2025年統計學期末考試：卡方檢驗在統計推斷中的應用與分析試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題要求：從每題的四個選項中選擇一個最符合題意的答案。1.在卡方檢驗中，下列哪項是卡方統計量的計算公式？A.(觀察頻數-期望頻數)2/期望頻數B.(觀察頻數-期望頻數)2/(觀察頻數+期望頻數)C.(觀察頻數-期望頻數)2/(觀察頻數-期望頻數)D.(觀察頻數-期望頻數)2/(期望頻數-觀察頻數)2.以下哪種情況下，可以使用卡方檢驗？A.比較兩個比例的差異B.比較兩個平均數的差異C.比較兩個方差的差異D.比較兩個相關系數的差異3.在卡方檢驗中，自由度的計算公式是：A.(行數-1)×(列數-1)B.行數-1C.列數-1D.(行數-1)+(列數-1)4.在卡方檢驗中，若計算出的卡方統計量大于臨界值，則可以：A.接受原假設B.拒絕原假設C.無法確定D.重新計算5.卡方檢驗適用于以下哪種數據類型？A.定量數據B.定性數據C.定序數據D.以上都是6.下列哪項是卡方檢驗中的“期望頻數”？A.樣本頻數B.樣本比例C.總體比例D.樣本比例與總體比例的乘積7.在卡方檢驗中，若卡方統計量接近于0，則：A.原假設成立B.原假設不成立C.無法確定D.需要增加樣本量8.卡方檢驗可以用來：A.檢驗兩個分類變量是否獨立B.檢驗一個分類變量與連續變量之間的關系C.檢驗兩個連續變量是否獨立D.以上都是9.在卡方檢驗中，若計算出的卡方統計量小于臨界值，則：A.接受原假設B.拒絕原假設C.無法確定D.重新計算10.以下哪種情況下，卡方檢驗的誤差最小？A.觀察頻數接近期望頻數B.觀察頻數遠離期望頻數C.觀察頻數等于期望頻數D.觀察頻數大于期望頻數二、填空題要求：根據題目要求，在橫線上填寫正確答案。1.卡方檢驗的目的是檢驗__________。2.卡方檢驗中，自由度的計算公式是__________。3.在卡方檢驗中，若計算出的卡方統計量大于臨界值，則可以__________。4.卡方檢驗適用于__________數據類型。5.在卡方檢驗中，若卡方統計量接近于0，則__________。6.卡方檢驗可以用來檢驗__________。7.在卡方檢驗中，若計算出的卡方統計量小于臨界值，則__________。8.下列哪個是卡方檢驗中的“期望頻數”？__________9.卡方檢驗的誤差與__________有關。10.若卡方檢驗中的觀察頻數與期望頻數相差較大，可能導致__________。四、計算題要求：根據給定數據，計算卡方統計量，并判斷原假設是否成立。11.某班級男生和女生參加數學競賽的人數如下表所示，假設男生和女生參加數學競賽的人數比例相同，請使用卡方檢驗判斷該假設是否成立。|性別|參加數學競賽人數||----|---------------||男生|40||女生|60|12.某項調查中，被調查者對某產品的滿意度分為三個等級：非常滿意、滿意、不滿意。調查結果如下表所示，假設滿意度等級與年齡無關，請使用卡方檢驗判斷該假設是否成立。|年齡段|非常滿意|滿意|不滿意||------|--------|----|------||18-25歲|20|30|10||26-35歲|15|25|20||36-45歲|10|20|30||46-55歲|5|15|30|五、應用題要求：根據實際情況，分析卡方檢驗的應用。13.某公司對員工的滿意度進行問卷調查，調查結果如下表所示，假設員工滿意度與部門無關，請使用卡方檢驗判斷該假設是否成立。|部門|非常滿意|滿意|不滿意||----|--------|----|------||銷售部|30|50|20||技術部|25|45|30||財務部|20|40|40||人力資源部|15|35|50|14.某項調查中，被調查者對某項政策的態度分為三個等級：支持、中立、反對。調查結果如下表所示，假設政策態度與性別無關，請使用卡方檢驗判斷該假設是否成立。|性別|支持|中立|反對||----|----|----|----||男|50|30|20||女|40|40|20|六、論述題要求：結合實際案例，論述卡方檢驗在統計推斷中的應用與分析。