2025年春九年級數學中考二輪復習《四邊形綜合》解答題專題提升訓練（附答案）1．已知平行四邊形ABCD，對角線AC與BD相交于點O，點P在邊AD上，過點P分別作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分別為E、F，(1)如圖，若∠EPF=60°,EO=1，求PE的長；(2)若點P是AD的中點，點F是DO的中點．求證：平行四邊形ABCD是正方形．2．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，點P沿線段AB從點A向點B運動，其速度為每秒1個單位長度，設運動時間為t．

(1)求AD的長；(2)點P在運動過程中，t為何值時，四邊形APCD是矩形？(3)點P在運動過程中，t為何值時，四邊形DPBC是平行四邊形？3．如圖，矩形ABCD中，CD=4，∠CBD=30°．一動點P從B點出發沿對角線BD方向以每秒2個單位長度的速度向點D勻速運動，同時另一動點Q從D點出發沿DC方向以每秒1個單位長度的速度向點C勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點P、Q運動的時間為t秒t>0．過點P作PE⊥BC于點E，連接EQ，PQ．(1)求證：PE=DQ；(2)當t為何值時，△PQE為直角三角形？請說明理由．4．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=6，點P為BC上一個動點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形APCQ，連接PQ交AC于點O(1)若AC=PQ，求PB的長；(2)當PB長為何值時，平行四邊形APCQ是菱形？為什么？(3)在點P的運動過程中，線段PQ的長度是否存在最小值，若存在，請直接寫出最小值；若不存在，請說明理由．5．如圖：矩形OABC的頂點A、C分別在坐標軸上，點B的坐標為a,b．(1)若a、b滿足：a?8+6?b=0(2)已知：EO、EA分別平分∠COA、∠BAO，連CE并延長交邊AB于點F，若點F為邊AB中點，求ab(3)點M、D分別在邊AB、y軸上，CM、BD相交于N，點B的坐標為3,b，BM=1，若∠BNM=45°，求CD的長．6．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=10cm，BD=45cm．動點P從點A出發，沿AB方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，動點Q從點A出發，沿AD方向勻速運動，速度為2cm/s．以AP，AQ為鄰邊的平行四邊形APMQ的邊PM與AC交于點E(1)當點M在BD上時，求t的值；(2)連接BE．設△PEB的面積為Scm2，求S與t的函數關系式和(3)是否存在某一時刻t，使點B在∠PEC的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；(4)連接BM，直接寫出BM長的最小值．7．如圖1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分別為邊AB,BC,CD,DA上的點，HA=EB=FC=GD，連接EG,FH，交點為O．(1)如圖2，連接EF,FG,GH,HE，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結論；(2)將正方形ABCD沿線段EG,HF剪開，再把得到的四個四邊形按圖3的方式拼接成一個四邊形．若正方形ABCD的邊長為3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，則圖3中陰影部分的面積為8．綜合與實踐：問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數學活動．在矩形ABCD中，E為AB邊上一點，連接CE，CF，CF翻折，D，B的對應點分別為G，H，且C，H，G三點共線．觀察發現：（1）如圖1，若F為AD邊的中點，AB=BC=10，點G與點H重合，則∠ECF=______°，AE=；問題探究：（2）如圖2，若∠DCF=22.5°，AB=22，BC=2，則點G_____AB邊上（填“在或不在”），并求出AE拓展延伸：（3）AB=20，AD=15，若F為AD靠近A的三等分點，請求出AE的長．9．