第18章平行四邊形復習題--折疊問題一、單選題1．如圖，將?ABCD沿對角線折疊，使點B落在B′處，若∠1=48°，∠2=32°，則∠B的度數為（）A． B． C． D．2．如圖，已知矩形ABCD，將△BCD沿對角線BD折疊，記點C的對應點為，若∠AD＝20°，則∠BDC的度數為（）A．55° B．50° C．60° D．65°3．如圖，菱形的對角線相交于點O，，，將菱形按如圖所示的方式折疊，使點B與O重合，折痕為，則五邊形的周長為（）A． B． C． D．4．如圖，在正方形中，為的中點，為上一點（不與，重合），將沿所在的直線折疊，得到，連接．當時，的值是（

）A．1 B． C． D．5．如圖，將平行四邊形沿對角線折疊，使點A落在點E處．若，，則的度數為（

）

A． B． C． D．6．如圖，在矩形中，，，將矩形沿折疊，則重疊部分的面積為（）A．12 B．10 C．8 D．67．如圖，將邊長為4，銳角為的菱形沿折疊，使頂點恰好落在邊的中點處，記為，則的長度為（

）A． B． C．3 D．8．如圖，歐幾里德在《幾何原本》中記載了用這樣一個圖，一張邊長為2的正方形紙片，先折出、的中點、，再折出線段，然后通過沿線段折疊使落在線段上，得到點的新位置點，并連接、．則此時的長是（）A． B． C． D．9．如圖，已知，在平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2，把平行四邊形沿直線AC折疊，點B落在點E處，連接DE，則DE的長度為（

）A． B． C． D．10．如圖，矩形中，E是的中點，將沿直線折疊后得到．延長交于點F，若，，則的長為（

）

A．1.8 B．2 C． D．2.211．如圖，在菱形中，，，點是的中點，點是上一點，以為對稱軸將折疊得到，以為對稱軸將折疊得到，使得點落到上，連接．下列結論錯誤的是（

）

A． B． C． D．12．如圖，在正方形中，點在邊上，點分別是的中點，連接，現將?ADE沿所在的直線折疊，使得點的對應點D/落在線段上．以下四個結論：

①；②；③連接，則是等邊三角形；④若正方形面積為12，則．其中正確的個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題13．如圖，將平行四邊形ABCD先沿折疊，再沿折疊后，A點落在線段上的處，C點落在E處，連接，．若恰有，則．

14．如圖已知矩形，，點是的中點，連接，將沿折疊后得到，延長交于點，連接．若點是的中點，，求的長是．15．如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點A恰好落在對角線上的點G處（不與B、D重合），折痕為，則；若，則的長為．

16．如圖，在矩形紙片中，，，先將矩形紙片沿過點B的直線折疊，使點A落在邊上的點E處，折痕為，再沿過點F的直線折疊，使點D落在上的點M處，折痕為，則兩點間的距離為.

17．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是邊上一點，將沿AE折疊至處，與交于點F，若，，則的度數為．18．矩形中，，，對角線、相交于點O，點E為上一點，將沿折疊，使點D落在對角線的點F處，則線段的長為．19．如圖，將矩形沿對角線所在直線折疊，點落在同一平面內，落點記為，與交于點，若，，則的長為．20．如圖菱形的邊長為4，，將菱形沿折疊，頂點C恰好落在邊的中點G處，則．21．如圖，將四邊形紙片沿過點的直線折疊，使得點落在上的點處．折痕為；再將，分別沿，折疊，此時點，落在上的同一點處，；若四邊形是平行四邊形，則的值為．

22．如圖，矩形中，，點是邊上一點，連接，把沿折疊，使點落在點處，當為直角三角形時，的長為．23．菱形中，，E，F分別在，邊上，將菱形沿折疊，點A，D的對應點分別是，D/，且經過B點，若，則．

