試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數學專題訓練：二次函數綜合與最值問題1．已知二次函數，（為常數，且）圖象經過點．(1)求二次函數圖象的對稱軸；(2)若，當時，的最大值為，求的值；(3)已知，是該二次函數圖象上的兩點．若對于，，總有，求的取值范圍．2．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點B，拋物線經過A，B．(1)求拋物線解析式；(2)是線段上一動點，過點作軸于點，交于點，交拋物線于點P，連接PB．①當時，求的面積.②點在線段上運動時，連結交于點，當的值最大時，請你求出點的坐標和的最大值．3．已知拋物線（a為常數）的頂點橫坐標比拋物線的頂點橫坐標小1．(1)求a的值；(2)設點在拋物線上，點在拋物線上．①若，且，求n的值；②若，求n的最大值．4．在平面直角坐標系中，已知拋物線經過，，，點為二次函數在第四象限的動點．連接、相交于點．(1)求二次函數的解析式；(2)當存在最大值時，求點的坐標．5．某興趣小組做小球彈射實驗，軸表示水平地面，表示斜坡，．從點處以一定方向和速度彈出小球，小球的飛行路線可用拋物線刻畫，其中為小球彈出后飛行的水平距離，為小球彈出后距離水平地面的高度．斜面可用直線刻畫．實驗測得：，，；小球飛行過程中經過、和三個點．(1)求拋物線的表達式；(2)求小球在斜面上的落點的橫坐標；(3)當時，小球在飛行過程中與斜面間的豎直距離的最大值為多少？6．在平面直角坐標系運動中，已知二次函數的圖象經過點．(1)求的值；(2)圖象上有兩點．①若，求的值；②探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．7．在同一平面直角坐標系中，已知x軸上有兩點和，過這兩點分別作垂線與某函數圖象分別交于點C和點D，當有最小值時，此時和稱為該函數的“蟲洞”，的最小值稱為該函數的“蟲洞距離”．(1)如圖1為正比例函數的圖象，和是其“蟲洞”．當時，根據題意可知，，則；當時，，，則；當時，，，則．由上述分析，請你直接寫出正比例函數的“蟲洞距離”為；(2)如圖2，是函數的圖象，和是其“蟲洞”，①求函數的“蟲洞距離”；②如圖3，函數和函數位于同一個平面直角坐標系，若兩個函數的“蟲洞距離”相等，求t的值．8．AI自習室的出現方便了學生的學習，提高了學習效率．小李經營一家AI自習室，共有24個房間，當每個房間的定價為200元/天時，房間會全部被占用．小李調研發現，當每個房間的定價每增加10元時，就會有1個房間空閑．請利用二次函數的知識，幫助小李計算當每間房間的定價為多少時，AI自習室每天的營業額最大，最大營業額為多少元？9．如圖，拋物線經過點，過該拋物線的頂點C作直線軸于點D，，在拋物線上，且在對稱軸右側，過點P作軸于點E．(1)求該拋物線的解析式．(2)若，求點P的坐標．(3)如圖2，橫坐標為2的點F也在拋物線上，點G在線段上，且在點F的下方，當時，求點P橫坐標的最大值．10．如圖，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似的看成拋物線．圖是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是米，當噴射出的水流與噴灌架的水平距離為米時，達到最大高度米，現將噴架置于坡地底部點處，草坡上距離的水平距離為米處有一棵高度為米的小樹，垂直水平地面且點到水平地面的距離為米．(1)求拋物線的解析式．(2)記水流的高度為，斜坡的高度為，求的最大值．(3)如果要使水流恰好噴射到小樹頂端的點，那么噴射架應向后（即拋物線向左）平移米．11．如圖，直線與拋物線交于，兩點，點在軸上，點在軸上．(1)求拋物線的解析式；(2)點是第一象限的拋物線上一點，點位于何處時四邊形面積最大，求此時點的坐標以及四邊形的面積的最大值．12．某款旅游紀念品很受游客喜愛，每個紀念品進價元，規定銷售單價不低于元，且不高于元．