如圖1，正方形ABCD的邊長為42，點F從點B出發，沿射線AB方向以每秒2個單位長度的速度移動，點E從點D出發，向點A以每秒2個單位長度的速度沿線段DA移動（不與點A重合）設點E，F同時出發移動t(1)當t=1時，求EF的長；(2)在點E，F移動過程中，連接CE，CF，EF，請判斷△CEF的形狀并說明理由；(3)如圖2，點G，H，分別在邊AB，CD上，且GH=52，連接EF，交GH于點P，當EF與GH的夾角為45°，求t10．如圖1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，沿直線AC翻折△ABC得到△AB′C.如圖2，延長BC和AB′，點E從點A的位置沿射線AB′方向平移，且作DE∥AC，DF∥CB′．同時動點P和Q出發，點P從點A沿線段AC向終點C運動，點

(1)問點P和點Q平移的速度分別為多少時，才能使四邊形EPCQ始終成為矩形；(2)在（1）的條件下，①問t為何值時，矩形EPCQ是正方形；②t為何值時，矩形EPCQ(3)在（1）的條件下，當直線PQ經過四邊形ABDF其中一個頂點時，求t的值．11．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，點P從點A出發，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發，以2cm/s的速度向點B(1)從運動開始，當t取何值時，PQ∥(2)從運動開始，當t取何值時，PQ=CD？(3)在整個運動過程中是否存在t值，使得四邊形PQCD是菱形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由．12．（1）如圖①，在?ABCD中，過點A作AE⊥BC于點E，過點A作AF⊥DC于點F，若AE=2，BE=3，AF=47（2）如圖②，在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，點P是矩形ABCD內部一點，且滿足∠BPC=90°，則點P到AD的最小距離為多少．（3）如圖③，小明家有一個邊長為10米的正方形空地EFGH，點A為HE邊上一點且AE=4米，小明計劃在EF邊上任取一點B，以AB為邊在AB上方修建一個面積為16平方米的矩形草莓種植大棚（即ABCD為矩形且面積為16平方米），同時計劃利用△DHG區域種植葡萄，剩下區域栽種花卉和草坪，由于近幾年葡萄的銷量不好，所以小明計劃在不減少草莓種植面積的條件下減少葡萄種植區域的面積，請你幫助小明計算出當葡萄種植區域面積最小時BE的長為多少．13．【問題情境】：如圖1，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=3，DC=2，求AD的長．【問題解決】小明同學是這樣分析的：將△ABD沿著AB翻折得到△ABE，將△ACD沿著AC翻折得到△ACF，延長EB、FC相交于點G，設AD為x，在Rt△GBC中運用勾股定理，可以求出AD

（1）說明四邊形AEGF是正方形；（2）求出AD的長．【方法提煉】請用小明的方法解決以下問題：（3）如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD=45°，BC=6，CD=8，BD=10，求AC的最大值．（4）如圖3，四邊形ABCD中，BC=6，AD=2，點E是AB上一點，且∠DEC=135°，AE=3，BE=4，則CD的最大值為．（直接寫出結果）14．【問題探究】（1）如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，在線段AO上任取一點P（端點除外），連接PD、PB．①求證：PD=PB；②將線段DP繞點P逆時針旋轉，使點D落在BA的延長線上的點Q處．當點P在線段AO上的位置發生變化時，請你判斷∠DPQ的大小是否發生變化，并請說明理由；【遷移探究】（2）如圖2，將正方形ABCD換成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他條件不變，請你探究AQ與CP的數量關系，并說明理由．15．定義：有兩個相鄰內角互余的四邊形稱為鄰余四邊形．(1)如圖1，在鄰余四邊形ABCD中，∠B=40°，則∠C=________；(2)如圖2，在△ABC中，AC=45，BC=4，DE垂直平分AC交AB于點E，垂足為D，且DE=5，BE=3，F為BC上一點，求證：四邊形(3)如圖3、圖4，在鄰余四邊形ABCD中，E為AB中點，∠DEC=90°，①如圖3，當DE⊥AD時，判斷四邊形BCDE的形狀并證明你的結論；②如圖4，當AD=6，BC=8時，求CD的長．