24．已知正方形的邊長為12，點P是邊上的一個動點，連接，將沿折疊，使點A落在點上，延長交于E，當點E與的中點F的距離為2時，則此時的長為．三、解答題25．如圖，把平行四邊形紙片沿折疊，點C落在點處，與相交于點E．求證：26．如圖1，在矩形紙片中，，，折疊紙片使B點落在邊上的點E處，折痕為．過點E作交于F，連接．（1）求證：四邊形為菱形；（2）當點E在邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動．①當點Q與點C重合時（如圖2），求菱形的邊長②若限定P、Q分別在邊、上移動，菱形的面積的最大值為______；最小值為______．27．如圖，將平行四邊形折疊，使得點落在點處，點落在點處，折痕為，連接．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，，求平行四邊形的面積．28．數學活動課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展活動．【操作】：操作一：對折正方形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；操作二：在上選一點（點不與重合），沿折疊，使點落在正方形內部處，把紙片展平，連結，延長交于點，連結．【琛究】：（1）如圖①，當點在上時，______．（2）改變點在上位置，如圖②，判斷線段之間有怎樣的數量關系，并說明理由．【應用】：若正方形紙片的邊長為，當時，的長為______．29．圖，在菱形中，，E，F分別是的中點，點G，H分別在上，且，分別沿折疊菱形，點B，D的對應點分別為點M，N，連接．

（1）問題解決：如圖①，請判斷線段的數量關系和位置關系：；（2）問題探究：如圖②，當點M，N分別落在上時，請判斷四邊形的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：如圖③，當點A，M，E恰好在一條直線上時，求的值．30．課本再現：（1）如圖，在矩形中，，，是上不與和重合的一個動點，過點分別作和的垂線，垂足分別為，．求的值．如圖1，連接，利用與的面積之和是矩形面積的，可求出的值，請你寫出求解過程；知識應用：（2）如圖2，在矩形中，點，分別在邊，上，將矩形沿直線折疊，使點恰好與點重合，點落在點處．點為線段上一動點（不與點，重合），過點分別作直線，的垂線，垂足分別為和，以，為鄰邊作平行四邊形，若，，求平行四邊形的周長；（3）如圖3，當點是等邊外一點時，過點分別作直線、、的垂線、垂足分別為點、、．若，請直接寫出的面積．答案一、單選題1．A【分析】由平行線的性質可得∠1=∠B'AB=48°，由折疊的性質可得∠BAC=∠B'AC=24°，由三角形內角和定理即可求解．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠AED=∠B'AB=48°，∵將?ABCD沿對角線AC折疊，∴∠BAC=∠B'AC=24°，∴∠B=180°-∠2-∠BAC=124°，故選：A．2．A【分析】由折疊的性質可知∠BDC=∠BD，故∠ADB=∠BD-∠AD=∠BDC-20°，根據∠ADB+∠BDC=90°，列方程求∠BDC．解：由折疊的性質，得∠BDC=∠BD，則∠ADB=∠BD-∠AD=∠BDC-20°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADB+∠BDC=90°，∴∠BDC-20°+∠BDC=90°，解得∠BDC=55°．故選：A．3．A【分析】根據菱形的性質、勾股定理求得，即可得是等邊三角形，，根據等邊三角形的性質和折疊的性質得和是等邊三角形，即可得，，根據，得是的中位線，可得，即可得解：∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∵折疊，∴，，∴，，∴，，∴，，∴和是等邊三角形，∴，，∵，，∴是的中位線，∴，∴五邊形AEFCD的周長：，故選：A．4．B【分析】本題主要考查正方形的性質，折疊的性質，等邊三角形的判定和性質，含角的直角三角形的性質，掌握正方形的性質，等邊三角形的判定和性質是解題的關鍵．根據正方形的性質，點是的中點，，可判定是等邊三角形，由此可推出，，再根據含角的直角三角形的性質即可求解．解：∵四邊形是正方形，∴，∵為的中點，∴，∵沿所在的直線折疊，得到，∴，∴，，∵，∴，∴是等邊三角形，即，∵，∴，則，∴，在中，，∴，∵，∴，故選：．5．D【分析】根據折疊得出，，根據平行線的性質得出，得出，根據，求出，即可得出，根據三角形內角和定理求出結果即可．解：根據折疊可知，，，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：D．6．B【分析】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，折疊的性質；證明，可得，設，則，在中，由勾股定理構建方程求出，可得的長，然后利用三角形面積公式計算即可．解：由折疊得：，，在矩形中，，，∴，，又∵，∴，∴，設，則，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴，∴的面積．故選：B．7．B【分析】本題考查了折疊的性質、菱形的性質、勾股定理、含角的直角三角形的性質等知識．過作于點，先求出，，則點與重合，再由折疊的性質得，設，則，然后由勾股定理得，即可得出答案．解：如圖，過作于點，，邊長為4，銳角為的菱形，，，，，是的中點，，，，，，點與重合，，，由折疊的性質得：，設，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，故選：B．8．B【分析】本題考查了折疊問題，正方形的性質，勾股定理，解題的關鍵是設，由，可列方程，解得即可得到答案．解：設，則，由題意可知：，是的中點，，，，，，，即，故選：B．9．B【分析】過點D和點C作DM⊥AB于點M，CN⊥AB延長線于點N，由翻折對稱性和平行四邊形的性質可得△ABC≌△AEC≌△CDA，可以證明四邊形ADEC是等腰梯形，連接BE，可得AC是BE的垂直平分線，利用勾股定理可得AC的長，再根據平行四邊形的面積和三角形的面積列式可得BF的長，根據勾股定理可得CF的長，進而可得DE的長．解：如圖，過點D和點C作DM⊥AB于點M，CN⊥AB延長線于點N，由翻折對稱性和平行四邊形的性質可知：△ABC≌△AEC≌△CDA，∴AD＝BC＝CE，∠DAC＝∠BCA＝∠ECA，∴四邊形ADEC是等腰梯形，連接BE，∵AB＝AE，CB＝CE，∴AC是BE的垂直平分線，∵，∴CN＝，BN＝1，∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，∴AC＝＝＝2，∴S平行四邊形ABCD＝AB?DM＝AC?BF，∴4×＝2BF，∴BF＝，∴CF＝＝＝，在等腰梯形ADEC中，DE＝AC﹣2CF＝2﹣2×＝．故選：B．10．B【分析】連接，根據點E是的中點以及翻折的性質可以求出，然后利用“”證明和全等，根據全等三角形對應邊相等可證得；設，表示出、，然后在中，利用勾股定理列式進行計算即可得解．解：如圖，連接，

