性的認(rèn)識.設(shè)計意圖：為學(xué)有余力的學(xué)生設(shè)置，進(jìn)一步認(rèn)識圖象之間的聯(lián)系.設(shè)計意圖：鞏固對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象特征的認(rèn)識，熟練"五點(diǎn)法"畫圖，提高畫圖的基本技能．評價目標(biāo)：提升直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng),達(dá)成目標(biāo)1.環(huán)節(jié)四任務(wù)4：例題練習(xí)，鞏固理解例1.先用五點(diǎn)法畫出下列函數(shù)的圖象，然后再說明如何經(jīng)過圖象的變換得到其圖象：(1)y=1+sinx∈［0,2π］；(2)y=－x∈［0,2π］．學(xué)生先獨(dú)立完成，然后對解題思路和結(jié)果進(jìn)行展示交流．解：(1)按五個關(guān)鍵點(diǎn)列表：（表1）描點(diǎn)并用光滑曲線連接起來.(將函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象向上平移1個單位長度可得.)圖5(2)按五個關(guān)鍵點(diǎn)列表：（表2）描點(diǎn)并用光滑曲線連接起來.(將函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象關(guān)于x軸對稱可得.)圖6設(shè)計意圖：鞏固對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的認(rèn)識，熟練“五點(diǎn)法”作圖，掌握畫圖的基本技能．同時，通過分析圖象變換，深化對函數(shù)圖象關(guān)系的理解，為后續(xù)的學(xué)習(xí)做鋪墊．評價目標(biāo)：提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，達(dá)成目標(biāo)1、2.課堂小結(jié)回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，回答下列問題：(1)回顧研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的作圖過程．畫出結(jié)構(gòu)圖反映研究過程．(2)本節(jié)課給出的函數(shù)圖象作圖方法與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等函數(shù)圖象的作法有什么區(qū)別？為什么要用這些方法？學(xué)生獨(dú)立思考、歸納，再進(jìn)行全班交流．(1)繪制一點(diǎn)↓［0,2π］的圖象↓正弦曲線↓余弦曲線(2)“列表—描點(diǎn)一連線”是常用方法，以往所描點(diǎn)的坐標(biāo)是通過代數(shù)運(yùn)算得到的．而正弦函數(shù)因為其對應(yīng)關(guān)系是單位圓的圓心角（任意角）與相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)之間的“幾何對應(yīng)”，并沒有“代數(shù)運(yùn)算”的特征，因此，正弦函數(shù)圖象的精準(zhǔn)繪制就不能沿用以前的常規(guī)描點(diǎn)，只有回歸定義，利用定義中所反映的自變量與函數(shù)值的幾何意義，借助單位圓，通過幾何描點(diǎn)的方法完成作圖．利用余弦函數(shù)與正弦函數(shù)的聯(lián)系就能得到余弦函數(shù)圖象．設(shè)計意圖：通過小結(jié)，不但明確了精確作正弦、余弦函數(shù)圖象的方法，而且豐富了函數(shù)作圖的經(jīng)驗，為后續(xù)研究正切函數(shù)的圖象奠定了基礎(chǔ).另外，正弦函數(shù)的作圖過程還體現(xiàn)了函數(shù)圖象與定義的內(nèi)在聯(lián)系，通過作圖可以加深對函數(shù)本質(zhì)的理解，為研究函數(shù)性質(zhì)奠定基礎(chǔ)．評價目標(biāo)：提升直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng),達(dá)成目標(biāo)1、2.目標(biāo)檢測與作業(yè)設(shè)計目標(biāo)檢測1．（多選）以下對于正弦函數(shù)y＝sinx的圖象描述正確的是()A．在x∈［2kπ，2(k+1)π］,k∈Z上的圖象形狀相同，只是位置不同B．關(guān)于x軸對稱C．介于直線y＝1和y＝－1之間D．與y軸僅有一個交點(diǎn)2.函數(shù)y=cosx與y=A．關(guān)于直線x＝1對稱B．關(guān)于原點(diǎn)對稱C．關(guān)于x軸對稱D．關(guān)于y軸對稱3.用五點(diǎn)法作下列函數(shù)的圖象：(1)y=sinx，x∈［－(2)y＝cosx+12，x∈作業(yè)設(shè)計預(yù)計完成時間：20分鐘基礎(chǔ)鞏固類作業(yè)（必做）作業(yè)1：教科書第200頁練習(xí)1、4題．鞏固提升類作業(yè)(任選1題)作業(yè)2：1.用“五點(diǎn)法”作下列函數(shù)的簡圖.(1)y＝2sinx，x∈[0,2π]；(2)y=sinx－π2，x∈[π2.當(dāng)x∈[－2π,2π]時，作出下列函數(shù)的圖象，把這些圖象與y＝sinx的圖象進(jìn)行比較，你能發(fā)現(xiàn)圖象變換的什么規(guī)律？(1)y＝－sinx；(2)y＝|sinx|；(3)y＝sin|x|.拓展延伸類作業(yè)（選做）作業(yè)3：簡諧運(yùn)動的圖象實(shí)驗：將塑料瓶底部扎一個小孔做成一個漏斗，再掛在架子上，就做成了一個簡易單擺(如圖7所示).在漏斗下方放一塊紙板，板的中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸.把漏斗灌上細(xì)沙并拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板.這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運(yùn)動的圖象.圖7圖8觀察簡諧運(yùn)動的圖象，對比、并思考簡諧運(yùn)動的圖象與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的異同，你能通過查閱資料，找到它們之間的聯(lián)系嗎？設(shè)計意圖：考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象及用“五點(diǎn)法”作函數(shù)簡圖的方法．評價目標(biāo)：提升直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng),達(dá)成目標(biāo)1、2.設(shè)計意圖：通過作業(yè)