某商戶在銷售期間發現，當銷售單價定為元時，每天可售出個，銷售單價每上漲元，每天銷量減少個．現商家決定提價銷售，設每天銷售量為個，銷售單價為元．(1)直接寫出與之間的函數關系式和自變量的取值范圍；(2)將紀念品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤元最大？最大利潤是多少元？(3)該商戶從每天的利潤中捐出元做慈善，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于元，求銷售單價的范圍．13．已知拋物線的頂點縱坐標比拋物線的頂點縱坐標小8．(1)求的值；(2)點在拋物線上，點在拋物線上．①若，求的最小值；②若，且，，，求的值．14．如圖，已知拋物線與x軸正半軸交于點，與y軸交于點，點P是x軸上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點C，交直線于點D，設．(1)求拋物線的函數表達式；(2)當時，求線段的最大值；(3)在和中，當其中一個三角形的面積是另一個三角形面積的2倍時，求相應x的值；15．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線，c是常數）經過點，且對稱軸為直線，動點P在拋物線上，其橫坐標為m．(1)求拋物線的解析式；(2)若點P到y軸的距離小于3，求點P的縱坐標的取值范圍；(3)若拋物線位于點P右側（包含點P）部分的函數值最小為，求m的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數學專題訓練：二次函數綜合與最值問題》參考答案1．(1)直線(2)(3)或【分析】本題主要考查二次函數圖形的性質，掌握二次函數圖形的開口，最值的計算，對稱軸直線的計算等知識，數形結合分析，分類討論是解題的關鍵．（1）把點代入，運用對稱軸直線的計算公式求解即可；（2）二次函數圖象的對稱軸是，則，，根據二次函數圖象的性質得到當時，的值最大，代入計算即可求解；（3）分類討論：當時，，當時，或，數形結合分析即可求解．【詳解】（1）解：二次函數，則對稱軸直線為，由題意知，二次函數的圖象過，，則，，二次函數圖象的對稱軸是；（2）解：二次函數圖象的對稱軸是，，，當時，二次函數的圖象草圖如圖1，由圖象可以看出：在范圍內，點的位置最高，∴當時，的值最大，此時，．解得；（3）解：當時，函數圖象草圖如圖2，點在，之間的拋物線上，此時當點在點的位置時的值最小，點關于直線的對稱點為點，由于，點在直線下方的拋物線上，，又，，解得，又，，當時，函數圖象的草圖如圖3，點在之間的拋物線上，此時點在點處的值最小，點關于直線的對稱點為點，由于，點在直線下方的拋物線上，或，又，或，解得或（不合題意舍去），綜上所述，的取值范圍是或．2．(1)拋物線(2)①的面積為3；②點的坐標；當時，有最大值，最大值為【分析】（1）求出點B坐標，利用待定系數法求出拋物線解析式即可；（2）①求出點P坐標，再求出的面積即可；②過點Q作于點H，設點P坐標，求出直線解析式，列出的代數式，再確定它的最大值和E點坐標即可．【詳解】（1）解：∵直線與x軸交于點，∴得，

則直線，當時，，點，又∵，拋物線經過A，B，∴解得，則拋物線；（2）解：①軸，，

，，點D坐標為，，

．②如圖，過點Q作于點H，設直線的解析式為，∵，∴，

解得：，∴直線的解析式為，聯立，

解得：，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴當時，有最大值，最大值為，此時．【點睛】本題考查了二次函數的綜合，解題關鍵是熟練利用待定系數法求出二次函數解析式，利用點的坐標表示出比值，再利用二次函數的性質確定最值．3．(1)(2)①3②4【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解題的關鍵：（1）求出的頂點的橫坐標，進而求出的頂點橫坐標，列出方程進行求解即可；（2）①把點代入上，得到，把，，代入，得到，進而得到，因式分解得到，進而求出的值，即可出得出結果；②同①得到，把代入，轉化為二次函數求最值即可．