第1節分類加法計數原理與分步乘法計數原理1/30最新考綱1.了解分類加法計數原理和分步乘法計數原理；2.會用分類加法計數原理或分步乘法計數原理分析和處理一些簡單實際問題.2/301.分類加法計數原理

做一件事，完成它有n類方法，在第一類方法中有m1種不一樣方法，在第二類方法中有m2種不一樣方法，……，在第n類方法中有mn種不一樣方法.則完成這件事共有N＝________________種不一樣方法.2.分步乘法計數原理

做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟有m1種不一樣方法，做第二個步驟有m2種不一樣方法，……，做第n個步驟有mn種不一樣方法.那么完成這件事共有N＝_________________種不一樣方法.知

識

梳

理m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn3/303.分類加法和分步乘法計數原理，區分在于：分類加法計數原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一個方法都能夠做完這件事；分步乘法計數原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.4/30[慣用結論與微點提醒]1.切實了解“完成一件事”含義，以確定需要分類還是需要分步進行.2.分類關鍵在于要做到“不重不漏”，分步關鍵在于要正確設計分步程序，即合理分類，準確分步.5/301.思索辨析(在括號內打“√”或“×”) (1)在分類加法計數原理中，兩類不一樣方案中方法能夠相同.(

) (2)在分類加法計數原理中，每類方案中方法都能直接完成這件事.(

) (3)在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟方法是各不相同.(

) (4)在分步乘法計數原理中，事情是分兩步完成，其中任何一個單獨步驟都能完成這件事.(

)診

斷

自

測6/30解析分類加法計數原理，每類方案中方法都是不一樣，每一個方法都能完成這件事；分步乘法計數原理，每步方法都是不一樣，每步方法只能完成這一步，不能完成這件事，所以(1)，(4)均不正確.答案(1)×

(2)√

(3)√

(4)×7/302.從3名女同學和2名男同學中選1人主持主題班會，則不一樣選法種數為(

) A.6 B.5 C.3 D.2

解析5個人中每一個都可主持，所以共有5種選法.

答案

B8/303.(教材練習改編)現有4種不一樣顏色要對如圖所表示四個部分進行著色，要求有公共邊界兩塊不能用同一個顏色，則不一樣著色方法共有(

) A.24種 B.30種 C.36種 D.48種解析需要先給C塊著色，有4種結果；再給A塊著色，有3種結果；再給B塊著色，有2種結果；最終給D塊著色，有2種結果，由分步乘法計數原理知共有4×3×2×2＝48(種).答案

D9/304.5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中一個小組，則不一樣報名方法有________種(用數字作答).

解析每位同學都有2種報名方法，所以，可分五步安排5名同學報名，由分步乘法計數原理，總報名方法共2×2×2×2×2＝32(種).

答案

3210/305.(·阜新月考)已知某公園有5個門，從任一門進，另一門出，則不一樣走法種數為________(用數字作答).

解析分兩步，第一步選一個門進有5種方法，第二步再選一個門出有4種方法，所以共有5×4＝20種走法.

答案

2011/30考點一分類加法計數原理應用【例1】(1)滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關于x方程ax2＋2x＋b＝0有實數解有序數對(a，b)個數為________. (2)在全部兩位數中，個位數字大于十位數字兩位數個數為________.

解析(1)當a＝0時，b值能夠是－1，0，1，2，故(a，b)個數為4；當a≠0時，要使方程ax2＋2x＋b＝0有實數解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.

若a＝－1，則b值能夠是－1，0，1，2，(a，b)個數為4；12/30若a＝1，則b值能夠是－1，0，1，(a，b)個數為3；若a＝2，則b值能夠是－1，0，(a，b)個數為2.由分類加法計數原理可知，(a，b)個數為4＋4＋3＋2＝13.(2)當個位數字為2時，十位數字為1，共1個；當個位數字為3時，十位數字為1，2，共2個；當個位數字為4時，十位數字為1，2，3，共3個；……當個位數字為9時，十位數字為1，2，3，4，…，7，8，共8個；由分類加法計數原理可知滿足條件兩位數個數為1＋2＋3＋…＋8＝36.答案(1)13

(2)3613/30規律方法

分類標準是利用分類加法計數原理難點所在，應抓住題目中關鍵詞、關鍵元素和關鍵位置.(1)依據題目特點恰當選擇一個分類標準.(2)分類時應注意完成這件事情任何一個方法必須屬于某一類，而且分別屬于不一樣種類兩種方法是不一樣方法，不能重復.(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏，如本例(1)中易漏a＝0這一類.14/30【訓練1】(1)從集合{1，2，3，…，10}中任意選出三個不一樣數，使這三個數成等比數列，這么等比數列個數為(