16．問題提出（1）如圖1，在菱形ABCD中，DC=3，∠BCD=120°，AE⊥BC，則AE的長為______；問題探究（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是BC上一動點，連接AE，以AB為直徑的半圓與AE相交于點M，連接MD，MC，求△MDC面積的最小值；問題解決（3）如圖3，有一個菱形花園ABCD，AB=300m，∠ABC=60°，點P是菱形ABCD內一點，現需在花園內開辟三角形區域APB種植一種紅色花卉．在三角形區域PDC種植一種黃色花卉，其他地方種植綠植．根據設計要求，滿足∠ABP+∠DCP=90°，同時過點P修建四條小路分別是PA，PB，PC，PD供游客參觀．若綠植面積每平方米100元，請問當點P到AD的距離為多少米時，△APD面積存在最小值？并求出△APD種植綠植需要花費多少元？17．某研究性學習小組在學習第三章第4節《簡單的圖案設計》時，發現了一種特殊的四邊形，如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，我們把這種四邊形稱為“等補四邊形”．如何求“等補四邊形”的面積呢？探究一：（1）如圖2，已知“等補四邊形”ABCD，若∠A=90°，將“等補四邊形”ABCD繞點A順時針旋轉90°，可以形成一個直角梯形（如圖3）．若BC=4cm，CD=2cm探究二：（2）如圖4，已知“等補四邊形”ABCD，若∠A=120°，將“等補四邊形”繞點A順時針旋轉120°，再將得到的四邊形按上述方式旋轉120°，可以形成一個等邊三角形（如圖5）．若BC=6cm，CD=4cm，求“等補四邊形”探究三：（3）由以上探究可知，對一些特殊的“等補四邊形”，只需要知道BC，CD的長度，就可以求它的面積．那么如圖6，已知“等補四邊形”ABCD，連接AC，若BC=m，CD=n，∠ACD=30°，試求出“等補四邊形”ABCD的面積（用含m，n的代數式表示）．18．【方法回顧】（1）如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形ABOC為正方形，直線l經過點A，BE⊥l于點E，CF⊥l于點F，若點A的坐標為?10,10，CF=3【問題解決】（2）如圖2，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形ABOC為菱形，直線l⊥AC于點A交OB于點P，BE⊥AB交l于點E，點F在AP上，且∠ACF=∠BAE，若AB=23，EF=2，求點E，F【思維拓展】（3）如圖3，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形ABOC為矩形，直線l分∠BAC為1:2兩部分，BE⊥l于點E，CF⊥l于點F，若點F的坐標為?33,?1，直接寫出點19．【問題提出】（1）如圖①，在△ABC中，點D為BC的中點，則：SABDSADC（填“>，<，【問題探究】（2）如圖②，在正方形ABCD中，AB=4，點E為AB的中點，點F、G分別為BC、AD邊上的動點，∠GEF=120°，求△EFG面積的最小值；【問題解決】（3）如圖③，矩形ABCD是某農業觀光園的部分平面示意圖，AB=50千米，AD=80千米，AB邊上的點E為休息區，且AE=20千米，三條觀光小路EG、EF、FG（小路寬度不計，F在AD邊上，G在BC邊上）擬將這個園區分成四個區域，用來種植不同的蔬菜，根據實際需要，∠FEG=60°并且要求△EFG的面積盡可能小，那么是否存在滿足條件的△EFG？若存在，請求出△EFG的面積的最小值；若不存在，請說明理由．20．小亮同學喜歡研究數學問題．他在一本資料中看到一個新的數學概念“對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形”，并對垂等四邊形進行了研究．具體內容如下：【理解應用】（1）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形OABC是垂等四邊形，點A的坐標為4,0，點C的坐標為0,3，求點B的坐標；【規律初探】（2）如圖2，正方形ABCD的邊長為a，點E在邊AB上，點F在邊BC上，點G在邊CD上，點H在邊AD上，若四邊形滿足EG=FH，請直接寫出四邊形EFGH面積S的取值范圍；【綜合探究】（3）如圖3，已知拋物線y=?x2+2x+3與x軸交于M、N兩點，點M在點N的左側，P、Q兩點在該拋物線上．