第7節(jié)立體幾何中向量方法(一)——證實(shí)平行與垂直1/39最新考綱1.了解直線方向向量及平面法向量；2.能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系；3.能用向量方法證實(shí)立體幾何中相關(guān)線面位置關(guān)系一些簡(jiǎn)單定理.2/39知

識(shí)

梳

理非零向量3/392.空間位置關(guān)系向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?______________直線l方向向量為n，平面α法向量為ml∥αn⊥m?____________l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?____________n1·n2＝0n·m＝0n·m＝04/39[慣用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.用向量知識(shí)證實(shí)立體幾何問(wèn)題，仍離不開(kāi)立體幾何中定理.若用直線方向向量與平面法向量垂直來(lái)證實(shí)線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.2.用向量證實(shí)立體幾何問(wèn)題，寫(xiě)準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵，要充分利用中點(diǎn)、向量共線、向量相等來(lái)確定點(diǎn)坐標(biāo).5/391.思索辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)直線方向向量是唯一確定.(

) (2)若直線a方向向量和平面α法向量平行，則a∥α.(

) (3)若兩平面法向量平行，則兩平面平行.(

) (4)若直線a方向向量與平面α法向量垂直，則a∥α.(

)

解析(1)直線方向向量不是唯一，有沒(méi)有數(shù)多個(gè)； (2)a⊥α；(3)兩平面平行或重合；(4)a∥α或a

α.

答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)×診

斷

自

測(cè)6/392.(教材練習(xí)改編)已知平面α，β法向量分別為n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，則(

) A.α∥β B.α⊥β C.α，β相交但不垂直 D.以上均不對(duì)

解析

∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直.

答案

C7/393.若直線l方向向量為a＝(1，0，2)，平面α法向量為n＝(－2，0，－4)，則(

) A.l∥α B.l⊥α C.l

α D.l與α斜交

解析∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，

∴n＝－2a，即a∥n.∴l(xiāng)⊥α.

答案

B8/39答案

C9/395.如圖所表示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD中心，M是D1D中點(diǎn)，N是A1B1中點(diǎn)，則直線ON，AM位置關(guān)系是________.答案垂直10/3911/39證實(shí)

法一如圖，取BD中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OD，OP所在射線分別為y，z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.12/3913/39法二在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF＝3FC，連接OF，同法一建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)A，B，C坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x0，y0，0).14/39規(guī)律方法

1.恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量坐標(biāo)，是利用向量法證實(shí)平行和垂直關(guān)鍵.2.證實(shí)直線與平面平行，只須證實(shí)直線方向向量與平面法向量數(shù)量積為零，或證直線方向向量與平面內(nèi)不共線兩個(gè)向量共面，或證直線方向向量與平面內(nèi)某直線方向向量平行，然后說(shuō)明直線在平面外即可.這么就把幾何證實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.15/39【訓(xùn)練1】

已知正方體ABCD－A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，AA1中點(diǎn)，求證：平面EFG∥平面B1CD1.16/39證實(shí)建立如圖所表示空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1).17/39設(shè)n1＝(x1，y1，z1)為平面EFG法向量，n2＝(x2，y2，z2)為平面B1CD1一個(gè)法向量.令x1＝1，可得y1＝－1，z1＝－1，同理可得x2＝1，y2＝－1，z2＝－1.則n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，－1).由n1＝n2，得平面EFG∥平面B1CD1.18/39考點(diǎn)二利用空間向量證實(shí)垂直問(wèn)題【例2】

如圖所表示，已知四棱錐P－ABCD底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側(cè)面PBC⊥底面ABCD.證實(shí)： (1)PA⊥BD； (2)平面PAD⊥平面PAB.19/39證實(shí)

(1)取BC中點(diǎn)O，連接PO，∵平面PBC⊥底面ABCD，BC為交線，PO

平面PBC，△PBC為等邊三角形，即PO⊥BC，∴PO⊥底面ABCD.以BC中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O與AB平行直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所表示.20/3921/39又∵PA∩PB＝P，PA，PB

平面PAB，∴DM⊥平面PAB.∵DM

平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.22/39規(guī)律方法

1.利用已知線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，從而將幾何證實(shí)轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題關(guān)鍵.2.用向量證實(shí)垂直方法(1)線線垂直：證實(shí)兩直線所在方向向量相互垂直，即證它們數(shù)量積為零.(2)線面垂直：證實(shí)直線方向向量與平面法向量共線，或?qū)⒕€面垂直判定定理用向量表示.(3)面面垂直：證實(shí)兩個(gè)平面法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪迸卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?23/3924/39證實(shí)由題設(shè)易知OA，OB，OA1兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所表示空間直角坐標(biāo)系.25/39所以A1C⊥BD，A1C⊥BB1.又BD∩BB1＝B，BD，BB1

平面BB1D1D，所以A1C⊥平面BB1D1D.26/3927/39(1)證實(shí)因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD且AB∩PA＝A，PA，AB

平面PAB，所以PD⊥平面PAB.(2)解取AD中點(diǎn)O，連接PO，CO.因?yàn)镻A＝PD，所以PO⊥AD.又因?yàn)镻O

平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因?yàn)镃O

平面ABCD，所以PO⊥CO.因?yàn)锳C＝CD，所以CO⊥AD.28/39如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.由題意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1).29/3930/39命題角度2與垂直相關(guān)探索性問(wèn)題【例3－2】

如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面相互垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2. (1)求證：AC⊥BF；31/39(1)證實(shí)

∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF

平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.又AC

平面ABCD，∴AF⊥AC.∵AB∩AF＝A，AB，AF

平面FAB，∴AC⊥平面FAB，∵BF

平面FAB，∴AC⊥BF.32/3933/39假設(shè)在線段BE上存在一點(diǎn)P滿足題意，則易知點(diǎn)P不與點(diǎn)B，E重合，34/3935/3936/39【訓(xùn)練3】

如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5. (1)求證：AA1⊥平面ABC；37/39證實(shí)

(1)因?yàn)锳A1C1C為正方形，所以AA1⊥AC.因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C，AA1

平面AA1C1C，且AA1垂