15.請結合實際案例，論述卡方檢驗在檢驗兩個分類變量是否獨立中的應用與分析。例如，可以參考以下案例：某項調查中，被調查者對某項政策的態度分為三個等級：支持、中立、反對。同時，被調查者的年齡分為三個階段：18-35歲、36-55歲、56歲以上。調查結果如下表所示，請使用卡方檢驗判斷政策態度與年齡是否獨立。|年齡階段|支持|中立|反對||--------|----|----|----||18-35歲|50|30|20||36-55歲|40|40|20||56歲以上|30|30|40|本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：卡方統計量的計算公式為(觀察頻數-期望頻數)2/期望頻數。2.A解析：卡方檢驗主要用于比較兩個比例的差異。3.A解析：自由度的計算公式為(行數-1)×(列數-1)。4.B解析：若卡方統計量大于臨界值，則拒絕原假設。5.B解析：卡方檢驗適用于定性數據。6.D解析：期望頻數是樣本比例與總體比例的乘積。7.D解析：卡方統計量接近于0時，無法確定原假設是否成立。8.A解析：卡方檢驗可以用來檢驗兩個分類變量是否獨立。9.A解析：若卡方統計量小于臨界值，則接受原假設。10.A解析：觀察頻數接近期望頻數時，卡方檢驗的誤差最小。二、填空題1.檢驗兩個分類變量是否獨立2.(行數-1)×(列數-1)3.拒絕原假設4.定性數據5.無法確定6.檢驗兩個分類變量是否獨立7.接受原假設8.樣本比例與總體比例的乘積9.觀察頻數與期望頻數的差異10.卡方檢驗的誤差增大四、計算題11.解析：-男生期望頻數=(男生總人數+女生總人數)×男生比例=(40+60)×(40/100)=24-女生期望頻數=(男生總人數+女生總人數)×女生比例=(40+60)×(60/100)=36-卡方統計量=Σ[(觀察頻數-期望頻數)2/期望頻數]=[(40-24)2/24]+[(60-36)2/36]=2.67+1.33=4-由于卡方統計量小于臨界值，接受原假設。12.解析：-18-25歲期望頻數=(總人數)×(非常滿意比例)=(125)×(0.16)=20-26-35歲期望頻數=(總人數)×(非常滿意比例)=(125)×(0.16)=20-36-45歲期望頻數=(總人數)×(非常滿意比例)=(125)×(0.16)=20-46-55歲期望頻數=(總人數)×(非常滿意比例)=(125)×(0.16)=20-卡方統計量=Σ[(觀察頻數-期望頻數)2/期望頻數]=[(20-20)2/20]+[(30-20)2/20]+[(10-20)2/20]+[(30-20)2/20]=0+1.5+2.5+1.5=5.5-由于卡方統計量大于臨界值，拒絕原假設。五、應用題13.解析：-銷售部期望頻數=(總人數)×(非常滿意比例)=(150)×(0.2)=30-技術部期望頻數=(總人數)×(非常滿意比例)=(150)×(0.2)=30-財務部期望頻數=(總人數)×(非常滿意比例)=(150)×(0.2)=30-人力資源部期望頻數=(總人數)×(非常滿意比例)=(150)×(0.2)=30-卡方統計量=Σ[(觀察頻數-期望頻數)2/期望頻數]=[(30-30)2/30]+[(50-30)2/30]+[(20-30)2/30]+[(40-30)2/30]=0+1.67+1.67+1.67=5.33-由于卡方統計量小于臨界值，接受原假設。14.解析：-男性期望頻數=(總人數)×(支持比例)=(100)×(0.5)=50-女性期望頻數=(總人數)×(支持比例)=(100)×(0.5)=50-卡方統計量=Σ[(觀察頻數-期望頻數)2/期望頻數]=[(50-50)2/50]+[(30-50)2/50]+[(20-50)2/50]=0+1.6+1.6=3.2-由于卡方統計量小于臨界值，接受原假設。六、論述題15.解析：-某項調查中，被調查者對某項政策的態度分為三個等級：支持、中立、反對。同時，被調查者的年齡分為三個階段：18-35歲、36-55歲、56歲以上。-調查結果如下表所示：|年齡階段|支持|中立|反