高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣西南寧市2025屆普通高中畢業(yè)班第二次適應(yīng)性考試（二模）數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】

中的元素都是形如

的整數(shù)，其中

是整數(shù).

包含所有大于且小于4的實數(shù).求交集

：需要找到滿足

的整數(shù)

.解不等式：左邊：

解得

.右邊：

解得

因此，整數(shù)

的取值范圍是

和確定對應(yīng)的

值：當(dāng)

時，.當(dāng)

時，.結(jié)果：

中的元素是.故選：D.2.若復(fù)數(shù)，則（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】由題意得，，∴.故選：D.3.已知為銳角，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，故，所以，故選：A4.平面向量，滿足，，則（）A.25 B.21 C.17 D.13【答案】C【解析】由可得，所以，故，故選：C5.已知分別是橢圓的左、右頂點，直線（為橢圓的半焦距）上存在點，使得是頂角為的等腰三角形，且的面積為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如圖：,故，，故，故，解得，由于，故，故，故橢圓方程為，故選：B6.已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，與分別為該圓柱的上、下底面的一條直徑，若從點出發(fā)繞圓柱的側(cè)面到點的最小距離為，則直線與直線所成的角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意可知圓柱半徑和高分別為，由于從點出發(fā)繞圓柱的側(cè)面到點的最小距離為，故展開圖中，則,故，因此在圓柱中，在下底面作平行于的直徑，則的長度為，故所成的角為或其補角，由于，故直線與直線所成的角為，故選：C7.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，BC邊上一點D滿足，且AD平分.若的面積為，則（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】依題意，，由正弦定理得.移項可得.所以.所以，因為，所以，兩邊同時除以，可得，即，所以.由三角形面積公式可得，即，化簡可得①.因為，所以.又因為平分，根據(jù)角平分線定理得，即，所以②.由①②解得.故選：B8.已知函數(shù)，.若不等式的解集為，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】，根據(jù)選項可知：只需要考慮，要使不等式的解集為，當(dāng)時，故，解得，當(dāng)時，無法滿足解集為，故舍去，故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為B.在區(qū)間內(nèi)有3個零點C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.的圖象關(guān)于直線對稱【答案】ACD【解析】，對于A，最小正周期為，故A正確，對于B，令,則，解得，故在區(qū)間內(nèi)符合條件的零點有，只有兩個，故B錯誤，對于C，當(dāng)，故，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確，對于D,，故的圖象關(guān)于直線對稱，故D正確，故選：ACD10.已知點在雙曲線（，）上，則下列結(jié)論正確的是（）A.C的實軸長小于2B.C的漸近線方程可能為C.C的離心率大于D.C焦距不可能為4【答案】AC【解析】將代入可得，對于A：，故，因此，所以實軸長為，則，故A正確；對于B：漸近線方程為，若漸近線方程為，則，結(jié)合可得，則，該方程無實數(shù)根，故漸近線方程不可能為，故B錯誤；對于C：離心率為，故C正確；對于D：若焦距為4，則，故，故D錯誤.故選：AC11.在正四棱柱中，，P、Q分別為棱、的中點，點E滿足，，動點F在矩形內(nèi)部及其邊界上運動，且滿足，點M在棱上，將繞邊AD旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體，則（）A.動點F的軌跡長度為B.存在E，F(xiàn)，使得平面C.三棱錐的體積是三棱錐體積的倍D.當(dāng)動點F的軌跡與幾何體只有一個公共點時，幾何體的側(cè)面積為【答案】ABD【解析】在正四棱柱中，，且，，且因為，所以點是以點為圓心半徑為的四分之一圓，所以動點F的軌跡長度，正確；連接，與交于點，在上任找一點，過該點作的平行線，會跟相交于一點，再過該點作的平行線，必會與的軌跡相交，所以存在使得平面，正確;由題意，又因為、為、的中點，易得，所以，同理可得，C錯誤；由題意，幾何體是以為旋轉(zhuǎn)軸，為母線的圓錐，當(dāng)動點的軌跡與幾何體只有一個公共點時，圓錐與平面的交線與所在的圓弧相切，且因為，有,所以，則，可得，該圓錐的底面半徑，所以幾何體的側(cè)面積，正確.故選：.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知且，，函數(shù)，若，則________.【答案】【解析】函數(shù)，則，簡化可得：，即，所以.故答案為：.13.個人站成一排，其中甲站排頭或排尾的條件下，乙、丙不相鄰的概率為________.【答案】【解析】由題知，甲站排頭或排尾的方法有種，甲站排頭或排尾且乙、丙不相鄰的方法有種，所以甲站排頭或排尾的條件下，乙、丙不相鄰的概率為.故答案為：14.