若以M、N、P、Q為頂點的四邊形是垂等四邊形且MN∥PQ．設點P的橫坐標為m，點Q的橫坐標為n，且m>n參考答案1．（1）解：連接PO，如圖，∵PE=PF,PO=PO,PE⊥AC、∴Rt△PEO∴PF=PE,∠EPO=∠FPO=30°，在Rt△PEO中，EO=1,∠EPO=30°∴PO=2，∴PE=P∴PF=3（2）證明：∵P是AD中點，∴AP=PD又∵PE=PF，∴Rt△PEA∴∠OAD=∠ODA．∴OA=OD．∴AC=2OA=2OD=BD．∴平行四邊形ABCD是矩形．∵點P是AD中點，，點F是DO的中點，∴AO∥∵PF⊥BD，∴AC⊥BD．∴平行四邊形ABCD是菱形．∴平行四邊形ABCD是正方形．2．解：（1）如圖，過C作CE⊥AB于點E，

∵AB∥CD，AD⊥AB∴∠ADC=90°∴四邊形AECD為矩形，∴AD=CE，∵∠B=60°，∴∠BCE=30°∴BE=∴CE=∴AD=CE=23（2）由（1）可得，四邊形AECD為矩形，∴當點P和點E重合時，四邊形APCD是矩形∵AB=10，BE=2∴AE=AB?BE=8∵點P沿線段AB從點A向點B運動，其速度為每秒1個單位長度，設運動時間為t∴t=8÷1=8（秒）∴t=8時，四邊形APCD是矩形；（3）∵四邊形AECD為矩形，∴CD=AE=8∵AB∥CD，即PB∥CD∴當PB=CD=8時，四邊形DPBC是平行四邊形∴此時AP=AB?PB=2∴t=2÷1=2（秒）∴t=2時，四邊形APCD是平行四邊形．3．（1）證明：∵PE⊥BC，∴∠BEP=90°，在Rt△BEP中，BP=2t∵∠CBD=30°，∴PE=t，又∵DQ=t，∴PE=DQ；（2）解：①當∠EPQ=90°時，∵PE⊥BC，∠C=90°，∠EPQ=90°∴四邊形EPQC為矩形，∴PE=QC，∵PE=t，QC=4?t，∴t=4?t，即t=2；②當∠PQE=90°時，∠DPQ=∠PQE=90°，在Rt△DPQ中，∠PQD=90°?60°=30°∴DQ=2DP，∵DQ=t，DP=8?2t∴t=28?2t，即t=③當∠PEQ=90°時，此種情況不存在，綜上所述，當t=2或165時，△PQE4．解：（1）當∠APC=90°時，平行四邊形APCQ是矩形，則AC=PQ，∵∠CAB=90°，∠ACB=30°，∴∠B=90°?30°=60°，∵∠APB=90°，AB=6，∴PB=1（2）∵∠CAB=90°，當PB=PC時，∴PA=PB=PC，此時平行四邊形APCQ是菱形，∵∠CAB=90°，∠ACB=30°，AB=6，∴BC=2AB=12，∴PB=PC=1（3）如圖，設PQ與AC交于點O，作OP′⊥BC

在Rt△ABC中，∠ACB=30°∴BC=2AB=12，AC=3∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴OA=OC=33∵OP′⊥BC∴OP當P與P′重合時，OP的值最小，則PQ∴PQ的最小值=2OP5．（1）解：∵a?8+a?8≥0，6?b∴a?8=0，6?b∴a?8=0，6?b=0，解得：a=8，b=6，∵點B的坐標為a,b，∴點B的坐標為8,6，故答案為：8,6；（2）解：如圖，過點E作EG⊥AB于點G，過點E作EH⊥OA于點H，

∵四邊形OABC是矩形，EO、EA分別平分∠COA、∠BAO，連CE并延長交邊AB于點F，若點F為邊AB中點，∴∠COA=∠BAO=∠ABC=90°，∠EOA=∠EOC=∠EAO=∠EAB=1∴EO=EA，∵EG⊥AB，EH⊥OA，點B的坐標為a,b，∴∠EHA=∠EGA=90°，OA=a，AB=b，BF=AF=b∠AEH=∠EAO=45°，∴EG∥BC，EH∥CO，四邊形AHEG是矩形，∴四邊形AHEG是正方形，EH是梯形AOCF的中位線，即點E為CF的中點，∴AG=EH，EG是△BCF的中位線，∴BG=FG=1∴AG=AF+FG=b∴a2∴ab（3）解：情況一，如圖，當點D在線段CO上時，過點B作BP⊥CM于點P，過點C作CQ⊥BD于點Q，

∵四邊形OABC是矩形，點B的坐標為3,b，BM=1，∴BC=OA=3，∠CBM=∠BCD=90°，∴CM=BC2∴BP=BC×BM∵∠BNM=45°，∴∠CNQ=45°，∴△BNP和△CNQ都是等腰直角三角形，∴PN=BP=31010，BN=∴CN=CM?PN?PM=10∴CQ=NQ=CN÷BQ=NQ+BN=3設DQ=m，則CD=DQ∴CD×BC=BD×CQ，∴m2方程左右同平方，整理得：20mm=12解得：m=3∴DQ=3∴CD=D情況二，如圖，當點D在線段CO的延長線上時，過點B作BJ⊥CM于點J，過點C作CK⊥BD于點K，

