第4講導數熱點問題專題二函數與導數1/50熱點分類突破真題押題精練2/50Ⅰ熱點分類突破3/50熱點一利用導數證實不等式用導數證實不等式是導數應用之一，能夠間接考查用導數判定函數單調性或求函數最值，以及結構函數解題能力.4/50例1

(屆云南省昆明市第一中學月考)設函數f(x)＝ax2－

－lnx，曲線y＝f(x)在x＝2處與直線2x＋3y＝0垂直.(1)求函數f(x)單調區間；解答解函數f(x)定義域為(0，＋∞)，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1.所以函數f(x)單調遞增區間為(1，＋∞)，單調遞減區間為(0,1).5/50證實思維升華6/50令h(x)＝ex－1－x，則h′(x)＝ex－1－1，當x>1時，h′(x)>0，所以h(x)在(1，＋∞)上為增函數，7/50所以g′(x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上為增函數，8/50思維升華用導數證實不等式方法(1)利用單調性：若f(x)在[a，b]上是增函數，則①?x∈[a，b]，則f(a)≤f(x)≤f(b)；②對?x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，則f(x1)<f(x2).對于減函數有類似結論.(2)利用最值：若f(x)在某個范圍D內有最大值M(或最小值m)，則對?x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m).(3)證實f(x)<g(x)，可結構函數F(x)＝f(x)－g(x)，證實F(x)<0.9/50解答10/50當0<x<1時，f′(x)>0；當x>1時，f′(x)<0.所以f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減.所以f(x)在x＝1處取得極大值.11/50解答12/50因為x≥1，所以h′(x)≥0，則h(x)在[1，＋∞)上單調遞增.所以h(x)最小值為h(1)＝1>0，從而g′(x)>0，故g(x)在[1，＋∞)上單調遞增，13/50所以g(x)最小值為g(1)＝2，所以k3＋k≤2，即(k－1)(k2＋k＋2)≤0，解得k≤1.故k取值范圍為(－∞，1].14/50熱點二利用導數討論方程根個數方程根、函數零點、函數圖象與x軸交點橫坐標是三個等價概念，處理這類問題能夠經過函數單調性、極值與最值，畫出函數圖象走勢，經過數形結合思想直觀求解.15/50例2

(屆汕頭期末)設函數f(x)＝

x2－(a＋1)x＋alnx，a>0.(1)求函數f(x)單調區間；

解答16/50解函數f(x)定義域為(0，＋∞).當0<a<1時，令f′(x)<0，得a<x<1；令f′(x)>0，得0<x<a或x>1，所以函數f(x)單調增區間為(0，a)和(1，＋∞)，單調減區間為(a,1)；17/50所以函數f(x)單調增區間為(0，＋∞)，無減區間；當a>1時，令f′(x)<0，得1<x<a；令f′(x)>0，得0<x<1或x>a，所以函數f(x)單調增區間為(0,1)和(a，＋∞)，單調減區間為(1，a).18/50(2)討論函數f(x)零點個數.解答思維升華19/50解由(1)可知，當0<a<1時，函數f(x)單調增區間為(0，a)和(1，＋∞)，單調減區間為(a,1)，因為f(2a＋2)＝aln(2a＋2)>0,所以函數f(x)有唯一零點；當a＝1時，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，20/50所以函數f(x)有唯一零點；

當a>1時，函數f(x)單調遞增區間是(0,1)和(a，＋∞)，單調遞減區間是(1，a)，f(2a＋2)＝aln(2a＋2)>0,綜上，函數f(x)有唯一零點.21/50思維升華(1)函數y＝f(x)－k零點問題，可轉化為函數y＝f(x)和直線y＝k交點問題.(2)研究函數y＝f(x)值域，不但要看最值，而且要觀察隨x值改變y值改變趨勢.22/50解答23/50解f′(x)＝ax2－(a＋1)x＋1當x改變時，f′(x)，f(x)改變情況以下表：

