高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1貴州省遵義市播州區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.2.已知集合，則集合中的元素個(gè)數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由，由，故，故中的元素個(gè)數(shù)是4.故選：C.3.某校為了豐富學(xué)生的課余生活，組織了籃球比賽．已知該校高二（1）班籃球隊(duì)員甲每場比賽得分的莖葉圖如圖所示，則甲每場比賽得分的分位數(shù)是（）01237822457903551377A.23 B.24 C.28 D.31【答案】C【解析】由莖葉圖可知：共有16個(gè)數(shù)據(jù)，則，故得分的分位數(shù)為第12和第13個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即.故選：C.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，得，則．取，，滿足，但不滿足．則由可得，由得不到，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，但，故A錯(cuò)誤；，但，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以，故C正確；，但，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.已知函數(shù)，且，則m取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，函數(shù)是奇函數(shù)，又函數(shù)都是R上的增函數(shù)，則在R上單調(diào)遞增，不等式，則，即，解得或，所以m的取值范圍是.故選：A.7.某企業(yè)研發(fā)一款新產(chǎn)品，計(jì)劃第一年投入研發(fā)經(jīng)費(fèi)10萬元，此后每年投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)比上一年增長．若第年的投入的研發(fā)經(jīng)費(fèi)首次超過20萬元，則（）（參考數(shù)據(jù)：）A.4 B.5 C.7 D.8【答案】B【解析】由題意可得，即，兩邊同時(shí)取以10為底的對(duì)數(shù)，則有，所以，解得，因?yàn)?，所?故選：B.8.已知點(diǎn)O在內(nèi)部，且有，則與的面積的比值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，取的中點(diǎn)，連接，則，于是，因此，所以與的面積的比值為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.我們把既有大小又有方向的量叫作向量 B.單位向量是相等向量C.零向量與任意向量平行 D.向量的?？梢员容^大小【答案】ACD【解析】對(duì)于A，我們把既有大小又有方向的量叫作向量，A正確，對(duì)于B，單位向量是長度為1的向量，方向不確定，故不一定是相等向量，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，零向量與任意向量平行，C正確，對(duì)于D，向量的模長是實(shí)數(shù)，故可以比較大小，D正確.故選：ACD.10.依次擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，記事件A表示“第一個(gè)骰子正面朝上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件B表示“第二個(gè)骰子正面朝上的點(diǎn)數(shù)不大于4”，事件C表示“兩個(gè)骰子正面朝上的點(diǎn)數(shù)之和大于8”，事件D表示“兩個(gè)骰子正面朝上的點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)”，則下列不是相互獨(dú)立事件的是（）A.A與C B.A與D C.B與C D.B與D【答案】ABC【解析】擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子的樣本空間：，共36個(gè)樣本點(diǎn)，，共18個(gè)樣本點(diǎn)，，共24個(gè)樣本點(diǎn)，，共10個(gè)樣本點(diǎn)，，共9個(gè)樣本點(diǎn)，，對(duì)于A，，，A是；對(duì)于B，，，D是；對(duì)于C，，，C是；對(duì)于D，，，D不是.故選：ABC.11.已知，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，由，則，等號(hào)成立條件為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，又，得，故B正確；對(duì)于C，由，則，則，等號(hào)成立條件為，故C正確；對(duì)于D，由B項(xiàng)知，，則，等號(hào)成立條件為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某科研所有名研究人員，其中男研究員人數(shù)與女研究員人數(shù)之比為．