∵四邊形OABC是矩形，點B的坐標為3,b，BM=1，∴BC=OA=3，∠CBM=∠BCD=90°，∴CM=BC2∴BJ=BC×BM∵∠BNM=45°，BJ⊥CM，CK⊥BD，∴△BNJ和△CNK都是等腰直角三角形，∴NJ=BJ=31010∴CJ=BCN=CJ+NJ=6∴CK=NK=CN÷2=6設DK=n，∵CK2+D∴65解得：n=12∴DK=12∴CD=CK2綜上所述，CD的長為326．解：（1）由題意得：DQ=10?2t，PM=2t，PB=10?t，QM=AP=t，如下圖，點M在BD上時，∵QM∥PB，PM∥QD，∴∠DQM=∠DAB=∠MPQ，∠DMQ=∠MBP，∴△DQM∽△MPB，則DQPM即10?2t2t解得：t=10（2）如上圖，∵AD∥PM，∴∠AEP=∠EAQ，∵四邊形ABCD是菱形，則∠QAE=∠EAP，∴∠AEP=∠EAP，∴△APE為等腰三角形，則PE=AP=t，過點D作DH⊥AB于點H，則S△ABD即10?DH=10解得：DH=8，則sin∠DAH=設△PEB中PB邊上的高為?，則S=1∵?25<0當t=5時，S的最大值為10；（3）存在，理由：如下圖，過點B作BR⊥PE于點R，當點B在∠PEC的平分線上時，則BR=OB=25在Rt△PBR中，sin解得：t=20?5（4）如圖，由題意得，當點Q與點D重合時，點P到達線段AB的中點，點M到達線段CD的中點，∴點M始終在射線CM上，過點B作BM′⊥AM，當點M與點M過點A作AR⊥CD交CD的延長線于點R，由（2）得AR=8，∴RD=10∴RM=6+5=11，∴AM=11∵AB∥CD，∴∠BAM又∵∠AM∴△BAM∴AB10185∴BM∴BM長的最小值為161857．（1）解：四邊形EFGH是正方形．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA，∵HA=EB=FC=GD，∴AE=BF=CG=DH，∴△AEH≌△BFE，△AEH≌∴△AEH,△BFE,△CGF,△DHG全等，∴EF=FG=GH=HE，∴四邊形EFGH是菱形，∵△DHG≌∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴四邊形EFGH是正方形．（2）解：∵HA=EB=FC=GD=1,AB=BC=CD=AD=3，∴GF=EF=EH=GH=1∵由（1）知，四邊形EFGH是正方形，∴GO=OF,∠GOF=90°，由勾股定理得：GO=OF=10∵S四邊形∴S陰影故答案為：1．8．解：（1）∵AB=BC=10，四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=10，∠BCD=∠A=90°，∵F為AD邊的中點，∴DF=AF=5，將△BCE和△CDF沿CE，CF翻折，D，B的對應點分別為G，∴BE=EG，設BE=x，則AE=10?x，∴EF=EG+FG=x+5，∵EF∴5＋∴x=10∴BE=10∴AE=10?10將△BCE和△CDF沿CE，CF翻折，D，B的對應點分別為G，∴∠BCE=∠GCE，∵∠BCD=90°，∴∠ECF=1故答案為：45；203（2）延長CG交AB于點M，如圖2，∵∠DCF=∠GCF=22.5°，∴∠BCH=45°，∵∠EHM=∠B=90°，∴∠BMH=90°?45°=45°∴△CBM和△EHM均為等腰直角三角形，∴BM=BC=2，∴BE+EM=2，即BE+2解得：BE=22∴AE=AB?BE=2；∵CM=B∴CD=22由折疊性質得：CG=CD=22∴點G在AB邊上；故答案為：在；（3）當DF=2AF時，過點E作EP∥GH，交FG的延長線于點P，連接EF，則四邊形GHEP為矩形，∴GH=EP，由折疊性質可知，CD=CG=20，∴HG=CG?CH=20?15=5，∴EP=5，∵DF=2AF，∴AF=5，∴AF=EP，設BE=EH=a,FP=a+10，∵EF∴52解得：a=5，∴AE=20?a=15；綜上，AE的長為15．9．（1）解：根據題意當t=1時：DE=2∵正方形ABCD的邊長為42∴AF=AB+BF=52，AE=AD?DE=3在Rt△AFE∴EF=A（2）解：等腰直角三角形．理由如下：如圖1，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠CBF=90°．依題意得：DE=BF=2在△CDE與△CBF中，DC=BC∠D=∠CBF∴△CDE≌△CBFSAS∴CF=CE，∠DCE=∠BCF，∴∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠DCE+∠BCE=∠BCD=90°，∴△CEF是等腰直角三角形；（3）解：如圖3，連接CE，CF，EF與GH交于P，CE與GH交于點Q．

