高級中學名校試題PAGEPAGE1廣東省茂名市高州市2023-2024學年高二下學期期中考試數學試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內容：選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊第六章~第七章7.2.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓、管理三項不同的工作，則選派方案共有（）A.60種 B.80種 C.100種 D.120種【答案】D【解析】從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓、管理三項不同的工作，則選派方案共（種）．故選:D．2.下面給出四個隨機變量：①一高速公路上某收費站在十分鐘內經過的車輛數；②一個沿軸進行隨機運動的質點，它在軸上的位置η；③某派出所一天內接到的報警電話次數；④某同學上學路上離開家的距離．其中是離散型隨機變量的個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】對于①，十分鐘內經過的車輛數可以一一列舉出來，①是離散型隨機變量；對于②，沿軸進行隨機運動的質點，質點在直線上的位置不能一一列舉出來，②不是離散型隨機變量；對于③，一天內接到的報警電話次數可以一一列舉出來，③是離散型隨機變量；對于④，某同學上學路上離開家的距離可為某一區間內的任意值，不能一一列舉出來，④不是離散型隨機變量，所以給定的隨機變量是離散型隨機變量的有①③．故選：B．3.函數的圖象在點處的切線方程為（）A. B. C. D.y=-2x+1【答案】A【解析】由函數，求導得，則，而，所以所求切線方程為，即.故選：A4.若隨機變量的分布列如表，則的值為（）1234A. B. C. D.【答案】A【解析】根據題意可得，所以.故選：A.5.設點P是函數圖象上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，∵點P是曲線上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α，∴．∵，∴．故選：C．6.的展開式中，的系數與常數項之差為（）A.－3 B.－1 C.5 D.7【答案】C【解析】因為，取可得常數項為：，在中，含的項為，在中，含的項為，所以的展開式中，的系數為，所以的系數與常數項之差為.故選：C.7.已知函數，若在上恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，則，其中，令，解得，令，解得.所以在上單調遞減，在上單調遞增，因為，，所以，，因為在上恒成立，所以，，解得.故選：B.8.已知函數滿足（其中是的導數），若，，，則下列選項中正確的是（）A B. C. D.【答案】A【解析】由，得，令，，則，所以在上恒成立，所以在上為減函數，因為，且在上單調性遞增；所以，所以，所以，所以，即．故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于的展開式，下列說法正確的是（）A.展開式共有8項B.展開式中的常數項是70C.展開式中各項系數之和為0D.展開式中的二項式系數之和為64【答案】BC【解析】的展開式共有9項，故A錯誤；展開式中的常數項為，故B正確；令，則展開式中各項系數之和為，故C正確；展開式中的二項式系數之和為，故D錯誤.故選：BC10.如圖是導函數的圖象，則下列說法正確的是（）A.函數在區間上單調遞減 B.函數在區間上單調遞減C.函數在處取得極大值 D.函數在處取得極小值【答案】ACD【解析】對于A．因為在區間上成立，所以區間是的單調遞減區間，故A正確；對于B．因為當時，，當時，，所以在上不單調，故B錯誤；對于C．因為當時，，當時，，函數在處取得極大值，故C正確；對于D．因為當時，，當時，，所以函數在處取得極小值，故D正確.故選：ACD．11.袋中裝有6個相同的小球，編號分別為1，2，3，4，5，6．從中不放回的隨機抽取兩個球，表示事件“取出的兩個球中至少有一個球的編號為奇數”，表示事件“取出的兩個球的編號之和為偶數”，則下列說法正確的是（）A.事件與事件不相互獨立B.事件與事件互斥C.在事件發生的前提下，事件發生的概率為D.在事件發生的前提下，事件發生的概率為【答案】ACD【解析】依題意，，，，，對于A，因為，則事件與事件不相互獨立，A正確；對于B，“取出的兩個球的編號均為奇數”既在事件中，也在事件中，事件與事件不互斥，B錯誤；對于C，在事件發生的前提下，事件發生的概率，C正確；對于D，在事件發生的前提下，事件發生的概率，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.從甲地去乙地有4班火車，從乙地去丙地有3班輪船，若從甲地去丙地必須經過乙地中轉，則從甲地去丙地可選擇的出行方式有______________種．【答案】12【解析】由分步乘法計數原理知從甲地去丙地可選擇的出行方式有（種）．故答案為：12.13.有3臺車床加工同一類型的零件，第1臺加工的次品率為4%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的20%，30%，50%，現從加工出來的零件中任取一個零件，則取到的零件是次品，且是第2臺車床加工的概率為______.【答案】【解析】記Ai為事件“零件為第臺車床加工”，為事件“任取一個零件為次品”，則，，所以由全概率公式可得;由條件概率公式可得.故答案為：14.已知函數，若成立，則實數t的取值范圍為_____________．【答案】【解析】由題得函數定義域為，因為，所以函數是奇函數．又恒成立，所以函數在上單調遞增；不等式等價于，所以，即，解得．所以實數t的取值范圍為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.甲?乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量，已知甲?乙兩名射手在每次射擊中射中的環數分別為，且甲射中環的概率分別為，乙射中環的概率分別為，求的分布列.解：由題意得，解得，，解得，所以的分布列為109870.40.20.20.2η分布列為η109870.30.30.20.216.某市移動公司為了提高服務質量，決定對使用兩種套餐的集團用戶進行調查，準備從本市個人數超過1000的大集團和3個人數低于200的小集團中隨機抽取若干個集團進行調查，若一次抽取2個集團，全是大集團的概率為.（1）在取出的2個集團是同一類集團的情況下，求全為小集團的概率；（2）若一次抽取3個集團，假設取出大集團的個數為，求的分布列.解：（1）由題意知共有個集團，取出2個集團的方法總數是，其中全是大集團的情況有，故全是大集團的概率是，整理得到，解得，若2個全是大集團，共有（種）情況，若2個全是小集團，共有（種）情況，故在取出的2個集團是同一類集團的情況下，全為小集團的概率為；（2）由題意知，隨機變量的可能取值為0，1，2，3，，，故的分布列為012317.已知函數.（1）若，求的極值；（2）討論函數的單調性.解：（1）當時，，則定義域為，，則當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，極小值為，無極大值.（2）由題意知：定義域為，；當時，若，則；若，則；在上單調遞增，在上單調遞減；當時，若，則；若，則；在上單調遞減，在上單調遞增；綜上所述：當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.18.已知函數．（1）若，證明：：（2）若，都有，求實數的取值范圍．解：（1）若，令，解得，令，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，故；（2）不妨設，所以，即，所以函數在上單調遞增，令在上恒成立，令．當時，在上恒成立，又，不符合題意；當時，令，解得，令，解得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，解得，此種情況無解，當時，在上單調遞增，，在上恒成立，綜上所述，的取值范圍為．19.已知函數．（1）求函數的單調區間；（2）若函數有兩個極值點．①求實數a的取值范圍；②若（為自然對數的底數，且…），求的取值范圍．解：（1）由題知，函數的定義域為，，當時，對任意的，在上恒成立不恒為零，故在上單調遞減；當時，令，則，解得，當時，；當時，．所以函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為．綜上，當時，的單調遞減區間為，無單調遞增區間；當時，