高級中學名校試題PAGEPAGE1廣東省惠州市惠城區五校2024-2025學年高一下學期4月聯考數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設平面向量，若，則實數（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由有.故選：D.2.若復數滿足，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】由有.故選：A.3.已知在中，角的對邊分別為，若，則的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由正弦定理可得，故.故選：C.4.已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】對于A，因為，所以與共線，不能作為基底；對于B，設，則，解得，所以與共線，不能作為基底；對于C，設，則，即：，此時無解，所以與不共線，可以作為基底；對于D，設，則，即：，解得，所以與共線，不能作為基底.故選：C.5.在中，若，則此三角形（）A.無解 B.有兩解C.有一解 D.解的個數不確定【答案】B【解析】因為，，所以，因為，所以，所以滿足的有兩個，所以此三角形有兩解.故選：B.6.我國東漢末數學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，在“趙爽弦圖”中，若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以，，所以...①，...②，由①+②得：，即.故選：B.7.已知，，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設為向量，的夾角，因為，所以向量在向量上的投影向量為.故選：B.8.克羅狄斯·托勒密是希臘數學家，他博學多才，既是天文學權威，也是地理學大師．托勒密定理是平面幾何中非常著名的定理，它揭示了圓內接四邊形的對角線與邊長的內在聯系，該定理的內容為圓的內接四邊形中，兩對角線長的乘積等于兩組對邊長乘積之和．已知四邊形是圓的內接四邊形，且，．若，則圓的半徑為（）A.4 B.2 C. D.【答案】B【解析】由托勒密定理，得．因為，所以．設圓的半徑為，由正弦定理，得．又，所以．因為，所以，因為，所以，所以，所以，則，故．故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列結論中錯誤的為（）A.兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同B.向量與向量的長度相等C.對任意向量，是一個單位向量D.零向量沒有方向【答案】ACD【解析】對于A：由單位向量的定義可知，單位向量是模為1，方向任意，故A錯誤；對于B：由相反向量的定義可知向量與向量的長度相等，故B正確；對于C：當向量時，不滿足，故C錯誤；對于D：零向量是定義大小為0，方向任意，故D錯誤.故選：ACD.10.已知是邊長為2的等邊三角形，若向量，滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因為，，對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，則，故C正確；對于D：，即，故D錯誤.故選：AC.11.在中，，則（）A. B.的面積為8C. D.內切圓半徑是【答案】ABD【解析】由，所以，由余弦定理有：，所以，故A正確；由，所以，故B正確；，故C錯誤；設的內切圓半徑為，則有，即，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.復數為純虛數，則實數的值為_____________．【答案】【解析】由，所以，因為復數為純虛數，所以，即.13.如圖，在中，，是上的一點，若，則實數的值為________.【答案】【解析】解法1：因為，所以，又，所以，因為點三點共線，所以，解得：.解法2：因為，設，所以，因為，所以，又，所以，所以，又，所以，解得：，所以.14.“大美中國古建筑名塔”榴花塔以紅石為基，用青磚灰沙砌筑建成．如圖，記榴花塔高為，測量小組選取與塔底在同一水平面內的兩個測量點和，現測得m，在點處測得塔頂的仰角為，則塔高為_____________m．【答案】【解析】依題意，中，，，即，解得.在中，，即.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，向量．（1）若向量，求向量的坐標；（2）若向量與向量的夾角為120°，求．解：（1）由，設，∴，∵，∴，解得或，所以或．（2）∵，，，∴，∴，∴．16.在銳角中，內角，，所對的邊分別為，，，已知．（1）若，，求的值：（2）若，判斷的形狀．解：（1）由正弦定理，故，再由余弦定理得，，從而.（2）因為，所以由余弦定理得，結合得，進而，所以是等邊三角形．17.已知，，，是復平面上的四個點，其中，，且向量，對應的復數分別為，．（1）若，求，；（2）若，對應的點在復平面內的第二象限，求．解：（1）由題意可知，所以．，所以．又，所以所以所以，．（2）由已知可得，，，所以，又，所以，解得或（舍），又對應的點在第二象限，所以，可得，，，可得．18.如圖，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，，求.解：（1）因為在菱形中，.故，故，所以.（2）顯然，所以①，因為菱形，且，，故，.所以.故①式.故.19.如圖，正方形ABCD的邊長為1，P，Q分別為邊BC，CD上的點，且.（1）求∠PAQ的大小；（2）求面積的最小值；（3）某同學在探求過程中發現PQ的長也有最小值，結合（2）他猜想“中PQ邊上的高為定值”，他的猜想對嗎?請說明理由．解：（1）記，，則．（1）解法一：∵，