由（1）得∠CFE=45°，又∵∠EPQ=45°，∴GH∥又∵AF∥∴四邊形GFCH是平行四邊形，∴CF=GH=210在Rt△CBF中，得BF=∴t=210．（1）解：∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=5，在Rt△APE中，AE=53t，sin∴AP=53t?∴DQ=CQ?tanDCQ=CQ?tan∴點P的速度是每秒1個單位，點Q速度是每秒169（2）當EP=CP時，矩形EPCQ是正方形，∴4∴t=15②∵S∴當t=52時，（3）如圖1，

∵A、P、C共線，∴A、P、Q不能共線，同樣P、Q、D不能共線，當PQ過點B時，只需∠CPQ=∠APB，∴tan∴CQ∵∠ABC=∠ATB=90°，∠BAT=∠BAC，∴△ABT∽△ACB，∴AB∴3∴AT=95，∴12∴t1=3，t∴當t=3時，PQ過點B，如圖2

當PQ過F點時，作FR⊥DE于R，只需∠PQC=∠QFR，∴tan∴CP∵DE=EQ+DQ=5?t+16∴EF=DE?cos∴FR=EF?sinER=EF?cos∴5?t∴t1=綜上所述：t=3或4513時，直線PQ經過四邊形ABDF11．解：（1）當PQ∥CD時,∵PD∥CQ,∴四邊形PQCD是平行四邊形，∴DP=CQ,∴12?t=2t,∴t=4；（2）如圖,如圖1,過點D作DH⊥BC于H,∴∠CHD=90°∵∠B=90°,∴∠B=∠CHD∴DH∥AB,∵AD∥BC,∴四邊形ABHD是平行四邊形，∴DH=AB=8cm,BH=AD=12∴CH=BC?BH=6(cm根據勾股定理得，CD=D過點Q作QG⊥AD于G,則四邊形ABQG是矩形，∴QG=AB=8cm∵BQ=BC?CQ=(18?2t)cm∴PG=|AG?AP|=|18?2t?t|=|18?3t|cm∵PQ=CD=10cm根據勾股定理得，82+18?3t解得：t=4或t=8,故t為4或8；（3）不存在,理由:∵四邊形PQCD是菱形，∴CQ=CD，∴2t=10，解得t=5，此時，DP=AD?AP=12?5=7而DP≠CD，∴四邊形PQCD不可能是菱形.12．解：（1）∵AE⊥BC，AE=2，BE=3∴AB=A∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD=AB=7，AD=BC∵AF=4∴S∵S∴2CB=4，∴BC=2．∴AD=BC=2．故答案為：2；（2）取BC的中點E，連接EP，過點P作PD⊥AD于點F，過點E作EH⊥AD于點H，如圖，則PF為P到AD的距離．∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A=∠ABC=90°，∵EH⊥AD，∴四邊形ABEH為矩形，∴EH=AB=6，∵∠BPC=90°，E為BC的中點，∴PE=1∵EP+PF≥EH，∴PF≥EH?EP=2，∴當E，P，F三點在一條直線上時，PF取得最小值為2．∴點P到AD的最小距離為2；（3）過點D作DM⊥AH于點M，如圖，設AD=x，AM=y，∵四邊形ABCD為矩形且面積為16平方米，∴AB=16∵AE=4，∠E=90°，∴BE=A∵∠DAM+∠EAB=90°，∠EAB+∠ABE=90°，∴∠DAM=∠ABE．∵∠AMD=∠E=90°，∴△ADM∽△BAE，∴AMAD∴yx∴y=1∴當x2=8時，即x=22時，y過點D作DN⊥HG于點N，延長ND，交EF于點K，∵GH∥∴NK⊥EF，∵∠E=∠EHG=90°，∴四邊形NHEK為矩形，∴NK=HE=10（米)，同理：四邊形DMHN為矩形，∴DN=HM．∵減少葡萄種植區域的面積，∴葡萄種植區域面積最小時，即△DHG的面積最小，∵HG=NK=10米，∴DN取最小值時，△DHG的面積最小．∵DN+NK=10，∴當DK取得最大值時，DN取最小值．由題意：當AM取得最大值時，DK取得最大值4+2=6，此時x=22∴BE=416∴當葡萄種植區域面積最小時BE的長為4（米）．13．