【詳解】（1）解：∵，∴拋物線的頂點坐標為，∵拋物線（a為常數）的頂點橫坐標比拋物線的頂點橫坐標小1，∴，解得：；（2）①由（1）知：，∵點在拋物線上，∴，∵，，∴，∴，整理，得：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴當時，有最大值為：4．4．(1)(2)D的坐標為【分析】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求一次函數和二次函數的解析式，相似三角形的性質和判定，三角形的面積等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．（1）待定系數法求解析式，即可求解；（2）過點作軸，交于，則，得出直線的解析式為：，設，得出，進而得出關于的關系式，根據二次函數的性質，即可求解．【詳解】（1）解：將，，代入，得：，解得，，∴二次函數的解析式為（2）解：過點作軸，交于，.由，，設直線的解析式為∴∴∴直線的解析式為：，設，把代入，得，又，，∴當時，的最大值為，∴D的坐標為5．(1)(2)(3)【分析】本題考查了待定系數法求二次函數和一次函數解析式、二次函數的實際應用、二次函數的最值等知識，熟練掌握以上知識點是解答本題的關鍵．（1）待定系數法求出拋物線解析式即可得解；（2）先求出斜面的解析式，再根據小球在斜面上的落點可以看作是斜面和拋物線的交點，聯立方程組求解即可；（3）設的坐標為，則，表示出的長度，再利用二次函數最值求解即可．【詳解】（1）解：將、代入得：，解得：，拋物線的解析式為；（2）解：，，，，，將、兩點坐標代入得：，解得：，斜面的解析式為，小球在斜面上的落點可以看作是斜面和拋物線的交點，令，解得：（負值舍去），小球在斜面上的落點的橫坐標為；（3）解：設的坐標為，則，，，當時，有最大值，此時，答：小球在飛行過程中與斜面間的豎直距離的最大值為．6．(1)(2)①存在最小值為0【分析】本題考查待定系數法、二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解答的關鍵．（1）利用待定系數法求解即可；（2）①先由已知求得，再代入求得；②由于，利用二次函數的性質求解即可．【詳解】（1）解：由已知，二次函數的圖象經過點，∴，解得．（2）解：①由題意，，∴．；②存在最小值．由，得存在最小值為0．7．(1)2(2)①；②或【分析】（1）分三種情況：當時，當時，當時，求出的最小值，即可得出答案；（2）①根據和，得出，，求出，根據二次函數的最值，求出當時，的最小值為，得出答案即可；②分兩種情況：當時，當時，分別求出結果即可．【詳解】（1）解：當時，，當時，有最小值2；當時，；當時，，當時，有最小值2．∴正比例函數的“蟲洞距離”為2；（2）解：①∵和，∴，，∴，當時，的最小值為，∴函數的“蟲洞距離”為；②當時，，，此時兩個函數的“蟲洞距離”不能相等；當時，，，∵兩個函數的“蟲洞距離”相等，∴，解得：或．【點睛】本題主要考查了新定義運算，二次函數最值，新定義運算，一次函數的性質，解題的關鍵是理解題意，注意進行分類討論．8．當每間房間的定價為元時，AI自習室每天的營業額最大，最大營業額為元【分析】本題考查二次函數的實際運用，解題的關鍵在于根據題意建立二次函數關系式．根據“每天的營業額每間房間的定價房間數”建立二次函數關系式，再結合二次函數性質求解，即可解題．【詳解】解：由題知，，整理得，有，化為頂點式為，，當時，每天的營業額最大，最大營業額為元．9．(1)(2)(3)【分析】（1）根據拋物線解析式，得到對稱軸，進而求出點，再結合，利用待定系數法求解，即可解題；（2）利用平行線性質證明，得到，設，結合建立等式求出的值，進而求得點P的坐標；（3）結合題意求出點F的坐標，作于點，證明，利用相似三角形性質得到，再利用二次函數的最值求解，即可解題．