∵E是的中點，∴，∵沿折疊后得到，∴，，∴，∵在矩形中，∴，∴，∵在和中，∴，∴，設，則，，在中，，即，解得：，即；故選：B．11．D【分析】A.由折疊的性質可以知道和分別是和的平分線，同時是平角，所以可知，故選項A正確；B.由題意和折疊的性質可以知道、，就可以得到，選項B正確；C和D.過點作于點，，可得，．設，可以得到，．根據折疊的性質可得，根據勾股定理，求得，即可得到，，所以．故選項C正確，選項D錯誤．解：A.由折疊可知和分別是和的平分線．又，，故選項A正確．B.又點與點關于對稱，，又，，故選項B正確．C和D.如答圖，過點作于點．

，，，易知，，設，，，點是的中點，折疊后點落到上，點與點重合，．易知點共線，．，，解得．，，，故選項C正確，選項D錯誤．綜上，故選：D．12．D【分析】根據折疊的性質得到，根據直角三角形的性質得到，故①正確；根據正方形的性質得到，，求得，故②正確；根據等邊三角形的判定定理得到是等邊三角形，故③正確；過作于，過作于，解直角三角形得到，故④正確．解：點是的中點，，將?ADE沿所在的直線折疊，使得點的對應點落在線段上，，，，，故①正確；，，，四邊形是正方形，，，，故②正確；如圖所示，

，，，是等邊三角形，故③正確；過作于，過作于，

，則，正方形面積為12，，，，，，，，，，，故④正確，故選：D．二、填空題13．【分析】由平行四邊形的性質得，，由折疊得，，，則，所以，則，于是得，則，，即可求得，于是得到問題的答案．解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，由折疊得，，，∴，∵，∴∠A/EF=90?，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．14．【分析】先證明，，再根據“”證明，根據全等三角形性質得出，從而得出，證明，根據勾股定理得出，求出即可解：將沿折疊后得到，∴，∴，，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵點是的中點，∴，∴，在和中，∴∴，∵點是的中點，∴，在矩形中，，又由折疊可知AB=GB，∴，∴，在中，，，∴，解得：，負值舍去，故答案為：．15．【分析】作于，根據折疊的性質得到，根據菱形的性質、等邊三角形的判定定理得到為等邊三角形，得到，根據勾股定理列出方程，解方程即可.解：解:作于,