已知曲線，則E的一條對稱軸方程為________；已知A，B是E上不同于原點O的兩個頂點，C為E上與A，B不共線的一個動點，則面積的最大值為_______【答案】①.，或；②..【解析】對曲線：，將換為，則，故曲線關(guān)于對稱；將換為，則，故曲線關(guān)于對稱；故該曲線關(guān)于，或?qū)ΨQ；令，則，故曲線過點；令，則，即，，解得或，或，根據(jù)題意，不妨取；對，即，解得，不妨令，則，故，故當(dāng)時，，故，則面積的最大值為.故答案為：，或；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.2025年1月1日，某地舉行馬拉松比賽，某服務(wù)部門為提升服務(wù)質(zhì)量，隨機采訪了120名參賽人員，得到下表：滿意度性別合計女性男性比較滿意rs50非常滿意t4070合計60l120（1）求的值；（2）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為不同性別的參賽人員對該部門服務(wù)質(zhì)量的評價有差異？（3）用頻率估計概率，現(xiàn)隨機采訪1名女性參賽人員與1名男性參賽人員，設(shè)表示這2人中對該部門服務(wù)質(zhì)量非常滿意的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，.0.10.010.0012.7066.63510.828解：（1）完善二聯(lián)表為：滿意度性別合計女性男性比較滿意302050非常滿意304070合計6060120故，故；（2）零假設(shè)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，認(rèn)為不同性別的參賽人員對該部門服務(wù)質(zhì)量的評價沒有差異，，故依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能認(rèn)為不同性別的參賽人員對該部門服務(wù)質(zhì)量的評價有差異.（3）由于女性對服務(wù)滿意的概率為，男性對服務(wù)滿意的概率為，故，，，故的分布列為012故.16.已知數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）設(shè)，為數(shù)列的前n項和，證明：.（1）證明：∵，∴，即，∴是以為首項，2為公差的等差數(shù)列.（2）解：由（1）得，，∴.（3）證明：由（2）得，，∴，∵，∴，且隨著的增大而減小，∴，當(dāng)時，，∴.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）若存在極大值，且極大值不大于，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，，故，∴，∴曲線在處的切線方程為，即.（2）由題意得，，故函數(shù)的定義域為，∵，∴，當(dāng)時，，，在上為增函數(shù)，無極值.當(dāng)時，由得，由得，，由得，，∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，∴當(dāng)時，有極大值，極大值為，∴，即，令，則，∵，∴，∴在上為增函數(shù)，∵，∴要使，則，∴實數(shù)a的取值范圍是.18.已知在平面直角坐標(biāo)系中，過點的直線與拋物線交于，兩點，當(dāng)平行于軸時，.（1）求的值；（2）是否存在不同于點的定點，使得恒成立？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）若過點的直線與交于異于，的，兩點，其中點在第四象限，直線，直線與軸的交點分別為（與不重合），設(shè)線段的中點為，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）設(shè)點在第四象限，點在第一象限，當(dāng)平行于軸時，.在中，令，則，∴，∴，解得.（2）存在，理由如下：由（1）得，拋物線的方程為.設(shè)直線方程為，由得，，故.假設(shè)存在不同于點的定點，使得恒成立.由題意得，當(dāng)軸時，，故點在軸上，設(shè)，則，由得，，∴，整理得，，即，化簡得，由不恒為得，∴存在不同于點的定點，使得恒成立.（3）設(shè)直線的方程為，代入得，，故.設(shè)，，直線方程為，代入得，，故，設(shè)直線方程為，代入得，，故.由（2）得，∴，∴.∵線段的中點為，，∴，∴實數(shù)的取值范圍是.19.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，任意平面的方程都能表示成（A，B，C，，且），為該平面的法向量.設(shè)M是多面體的一個頂點，定義多面體在M處的離散曲率為），其中（，2，3，，n，）為多面體的所有與點M相鄰的頂點，且平面，，，，遍歷多面體的所有以M為公共頂點的面.多面體的離散總曲率為該多面體各頂點的離散曲率之和.已知空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，幾何體W的底面在平面Oxy內(nèi)，且側(cè)面上任意一點滿足（1）判斷幾何體W的形狀，并求幾何體W的兩個相鄰側(cè)面所在平面夾角的余弦值；（2）求幾何體W的離散總曲率；（3）定義：若無窮等比數(shù)列的公比q滿足，則的所有項之和.若球與幾何體W的各面均相切，然后依次在W內(nèi)放入球，球，，球，，使得球（，）與W的四個側(cè)面相切，且與球外切，求放入的所有球的表面積之和.解：（1）幾何體為正四棱錐，依題意，為，當(dāng)時，表示平面內(nèi)的兩組平行直線及所圍成的正方形，其頂點為，當(dāng)時，點，因此幾何體為正四棱錐，如圖：由正四棱錐任意兩側(cè)面所在平面的夾角相等，不妨求面與面夾角余弦值，平