高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省保定市部分高中2024-2025學年高二下學期3月月考數學試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊第六章第1節．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在填寫高考志愿表時，一名高中畢業生了解到A，B兩所大學分別有7，8個自己感興趣的專業，若這名同學只能從這些專業中選擇1個，則他不同的選擇種數為（）A.56 B.15 C.28 D.30【答案】B【解析】不同的選擇種數為.故選：B.2.據報道，從2024年7月16日起，“高原版”復興號動車組將上線新成昆鐵路和達成鐵路，“高原版”復興號動車組涂裝用的是高耐性油漆，可適應高海拔低溫環境．“高原版”復興號動車組列車全長236.7米，由9輛編組構成，設有6個商務座、28個一等座、642個二等座，最高運行時速達160千米，全列定額載客676人．假設“高原版”復興號動車開出站一段時間內，速度與行駛時間的關系為，則當時，“高原版”復興號動車的加速度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，故當時，，即時，“高原版”復興號動車的加速度為，故選：B3.某校羽毛球隊有5名男隊員，6名女隊員，現在需要派1名男隊員，1名女隊員作為一個組合參加市羽毛球混雙比賽，則不同的組合方式有（）A.11種 B.22種 C.30種 D.60種【答案】C【解析】依題意第一步從5名男隊員中選出1名，共有5種選法；第二步，從6名女隊員中選出1名，共有6種選法；根據分步乘法計數原理可得不同的組合方式有（種）．故選：C．4.已知函數，則（）A.6 B.3 C. D.【答案】D【解析】因為，所以，令，得，∴，所以，故故選：D.5.已知函數，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，則，∴，即，∴.故選：D.6.已知函數存在單調遞增區間，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知的定義域為，又，由題意可知在上有解，即在上有解，可得，所以．故選：C．7.已知函數及其導函數的定義域均為，若，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，因為，所以，所以在上單調遞減；又，所以，因此不等式可化為，所以，解得，即不等式的解集為.故選：A8.把一個球形的原材料切割成體積為2的正四棱錐，則球形原材料的半徑至少為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知當體積為2的正四棱錐的所有頂點均在球體的表面時，球形原材料的半徑最?。O正四棱錐的底面邊長為，球心為，底面中心為，高為，如下圖所示：易知底面的外接圓的半徑為，由球的性質可知，即，整理得，又正四棱錐的體積為2，所以，所以，所以．設，則，由得，，當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列求導結果正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】對于A選項，，故A正確；對于B選項，，故B錯誤；對于C選項，，故C錯誤；對于D選項，，故D正確．故選：AD．10.設函數的導函數為，已知函數的圖象如圖所示，則的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由題意知與軸有三個交點，當時，，當時，，當時，，當時，，則在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，故A，C正確；B，D錯誤．故選：AC．11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.的極小值點為1B.的最小值為3C.不存在過原點且與曲線相切的直線D.若，且，則的最小值為128【答案】ACD【解析】對于A，函數的定義域是，令，得，當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增．所以的極小值點為1，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，設切點坐標為，則切線斜率為，所以切線方程為，又切線過原點，則有，即，無解，即過原點且與曲線相切的直線不存在，故C正確；對于D，由，得，即，又且，所以，又，所以，令，則，當時，單調遞減；當時，單調遞增，所以，所以的最小值為128，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12已知函數，則__________.【答案】6【解析】由題設，根據導數的概念知.故答案為：613.某市教育局為切實落實政策《關于深入推進義務教育學校校長教師交流輪崗的意見》，安排3名校長和4名教師到甲、乙、丙三所學校進行輪崗交流，要求每所學校安排一名校長，每個校長和老師只去一個學校，則不同的安排方案種數是______【答案】【解析】先安排校長：每所學校安排名校長，則不同的安排方案種數是；再安排教師：每個教師均有3個學校可以選擇，則不同的安排方案種數是，綜上所述，由分步乘法計數原理得不同的安排方案種數是．故答案為：14.設為函數的導函數的圖象上一點，為函數的圖象上一點，當關于直線對稱時，稱是一組對稱點．若恰有3組對稱點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】，設，則，所以，，所以，因為與的圖象若恰有3組對稱點，所以有三組解，可得即有三個解，令，即函數與的圖象有3個不同的交點，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，單調遞減，所以，，所以.故答案：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數．（1）求的值；（2）求曲線在點處的切線方程．解：（1）由，得，因為，所以，解得．（2）由上問得，所以，則，因為，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即．16.已知函數在處有極小值3．（1）求的解析式；（2）求在上的值域．解：（1）由題意得函數，則，由題意得，解得當時，，令，解得．則當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增，則是極小值點，符合題意，故．（2）由（1）知，則當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增，則當時，函數取得極小值，當時，函數取得極大值，而，故在上的值域為．17.設函數，其中為自然對數的底數．求證：（1）當時，；（2）．解：（1）令，則，當時，，在上單調遞增，故，即當時，成立.（2）由（1）可得：當時，，要證，即證，即證，令，則，當時，，在區間上單調遞增，當時，，在區間單調遞減，所以在處取得最小值，所以，即恒成立，所以．18已知函數．（1）當時，求的極值點個數（2）當時，恒成立，求實數的最小值．解：（1）當時，，定義域為，．令，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則，即，所以在上單調遞減，故的極值點個數為．（2）當時，，不等式可化為在上恒成立，令，則，由（1）可知，，即（當且僅當時取等號），則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則，所以，故實數的最小值為．19.若對且，函數，滿足：，則稱函數是函數在區間上的級控制函數．（1）判斷函數是否是函數在區間上的1級控制函數，并說明理由；（2）若函數是函數在區間上的級控制函數，求實數的取值范圍；（3）若函數是函數在區間上的級控制函數，且函數在區間上存在兩個零點，求證．解：（1）函數是函數在區間上的1級控制數．理由如下：因為，且，所以，所以，即成立，所以函數是函數在區間上的1級控制函數．（2）由函數是函數在區間上的級控制函數，得，又，由指數函數性質得在上單調遞增，所以，即恒成立．令，所