【詳解】（1）解：，拋物線對稱軸為直線，，,拋物線經過點，即，解得，拋物線為；（2）解：，,軸于點E,,,,設，有,,,整理得，解得，是拋物線在第一象限上一動點，，即；（3）解：點F的橫坐標為2，，即點F的坐標為，作于點，有,,,,,,,,∵，，∴，∴，∵點在線段上，且在點下方，∴，∵，∴當時，．【點睛】本題考查待定系數法求拋物線解析式，平行線性質，相似三角形性質和判定，二次函數的圖象與性質，解題的關鍵在于熟練掌握相關性質．10．(1)(2)(3)【分析】（）由題可知拋物線的頂點坐標為，進而利用待定系數法解答即可求解；（）先求出斜坡的高度的解析式，列出，再根據函數的性質解答即可求解；（）設噴射架向后平移了米，設出平移后的函數解析式，代入點的坐標即可求解；本題考查了二次函數的應用，根據題意正確求出二次函數的解析式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由題可知，拋物線的頂點坐標為，設水流形成的拋物線的表達式為，將點代入得，，解得，∴拋物線的表達式為；（2）解：由題可知點坐標為，設直線的函數解析式為，把代入得，，∴，∴直線的解析式為，∴，∵，∴當時，取最大值，最大值為；（3）解：設噴射架向后平移了米，則平移后的拋物線可表示為，將點代入得，，解得或(不合，舍去)，∴噴射架應向后移動米，故答案為：．11．(1)拋物線解析式為；(2)此時點的坐標為，四邊形的面積的最大值為．【分析】（）先由直線與軸交于點，與軸交于點，求出點，點，然后利用待定系數法求出二次函數解析式即可；（）過作軸于點，交于點，設，則，則，然后由得出，再根據二次函數的性質即可求解；本題考查了一次函數與坐標軸的交點，求二次函數的解析式，二次函數的幾何問題，熟練掌握一次函數和二次函數的圖象與性質，采用數形結合的思想解題是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵直線與軸交于點，與軸交于點，∴當時，，當時，，∴點，點，∵拋物線交于，兩點，∴，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：如圖，過作軸于點，交于點，設，則，∴，則，當時，有最大，最大值為，∴，此時點的坐標為．12．(1)；(2)將紀念品的銷售單價定為元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤元最大，最大利潤是元；(3)捐款后每天剩余利潤不低于元，銷售單價的范圍是．【分析】本題主要考查了二次函數的應用．解決本題的關鍵是根據二次函數的性質求出二次函數的最值，從而解決利潤最大的問題．根據銷售單價每上漲元，每天銷量減少個，列出與之間的函數關系式，根據規定銷售單價不低于元，且不高于元可得自變量的取值范圍；根據利潤銷量單件利潤可以得到，利用二次函數的性質求出最大利潤；根據捐款后每天剩余利潤不低于元，可以得到，求出方程的解，再根據自變量的取值范圍確定銷售單價的范圍．【詳解】（1）解：根據題意得：，與之間的函數關系式為；

（2）解：根據題意得：整理得：，配方得：，，拋物線的對稱軸為，當時，隨的增大而增大，又，當時，有最大值，最大值為，將紀念品的銷售單價定為元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤元最大，最大利潤是元；（3）解：根據題意可得：剩余利潤為元，捐款后每天剩余利潤不低于元，，，解方程，可得：，，又，，要使捐款后每天剩余利潤不低于元，則，答：捐款后每天剩余利潤不低于元，銷售單價的范圍是．13．(1)(2)①；②【分析】本題考查了二次函數的圖象性質，把二次函數一般式化為頂點式，因式分解法解一元二次方程．（1）分別求出兩個函數的對稱軸，再求出頂點的縱坐標，結合“拋物線的頂點縱坐標比拋物線的頂點縱坐標小8”，進行列式計算，即可求解．（2）①先把和分別代入，，得出，；整理出，因為，所以，運用二次函數的圖象性質，即可求解；②先得出，故，所以，結合，，即可求解．【詳解】（1）解：依題意，拋物線的對稱軸為直線，把代入，得，故該函數的頂點縱坐標為，拋物線的對稱軸為直線，把代入，∴