) A.3 B.4 C.6 D.8

(2)如圖，從A到O有________種不一樣走法(不重復過一點).15/30解析(1)以1為首項等比數列為1，2，4；1，3，9；以2為首項等比數列為2，4，8；以4為首項等比數列為4，6，9；把這4個數列次序顛倒，又得到另外4個數列，∴所求數列共有2(2＋1＋1)＝8個.(2)分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；第二類，中間過一個點，有A→B→O和A→C→O共2種不一樣走法；第三類，中間過兩個點，有A→B→C→O和A→C→B→O共2種不一樣走法，由分類加法計數原理可得共有1＋2＋2＝5種不一樣走法.答案

(1)D

(2)516/30考點二分步乘法計數原理應用【例2】(1)(·石家莊模擬)教學大樓共有五層，每層都有兩個樓梯，由一層到五層走法有(

) A.10種 B.25種 C.52種 D.24種 (2)(·全國Ⅱ卷)如圖，小明從街道E處出發，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓能夠選擇最短路徑條數為(

)17/30A.24 B.18 C.12 D.918/30解析(1)每相鄰兩層之間各有2種走法，共分4步.由分步乘法計數原理，共有24種不一樣走法.(2)分兩步，第一步，從E→F，有6條能夠選擇最短路徑；第二步，從F→G，有3條能夠選擇最短路徑.由分步乘法計數原理可知有6×3＝18條能夠選擇最短路徑.故選B.答案(1)D

(2)B19/30規律方法

(1)在第(1)題中，易誤認為分5步完成，錯選B.(2)利用分步乘法計數原理應注意：①要按事件發生過程合理分步，即分步是有先后次序；②各步中方法相互依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事.20/30【訓練2】(1)用0，1，2，3，4，5可組成無重復數字三位數個數為________. (2)(·合肥質檢)五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，則不一樣報名方法種數為________.五名學生爭奪四項比賽冠軍(冠軍不并列)，則取得冠軍可能性有________種.21/30解析(1)可分三步給百、十、個位放數字，第一步：百位數字有5種放法；第二步：十位數字有5種放法；第三步：個位數字有4種放法，依據分步乘法計數原理，三位數個數為5×5×4＝100.(2)五名學生參加四項體育比賽，每人限報一項，可逐一學生落實，每個學生有4種報名方法，共有45種不一樣報名方法.五名學生爭奪四項比賽冠軍，可對4個冠軍逐一落實，每個冠軍有5種取得可能性，共有54種取得冠軍可能性.答案(1)100

(2)45

5422/30考點三兩個計數原理綜合應用(多維探究)命題角度1組數、組點、組線、組對及抽取問題【例3－1】

假如一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面組成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定直線與含有四個頂點平面組成“正交線面對”個數是(

) A.48 B.18 C.24 D.36

解析在正方體中，每一個表面有四條棱與之垂直，六個表面，共組成24個“正交線面對”；而正方體六個對角面中，每個對角面有兩條面對角線與之垂直，共組成12個“正交線面對”，所以共有36個“正交線面對”.

答案D23/30命題角度2涂色、種植問題【例3－2】

(一題多解)如圖所表示，將一個四棱錐每一個頂點染上一個顏色，并使同一條棱上兩端異色，假如只有5種顏色可供使用，求不一樣染色方法種數.24/3025/30法二以S，A，B，C，D次序分步染色.第一步：S點染色，有5種方法；第二步：A點染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步：B點染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步：C點染色，也有3種方法，但考慮到D點與S，A，C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類，當A與C同色時，D點有3種染色方法；當A與C不一樣色時，因為C與S，B也不一樣色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法.由分步乘法、分類加法計數原理得不一樣染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(種).26/30規律方法

(1)①注意在綜合應用兩個原理處理問題時，普通是先分類再分步.在分步時可能又用到分類加法計數原理.②注意對于較復雜兩個原理綜合應用問題，可恰當地列出示意圖或列出表格，使問題形象化、直觀化.(2)處理涂色問題，可按顏色種數分類，也可按不一樣區域分步完成.例題中，相鄰頂點不一樣色，要按A，C和B，D是否同色分類處理.27/30【訓練3】(1)(一題多解)(·青島質檢)如圖所表示，用4種不一樣顏色涂入圖中矩形A，B，C，D中，要求相鄰矩形涂色不一樣，則不一樣涂法有(

) A.72種 B.48種 C.24種 D.12種 (2)如圖所表示，在連結正八邊形三個頂點而成三角形中，與正八邊形有公共邊三角形有________個(用數字作答).28/30解析(1)法一首先涂A有4種涂法，則涂B有3種涂法，C與A，B相鄰，則C有2種涂法，D只與C相鄰，則D有3種涂法，所以共有4×3×2×3＝72種涂法.法二按要求涂色最少需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有