高級中學名校試題PAGEPAGE1貴州省六盤水市水城區2024-2025學年高一下學期3月統考數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.2.已知集合，則集合中的元素個數是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由，由，故，故中的元素個數是4.故選：C.3.若向量，且，則（）A.28 B. C. D.【答案】D【解析】由向量，因為，可得，即，解得.故選：D.4.已知點是線段上靠近點的一個三等分點，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，，設，則，所以，即，解得.故選：B.5.如圖1，這是杭州第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”.如圖2，這是“潮涌”的平面圖，若，則圖形的面積與扇形的面積的比值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設扇形的圓心角為，可得扇形的面積為，扇形的面積為，因為，所以，即，所以圖形的面積與扇形的面積的比值.故選：D.6.已知向量，且的夾角為銳角，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由夾角公式，的夾角為銳角，即，即，解得；當共線時，，解得，此時滿足，此時兩向量夾角為，于是的夾角為銳角時，.故選：A.7.某企業研發一款新產品，計劃第一年投入研發經費10萬元，此后每年投入的研發經費比上一年增長.若第年投入的研發經費首次超過20萬元，則（）（參考數據：）A.4 B.5 C.7 D.8【答案】B【解析】依題意可得第年投入的研發經費為萬元，令，即，所以，所以，又，所以的最小值為，即第年投入的研發經費首次超過20萬元.故選：B.8.若向量滿足，且向量與向量的夾角為，則的最大值是（）A. B.40 C.64 D.【答案】D【解析】因為，且向量與向量的夾角為，設，其中，則，其中，因為，當時，有最大值.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.我們把既有大小又有方向的量叫作向量 B.單位向量是相等向量C.零向量與任意向量平行 D.向量的模可以比較大小【答案】ACD【解析】對于A，我們把既有大小又有方向的量叫作向量，A正確，對于B，單位向量是長度為1的向量，方向不確定，故不一定是相等向量，B錯誤，對于C，零向量與任意向量平行，C正確，對于D，向量的模長是實數，故可以比較大小，D正確.故選：ACD.10.已知向量和均不共線，且，則向量可以是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】由題意得，不共線.A∵，∴不共線，A正確.B.∵，∴，故為共線向量，B錯誤.C.∵，∴不共線，C正確.D.∵，∴，故為共線向量，D錯誤.故選：AC.11.已知函數的最小正周期為，則下列結論正確的是（）A.B.的圖象關于直線對稱C.的值域為D.在上單調遞減【答案】ABD【解析】對于A：因為，因為函數的最小正周期為；則函數的最小正周期為，所以的最小正周期為，所以，則，此時，則，符合題意，故A正確；對于B：因為，則，所以的圖象關于直線對稱，故B正確；對于C：因為的最小正周期為，所以只需研究函數在上的值域即可，當，則，此時，則，所以，所以；即值域為，故C錯誤；對于D：當時，則，因為在上單調遞減，所以在上單調遞減，故D正確.

故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標是__________.【答案】【解析】∵向量，，則，，所以在向量方向上的投影向量為.13.已知為正六邊形的中心，且，則__________.【答案】【解析】由正六邊形性質可知，為正三角形，且，所以，，所以.14.已知函數是定義在R上的偶函數，且，當時，，則當時，_______．【答案】【解析】令，則可得，因為函數是定義在R上的偶函數，所以，又因為，所以，所以，所以為函數的周期，當時，，由題意可得.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量滿足.（1）若向量的夾角為，求的值；（2）若，求向量的坐標.解：（1）因為，且向量夾角為，則，則.（2）設，因為，且，則，解得或，所以或.16.已知函數（，且），且．（1）求的值；（2）判斷的奇偶性并證明你的結論；（3）若不等式恒成立，求t的取值范圍．解：（1）函數中，由，得，而，所以.（2）由（1）知，函數的定義域為R，，所以是R上的奇函數.（3）函數都是R上的增函數，則是R上的增函數，不等式，因此，即，則，解，得或；解，即，得.于是，所以t的取值范圍是.17.如圖，四邊形是等腰梯形，，是線段的中點，在線段上.（1）若是線段的中點，且，求；（2）若是線段的中點，且，求梯形的面積；（3）若，且，求的值.解：（1）取的三等分點（靠近），連接，易知四邊形為平行四邊形，所以，所以，在中，，所以，所以為直角三角形，，所以，所以，，在中，，由余弦定理可得：，所以，即.（2）以為原點，所以直線為軸，過且垂直的直線為軸，建立如圖所示的坐標系：設等腰梯形的高為，則有，所以，所以，解得，所以.（3）當時，由（2）可知，所以，，，設，則，所以，解得，所以，所以.18.已知函數的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象.①若，求的值；②若對任意的恒成立，求的取值范圍.解：（1）由得，，∵，∴，.由得，，∴，故，設函數的最小正周期為，由圖象得，，∴，故，∴.（2）①由題意得，.∵，∴，，∴.②∵，∴，∴，故.∵對任意的恒成立，∴恒成立，即，∴，即，∴的取值范圍是.19.在平行四邊形中，與交于點.（1）若，求