解：（1）∵將△ABD沿著AB翻折得到△ABE，將△ACD沿著AC翻折得到△ACF，∴AE=AD=AF，BD=BE=3，DC=CF=2，∠BAD=∠BAE，∠CAD=∠CAF，∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，∵∠BAC=45°，∴∠EAF=∠BAD+∠BAE+∠CAD+∠CAF=90°，∴四邊形AEGF是矩形，∵AE=AF，∴四邊形AEGF是正方形；（2）設AD=x=AE=AF，∵四邊形AEGF是正方形，∴AE=EG=GF=AF，∠G=90°，∴BG=x?3，CG=x?2，在Rt△GBC中，B∴(3+2)∴x=6或x=?1（舍去），∴AD=6；（3）如圖2，將△ABC沿著AB翻折得到△ABE，將△ACD沿著AD翻折得到△ADF，連接EF，∴AE=AC=AF，∠BAC=∠BAE，∠CAD=∠DAF，BE=BC=6，CD=DF=8，∵∠BAD=45°，∴∠EAF=90°，∴EF=2∵BC=6，CD=8，BD=10，∴∠BCD=90°，當BE，BD，DF三條線段共線時，EF有最大值=6+8+10=24，則AC的最大值=24（4）如圖3，將△ADE沿著DE翻折得到△NDE，將△BCE沿著CE翻折得到△MCE，連接MN，

∴AD=DN=2，BC=CM=6，AE=NE=3，ME=BE=4，∠AED=∠DEN，∠CEB=∠CEM，∵∠DEC=135°，∴∠AED+∠CEB=45°，∴∠NEM=∠DEC?(∠DEN+∠CEM)=90°，∴MN=M當DN，MN，MC三條線段共線時，CD有最大值=2+5+6=13，故答案為：13．14．解：（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=CB,∠DCA=∠BCA=45°，∵CP=CP∴△DCP≌△BCP，∴PD=PB；②解：∠DPQ的大小不變，∠DPQ=90°；理由如下：作PM⊥AB于點M，PN⊥AD于點N，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，∴四邊形AMPN是矩形，∴∠MPN=90°，∵∠DAC=∠BAC=45°，∴PM=PN，∵PD=PQ,PM=PN，∴Rt△DPN≌∴∠DPN=∠QPM，∠QPN+∠QPM=90°，∴∠QPN+∠DPN=90°，即∠DPQ=90°；（2）AQ=CP；理由如下：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC,AC⊥BD,DO=BO，∴△ABC是等邊三角形，AC垂直平分BD，∴∠BAC=60°，PD=PB，∵PD=PQ，∴PQ=PB，作PE∥BC交AB于點E，EG∥AC交BC于點G，如圖，則四邊形PEGC是平行四邊形，∠GEB=∠BAC=60°，∠AEP=∠ABC=60°，∴EG=PC，△APE,△BEG都是等邊三角形，∴BE=EG=PC，作PM⊥AB于點M，則QM=MB,AM=EM，∴QA=BE，∴AQ=CP．15．（1）解：∵在鄰余四邊形ABCD中，∠B=40°，且∠BAD>90°，∠ADC>90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠C=90°?40°=50°，故答案為：50°；（2）證明：∵DE垂直平分AC，AC=45∴AD=12AC=2∵DE=5∴在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=∵BE=3，∴AB=AE+BE=5+3=8，∵BC=4，∴BC∴∠ABC=90°，∴∠C+∠A=90°，∴四邊形AEFC是鄰余四邊形；（3）①四邊形BCDE是平行四邊形，證明如下：∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∵∠DEC=90°，∴∠ADE=∠DEC，∴AD∥CE，∴∠A=∠CEB，∵在鄰余四邊形ABCD中，∠ADC>90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠CEB+∠B=90°，∴∠BCE=∠DEC=90°，∴DE∥CB，∵E為AB中點，∴AE=EB，在△ADE和△ECB中，∠ADE=∠ECB∠A=∠CEB∴△ADE≌∴DE=CB，由DE∥CB，∴四邊形BCDE是平行四邊形；②如下圖，延長CE到點C′，使C′E=CE，連接A∵E為AB中點，∠DEC=90°，∴DE是CC∴AE=EB，C′∵∠AEC∴△AEC∴AC′=BC=8∵在鄰余四邊形ABCD中，∠ADC>90°，∴可分兩種情況討論：當∠BAD+∠B=90°時，則∠DAC∴CD=C當∠BCD+∠B=90°時，則∠ECB+∠B<90°，∴∠BEC>90°，與∠AED+∠CEB=90°矛盾，∴此種情況不存在；綜上，CD的長為10．