1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)遞減極小值遞增極大值遞減24/5025/50解答(2)當a≤1時，判斷函數f(x)在區間[0,2]上零點個數.26/50①當a<0時，f(x)在[0,1]上單調遞增，在[1,2]上單調遞減.所以f(x)在[0,2]上有兩個零點；f(x)在[0,1]上單調遞增，在[1,2]上單調遞減，27/50所以f(x)在[0,2]上有兩個零點；28/50所以f(x)在[0,1]上有且僅有一個零點，在[1,2]上沒有零點，所以f(x)在[0,2]上有且僅有一個零點；⑤當a＝1時，f′(x)≥0恒成立，f(x)在[0,2]上單調遞增，所以f(x)在[0,2]上有且僅有一個零點，29/50熱點三利用導數處理生活中優化問題生活中實際問題受一些主要變量制約，處理生活中優化問題就是把制約問題主要變量找出來，建立目標問題即關于這個變量函數，然后經過研究這個函數性質，從而找到變量在什么情況下能夠到達目標最優.30/50例3

在一張足夠大紙板上截取一個面積為3600平方厘米矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板四個角上切去邊長相等小正方形，再把它邊緣虛線折起，做成一個無蓋長方體紙盒(如圖).設小正方形邊長為x厘米，矩形紙板兩邊AB，BC長分別為a厘米和b厘米，其中a≥b.31/50(1)當a＝90時，求紙盒側面積最大值；解答解因為矩形紙板ABCD面積為3600平方厘米，故當a＝90時，b＝40，從而包裝盒子側面積S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x)＝－8x2＋260x，x∈(0,20).32/50(2)試確定a，b，x值，使得紙盒體積最大，并求出最大值.解答思維升華33/50＝x(3600－240x＋4x2)＝4x3－240x2＋3600x.當且僅當a＝b＝60時等號成立.設f(x)＝4x3－240x2＋3600x，x∈(0,30).則f′(x)＝12(x－10)(x－30).所以當0＜x＜10時，f′(x)＞0，f(x)在(0,10)上單調遞增；解包裝盒子體積V＝(a－2x)(b－2x)x34/50當10＜x＜30時，f′(x)＜0，f(x)在(10,30)上單調遞減.所以當x＝10時，f(x)有最大值f(10)＝16000，此時a＝b＝60，x＝10.所以當a＝b＝60，x＝10時紙盒體積最大，最大值為16000立方厘米.35/50思維升華利用導數處理生活中優化問題普通步驟(1)建模：分析實際問題中各量之間關系，列出實際問題數學模型，寫出實際問題中變量之間函數關系式y＝f(x).(2)求導：求函數導數f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)求最值：比較函數在區間端點和使f′(x)＝0點函數值大小，最大(小)者為最大(小)值.(4)作答：回歸實際問題作答.36/50跟蹤演練3

圖1是某種稱為“凹槽”機械部件示意圖，圖2是凹槽橫截面(陰影部分)示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽橫截面周長為4.若凹槽強度T等于橫截面面積S與邊AB乘積，設AB＝2x，BC＝y.解答(1)寫出y關于x函數表示式，并指出x取值范圍；37/50解易知半圓CmD半徑為x，故半圓CmD弧長為πx.所以4＝2x＋2y＋πx，38/50解答(2)求當x取何值時，凹槽強度最大.39/50解依題意，設凹槽強度為T，橫截面面積為S，則有40/50Ⅱ真題押題精練41/50真題體驗(·全國Ⅰ)已知函數f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.(1)討論f(x)單調性；解f(x)定義域為(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1).(i)若a≤0，則f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞減.(ii)若a>0，則由f′(x)＝0，得x＝－lna.當x∈(－∞，－lna)時，f′(x)<0；當x∈(－lna，＋∞)時，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，－lna)上單調遞減，在(－lna，＋∞)上單調遞增.解答42/50(2)若f(x)有兩個零點，求a取值范圍.解答43/50解(i)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一個零點.①當a＝1時，因為f(－lna)＝0，故f(x)只有一個零點；即f(－lna)>0，故f(x)沒有零點；44/50又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2>－2e－2＋2>0，故f(x)在(－∞，－lna)上有一個零點.所以f(x)在(－lna，＋∞)有一個零點.綜上，a取值范圍為(0,1).45/50押題預測解答押題依據相關導數綜合應用試題多考查導數幾何意義、導數與函數單調性、導數與不等式等基礎知識和基本方法，考查分類整合思想、轉化與化歸思想等數學思想方法.本題命制正是依據這個要求進行，全方面考查了考生綜合求解問題能力.押題依據已知函數f(x)＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，記g(x)為f(x)導函數.(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處切線垂直于直線x＋y＋3＝0，求a值；46/50解由已知，可得函數f(x)定義域為(0，＋∞)，g(x)＝2(x－1－lnx－a)，所以y＝f