由折疊的性質可知，，,∵四邊形是菱形，∴，∴為等邊三角形,，∴，設,則.在中,，在中,,即，解得,即.故答案為.16．【分析】判定四邊形是正方形，即可得到，再根據，即可利用勾股定理求得的長．解：如圖所示，連接，

由折疊可得，，又∵∠ABE=90?，∴四邊形是矩形，又，∴四邊形是正方形，，又，，由折疊可得，，中，，故答案為：．17．【分析】本題考查了平行四邊形的性質，折疊的性質，三角形內角和定理，熟練掌握平行四邊形的性質和折疊的性質是解題的關鍵；由平行四邊形的性質得，由由折疊的性質得：，，，在根據三角形的內角和定理及角的和差即可解答；解：四邊形是平行四邊形，，，由折疊的性質得：，，，，故答案為：18．【分析】本題考查了矩形與折疊，勾股定理，熟練掌握矩形和折疊的性質是解題關鍵．由矩形的性質和勾股定理，求得，進而得到，由折疊的性質可知，，，，設，利用勾股定理列方程，求出，再利用勾股定理，即可求出線段的長．解：四邊形是矩形，，，，，，，在中，，，由折疊的性質可知，，，，，設，則，在中，，，解得：，即，，在中，，故答案為：19．【分析】本題考查了折疊的性質，矩形的性質，勾股定理，先根據等角對等邊，得出，再設，在中，根據勾股定理列出關于的方程，求得的值即可．熟練掌握勾股定理及利用方程的思想是解題的關鍵．解：由折疊得，，，，，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，設，則，在中，由勾股定理得：，即，解得，∴的長為，故答案為：．20．【分析】本題考查了菱形的性質、翻折變換的性質、勾股定理等知識，根據折疊和軸對稱的性質用含x的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程是解題的關鍵．過點作于點，由菱形的性質和已知條件得出，再設，則，在中，依據勾股定理得到方程，求得的值即可得到的長．解：如圖所示，過作，交的延長線于點，∵∠A=60?,AD∥BC,∴，設，則，∵是的中點，∴，在中，，解得，故答案為：1.2．21．3022．或1【分析】當為直角三角形時，有兩種情況：①當點落在矩形內部時，如答圖所示．連結，先利用勾股定理計算出，根據折疊的性質得，而當為直角三角形時，只能得到′，所以點、、共線，即沿折疊，使點落在對角線上的點處，則，，可計算出，設，則，，然后在中運用勾股定理可計算出．②當點落在邊上時，如答圖所示．此時為正方形．解：當為直角三角形時，有兩種情況：①當點落在矩形內部時，如圖所示．連接，在中，，，∴，∵沿折疊，使點落在點處，∴，當為直角三角形時，只能得到，∴點、、共線，即沿折疊，使點落在對角線上的點處，∴，，∴，設，則，，在中，∵，∴，解得，∴；②當點落在邊上時，如圖所示．此時為正方形，∴．故答案為：或．【點撥】本題考查了折疊的性質、矩形的性質、勾股定理；熟練掌握折疊的性質和矩形的性質，由勾股定理得出方程是解決問題的關鍵．23．【分析】延長交的延長線于點H，作交的延長線于點G，由菱形的性質得，則，所以，由，得，則，所以四邊形是矩形，由折疊得，，所以，，則，設則可求得，所以則，，所以，可求得則即可求得，于是得到問題的答案．解：延長交的延長線于點H，作交的延長線于點G，則，

∵四邊形是菱形，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，由折疊得，，∴，∴，∴設則∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．24．2.4或6【分析】分兩種情況討論：E點在線段上和E點在線段上.接，先根據折疊的性質和HL得到，.設，則，，求出，把用含有x的式子表示出來.中，根據勾股定理列方程求出x即可.解：①如圖1，當E點在線段上時，連接,∵四邊形是正方形，∵折疊后，又（HL）∴

設,則，在Rt中，

解得②如圖2，E點在線段上時，連接,

設,則，在Rt中解得

故答案為：2.4或6三、解答題25．解：證明：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵沿折疊，點C落在點處，∴，，在和中∴，∴．26．解：（1）證明：∵折疊紙片使B點落在邊上的E處，折痕為，∴點B與點E關