16．解：（1）∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=CD=3，∵∠BCD=120°，∴∠B=60°，∴在Rt△ABEsin60°=∴AE解得：AE=3故答案為：33（2）如圖1，∵M在以AB為直徑的半圓上，點O為圓心，∴∠AMB=90°，連接OM，過點M作MR⊥DC于點R，過點O作ON⊥CD于點N．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC=6，∴S∴當MR最小時，△MDC面積最小．∵OM+MR≥ON∴MR≥ON?OM，即MR≥8?3=5，∴△MDC面積最小值為：3MR=3×5=15，故答案為：15，（3）在菱形ABCD中，∵AB∥∴∠ABC+∠DCB=180°．∵∠ABP+∠DCP=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，∴BP⊥CP∴當△APD面積最小時，點P到AD的距離最小，即點P到BC的距離最大．如圖2，當Rt△BPC是等腰直角三角形時，即點P到BC的距離最大，過點P作PH⊥BC于點H∴∠PBC=∠BPH=45°，∴∠ABP=∠ABC?∠PBC=60°?45°=15°，∴∠BAP=∠BPH?∠ABP=45°?15°=30°，∴在△ABH中，∠AHB=180°?15°?45°?30°=90°，∴AH⊥BC，∴A，P，H三點共線．∵在菱形ABCD中，AD∥∴∠BAD=180°?∠ABC=180°?60°=120°，∴∠PAD=∠BAD?∠BAH=120°?30°=90°，∴PA⊥AD，∵AB=BC=300m∴PH=BH=1在Rt△ABH中，∠ABH=60°，BH=150∴AH=BH?tan∴點P到AD的距離為：AP=AH?PH=150∴△APD面積最小值為：12∴△APD種植綠植需要花費為：225003故答案為：點P到AD的距離為1503?150m時，△APD面積存在最小值，△APD17．解：（1）等補四邊形”的面積為12故答案為：9．（2）如圖，過點C作CE⊥GF交于點E，根據題意可得：FC=FB+BC=DC+BC=4+6=10(cm)∵△FGC是等邊三角形，∴∠GCF=60°，GC=FC，∴∠FCE=1在Rt△ECF中，∠FCE=30°，FC=10∴EF=1∴EC=F∴“等補四邊形”ABCD的面積為：13（3）如圖，將△ACD繞點A順時針旋轉得到△ABC作AH⊥BC于點H，∴AC′=AC，C′B=CD=n在等補四邊形ABCD中，∠ABC+∠D=180°，∴∠ABC+ABC∴點C′，B，C∴CC∵AC′∴HC在Rt△AH∵∠C∴AH2∴AH=3∴“等補四邊形”ABCD的面積等于△ACC′的面積：18．解：（1）∵四邊形ABOC為正方形，A?∴AC=AB=10∵CF⊥l，CF=3，∴AF=A∵∠BAE+∠CAF=∠CAF+∠ACF=90°，∴∠BAE=∠ACF，∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠CFA=∠AEB=90°，∴△ACF≌∴AE=CF=3，∴EF=AE?AF=2；（2）解：∵四邊形ABOC為菱形，AB=23∴AB=AC=23∵l⊥AC，BE⊥AB，∴∠CAF=∠ABE=90°，∵∠ACF=∠BAE，∴△ACF≌∴AE=CF,BE=AF，設AF=x，則BE=x，CF=AE=AF+EF=x+2，∴AB2+B解得：x=2，∴BE=AF=2，∴AE=4，∵S△BAE∴BP=3∴PE=B∴OP=OB?BP=3∴OP=OB?BP=23∴PF=EF?PF=1，∴E?（3）解：∵四邊形ABOC為矩形，∴∠BAC=90°，∵直線l分∠BAC為1:2兩部分，∴∠BAE+∠CAF=90°，①如圖，連接OF，過點F作FH⊥y軸，垂足為H，過點E作EG⊥AB,EP⊥AC，垂足分別為點G，點P，當∠BAE=30°時，則HF=33∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠BAE+∠CAF=∠CAF+∠ACF=90°，∴∠BAE=∠ACF=30°，∴BE=1∵∠OCF=90°?∠ACF=60°，∴∠CFH=30°，∴HC=1∴OC=AB=HC?OH=2，∴BE=1，∴AE=A∵S∴GE=3∴AP=GE=3∵