高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣西“貴百河”2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，則，所以所求點的坐標(biāo)為.故選：C.2.已知向量，滿足，，，則（）A.7 B. C. D.4【答案】C【解析】.故選：C.3.在中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，，，那么這個三角形是（）A.等邊三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】∵中，已知，，，由正弦定理，可得：，解得：，可得：或.當(dāng)時，∵，∴，是直角三角形.當(dāng)時，∵，∴，是等腰三角形.故是直角三角形或等腰三角形.故選：D.4.已知向量，，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由向量，，得，由，得，所以.故選：B.5.如圖，是水平放置的的直觀圖，則的面積為（）A.6 B.9 C.12 D.15【答案】C【解析】由直觀圖可得如下平面圖形，其中，，所以.故選：C.6.已知，，點在線段的延長線上，且，則點的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由點在線段的延長線上，且，得，因此，所以點P的坐標(biāo)為.故選：A.7.已知復(fù)數(shù)滿足，則最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意表示復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在以點為圓心，為半徑的圓上，表示上述圓上的點到原點的距離，所以.故選：D.8.正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系．在如圖所示的正五角星中，，是該正五角星的中心，則（）A. B.32 C. D.64【答案】A【解析】作，垂足，如下圖所示：則為的中點，故.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法中正確的是（）A.若，，則B.兩個非零向量，，若，則與共線且反向C.若，則存在唯一實數(shù)使得D.若是三角形的重心，則【答案】BD【解析】若可滿足“，”，但不一定成立，A錯；根據(jù)向量減法幾何意義，當(dāng)，則與共線且反向，B對；若可滿足，但不滿足存在唯一實數(shù)使得，C錯；如圖所示：，D對．故選：BD．10.如圖，該幾何體是高相等的正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體，若該幾何體底面邊長和上面正四棱錐的側(cè)棱長均為10cm，則下列選項中正確的是（）A.該幾何體的高為B.該幾何體的表面積為C.該幾何體的體積為D.一只小螞蟻從點爬行到點，所經(jīng)過的最短路程為【答案】ACD【解析】對于A，正四棱錐底面半徑，高，因此該幾何體的高為，A正確；對于B，幾何體的表面積為，B錯誤；對于C，該幾何體的體積為，C正確；對于D，觀察圖形知，小螞蟻從點爬行到點的最短路徑為沿表面越過棱或，由對稱性，不妨取長方形及正，將它們置于同一平面內(nèi)，連接，如圖，取中點，連接，則，而，所以最短路程為，D正確.故選：ACD.11.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，其中，且，則下列說法正確的是（）A.B.面積的最大值為C.若為邊的中點，則的最大值為3D.若為銳角三角形，則其周長的取值范圍為【答案】ACD【解析】對于A，由題意可知，利用余弦定理得，，因為，所以，故A正確；對于B，由上述可知，的面積，且易知，解出，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，故B錯誤；對于C，在和中，對和利用余弦定理，，化簡后有，由B知，的最大值為12，因此最大為3，故C正確；對于D，利用正弦定理，，則，于是的周長，由于是銳角三角形，因此即解出，則，則，則，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為______．【答案】【解析】因為，所以復(fù)數(shù)的虛部為.13.已知向量、滿足，，且，則與的夾角為________.【答案】.【解析】∵；∴＝0；∴；∵與夾角的取值范圍為[0，π]，∴的夾角為．14.如圖1，這是清風(fēng)樓，位于河北省邢臺市，始建于唐、宋年間，是邢臺市地標(biāo)性建筑之一，也是邢臺歷史人文的一個縮影．某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測量清風(fēng)樓的高度，在與樓底位于同一水平面上共線的，，三處進行測量，如圖2．已知在處測得塔頂?shù)难鼋菫椋谔帨y得塔頂?shù)难鼋菫椋谔帨y得塔頂?shù)难鼋菫椋祝瑒t清風(fēng)樓的高度______．【答案】米【解析】依題意，，，，設(shè)米，在中，米，在中，米，在中，米，在中，由余弦定理得，即，即，在中，由余弦定理可得，即，即，因此，而，解得，所以清風(fēng)樓的高度為米.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知復(fù)數(shù).（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；（2）已知是關(guān)于的方程的一個根，其中，，求的值．解：（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得.（2）已知是關(guān)于的方程的一個根，則也是方程的根，所以，所以.16.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求；（2）若，的面積為，求的周長．解：（1）在中，由，得，整理得，而，解得，而，所以.（2）依題意，，而，解得，由余弦定理得，即，則，于是，解得，所以的周長為.17.陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個圓柱和一個圓錐組合而成（如圖）.已知一木制陀螺模型內(nèi)接于一表面積為的球，其中圓柱的兩個底面為球的兩個截面，圓錐的頂點在該球的球面上.（1）若圓柱的高為，求該陀螺的體積及表面積；（2）規(guī)定陀螺圓錐的頂點S到圓柱中離它遠的底面距離為陀螺的高，要使陀螺的圓柱的側(cè)面積最大.此時陀螺的高是多少呢？解：（1）令陀螺外接球半徑為，則，可得，由題意，圓柱的矩形軸截面對角線長為，又圓柱的高為，所以圓柱底面直徑，則底面半徑，綜上，圓錐的高為，母線長為，所以陀螺的體積為，陀螺表面積為.（2）令圓柱的高為，由（1）知陀螺外接球半徑，所以圓柱底面直徑為，圓錐的高為，所以陀螺的高為，由圓柱體側(cè)面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以陀螺的高是()時，圓柱體側(cè)面積最大.18.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量.若向量，則把有序?qū)崝?shù)對叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作.在此坐標(biāo)系中，若，分別是的中點，分別與交于兩點.（1）求：；（2）求的坐標(biāo)；（3）若點M在線段上運動，設(shè)，求的最大值.解：（1）依題意，得是單位向量，且夾角為，所以，而，，則.（2）因，所以，，所以，則四邊形是平行四邊形，所以，因為分別是的中點，所以，所以，，因為，則，所以，.（3）由（2）知，，因為點在線段上運動，所以設(shè)，其中，因為，所以，所以，因為不共線，則，解得，所以，因為，所以當(dāng)時，取得最大值3.19.“費馬點”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬提出并征解的一個問題．該問題是：在一個三角形內(nèi)求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小．意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點即為費馬點；當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點．試用以上知識解決下面的問題：（1）若是邊長為的6等邊三角形，求該三角形的費馬點到各頂點的距離之和；（2）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，點為的費馬點．（i）若，求；（ii）求最小值．解：（1）由等邊三角形，三個內(nèi)角均小于