現(xiàn)從該研究所所有研究人員中按性別采用分層抽樣的方法抽取120名研究人員進(jìn)行調(diào)查，則被抽取到的女研究員人數(shù)是_______．【答案】45【解析】由題：抽取的女研究員人數(shù)為（人）.13.如圖1，這是杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”．如圖2，這是“潮涌”的平面圖，若，則圖形的面積與扇形的面積的比值是_______．【答案】【解析】設(shè)扇形的圓心角，，則，由扇形面積公式可知，，所以，所以.14.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，_______．【答案】【解析】令，則可得，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以為函?shù)的周期，當(dāng)時(shí)，，由題意可得.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）因?yàn)椋傻?，所?（2）.（3）.16.其校為了解學(xué)生的綜合素養(yǎng)情況，從該校學(xué)生中隨機(jī)地抽取了40名學(xué)生作為樣本，進(jìn)行綜合素養(yǎng)測評(píng)，將他們的得分（滿分：100分）分成，共六組．根據(jù)他們的得分繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）從得分低于60分的樣本中隨機(jī)地選取2個(gè)樣本，求這2個(gè)樣本的得分在同一組的概率；（2）若在內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)為86分，方差為10，在內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)為92分，方差為6，求在內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)和方差．解：（1）由圖可知，，解得，則在內(nèi)的樣本容量為，將這2個(gè)樣本分別記為，在內(nèi)的樣本容量為，將這4個(gè)樣本分別記為．從中隨機(jī)地選取2個(gè)，可知樣本空間，共有15個(gè)樣本點(diǎn)．用事件表示“這2個(gè)樣本的得分在同一組”，則，有7個(gè)樣本點(diǎn)，則，即這2個(gè)樣本得分在同一組的概率為．（2）由圖可知，在內(nèi)的樣本數(shù)與在內(nèi)的樣本數(shù)之比為，所以在內(nèi)的樣本得分的平均數(shù)分，方差.17.已知函數(shù)（，且），且．（1）求的值；（2）判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論；（3）若不等式恒成立，求t的取值范圍．解：（1）函數(shù)中，由，得，而，所以.（2）由（1）知，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，所以是R上的奇函數(shù).（3）函數(shù)都是R上的增函數(shù)，則是R上的增函數(shù)，不等式，因此，即，則，解，得或；解，即，得.于是，所以t的取值范圍是.18.如圖，四邊形是等腰梯形，，是線段的中點(diǎn)，在線段上．（1）若是線段的中點(diǎn)，且，求；（2）若是線段的中點(diǎn)，且，求梯形的面積；（3）若，且，求的值．解：（1）若是線段的中點(diǎn)，由題意可知，，，所以.如下圖所示：過作于，過作于，因?yàn)槭堑妊菪危?，可知，在直角中，因?yàn)椋?，，所以，所以，所?（2）若是線段的中點(diǎn)，由（1）可知，，在直角中，因?yàn)椋矗?，因?yàn)?，所以，即，解得?在直角中，由勾股定理可得，所以梯形的面積.（3）由（1）可知，在直角中，因?yàn)?，，所以，所以，設(shè)，所以，又由（1）知，所以，所以，因?yàn)椋?，整理得，解得或（舍），所?9.某商場為了吸引顧客，規(guī)定購買一定價(jià)值的商品可以獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，獎(jiǎng)品價(jià)值分別為10元、20元、30元、40元．已知甲抽到價(jià)值為10元、20元、30元、40元的獎(jiǎng)品的概率分別為，且每次抽獎(jiǎng)結(jié)果相互獨(dú)立．（1）已知甲參與抽獎(jiǎng)兩次，求甲兩次抽到的獎(jiǎng)品價(jià)值不同的概率；（2）求甲參與抽獎(jiǎng)三次，抽到兩種不同價(jià)值的獎(jiǎng)品，且獲得的獎(jiǎng)品價(jià)值總和不低于80元的概率．解：（1）記甲兩次抽到相同獎(jiǎng)品為事件，記甲在一次抽獎(jiǎng)中抽到值為10元、20元、30元、40元分別為事件，則，，所以甲兩次抽到的獎(jiǎng)品價(jià)值不同的概率為.（2）甲參與抽獎(jiǎng)三次，抽到兩種不同價(jià)值的獎(jiǎng)品，所以其中一種獎(jiǎng)品抽到兩次，另一種抽到一次.又獲得的獎(jiǎng)品價(jià)值總和不低于80元，故可能兩次抽到40元，一次抽到30元或兩次抽到40元，一次抽到20元或兩次抽到40元，一次抽到10元或兩次抽到30元，一次抽到4