數學史在中學“數系”教學中的體現分析案例綜述“數系”是中學數學中的概念教學，它也是數學教學的基礎.它們在中學數學中的分布如表3-1.表3-1“數系”是中學數學中的分布1.1“數系”在中學數學中的重要性數系包括數的概念、數的運算以及規律等，是數的系統的簡稱.數系在數學發展過程中不斷的擴充和完善，數系的擴充有兩個主要原因：分別出于社會生活發展和數學內部發展的必要．數系的發展出于數學內部發展和社會生活發展的共同需要.在數的發展過程中，數系大致經歷了如圖3-1的過程.因此，數系在數學中的地位是不可替代的.圖3-1數系圖1.2教科書中“數系”章節數學史的內容設置1.2.1初中教科書中“數系”數學史的內容設置選取2012年教育部審定的初中教科書七年級上、下冊.具體內容如表3-2.表3-2人教版初中數學教材中數學史內容設置1.2.2高中教科書中“數系”數學史的內容設置選取的是2005年人民教育出版社出版的A版高中數學教材．具體內容如表3-3．表3-3人教A版高中數學教材“數系”數學史內容設置1.3中學中“數系”教學應用數學史的意義數系的發展歷經幾百年的歷史，“數系”這是一個概念，學生很難在幾十分鐘的課堂中就認清數的本質.最讓人難于接受的是，要打破原有的認知，去接收一個新的知識，這是很難的.例如，虛數的引入，在原有的認知里只存在實數，并無虛數一說，先學習虛數就需要打破原有的認知結構.所以，對學生而言，在“數系”這一章節融入數學史是十分重要的.“數系”的發展是數學家們創新精神的體現.借助數學史，鼓勵學生學習數學家們的大膽質疑精神，勇于探索精神，培養其創新意識[7].1.4高考中相關數學史的“數系”題目例：2009年湖北卷理科第10題，文科第10題，如下圖1.5開發的教學案例1.5.1案例一：無理數的引入一.教學目標1.讓學生認識無理數，并且學會判斷一個數是否為無理數；2.帶學生簡單了解無理數產生的背景，認識學習無理數的重要性，培養學生的動手操作能力；1.讓學生了解無理數，調動學生的積極性，激勵他們學習.二.教學重點1.認識無理數；2.會判斷一個數是否為無理數.三.教學難點難點：帶領學生去發現無理數，讓學生感知到無理數確實是存在于我們的實際生活之中的數.四.教學過程(一)故事情景，引入新課師:歷史上有一個十分出名的畢達哥拉斯學派，他們有一個信條：“萬物皆數，即宇宙間的一切現象都可以歸結為整數或整數之比.”在2500多年前，人們對數學就已經有了那么高等的認識.人們對數學就已經有了那么高等的認識.同學們，調動你們的知識，思考一下在他們那個時代，當時已經發現了哪些數？生1：整數和分數.師:好.那么大家同意他們的看法嗎?生2:我不贊同.當時，他們或許還不知道存在負數呢.師:這位同學的想象力十分豐富，但實際上，當時他們已經知道了負數.例如，一個人做生意把本金全虧掉，還欠了別人100塊，這個人的財產就用-100來表示.也就是說，當時他們已經認識到有理數了.看來同學們都很厲害，那么快就掌握了那時候的最高學問.(學生笑了起來，似乎有些自豪.)師：現在讓我們大家一起來做一個小游戲吧.請每一位同學在你的草稿本上任意寫出一個分數，與你的同桌交換本子，然后，各自將本子上這個數表示成小數.你發現了什么現象嗎?生3:老師，我和周圍的同學發現這些數有的表示出來是有限小數，有的表示出來是無限循環小數.師:原來有限小數和無限循環小數就是畢達哥斯學派所指的數.那么，同學們猜猜看，他們還沒有發現什么數呢?生4:老師，我知道了，是無理數.師:(表現得很驚訝)為什么呀?生4:有有理數的話，那就有無理數呀.既然我們知道了有理數，那還不知道的就是無理數.師:這位同學很擅長利用類比思想考慮問題嘛，真棒！那我來問問同學們，除了有限小數和無限循環小數，還存在別的什么數是畢達哥斯學派沒想到的呢？生5:老師，他們還沒有想到無限不循環小數.而且，無限不循環小數是不可以用兩個整數之比表示出來的.師：好，這位同學說得很對，一個數如果是無限不循環小數的話，那它就不能用整數之比來表示.顯而易見，在那個時候畢達哥拉斯學派并沒有意識到這一點.其實，在2300多年前，人類開始了最早的研究.我們剛剛已經證實了畢達哥斯學派的學說確實是存在漏洞的，那么當時有沒有人出來反駁呢？（停頓一下，讓學生激烈的討論一番，然后教師開始講述故事）其實啊，在當時呢，的確出現過那么一位“勇士”.生6：誰啊，老師？師：傳說，無理數最早是由畢達哥斯學派弟子希伯索斯發現的.他發現一個事實：邊長為1的正方形的對角線長不能用整數或整數之比來表示，即若正方形的邊長為1，則該正方形對角線的長不可以由任意一個有理數表示出來.然后呢，希伯索斯的這個發現動搖了畢達哥拉斯學派的信條，而畢達哥拉斯深信任何數都可以由整數或分數表示出來.于是，引發持續了兩千多年的數學史上的第一次大危機.在現代，隨著社會的進步和發展，不斷有學者來解決，并且正視此問題.這場危機最終也的發展起到了積極的作用.我們將類似于希伯索斯發現的這個數稱為無理數，于是，無理數就產生了.（二）探究新知活動1：讓學生自己動手操作，切身感受無理數的實際背景師：現在，我們來玩個小游戲.請同學們拿出兩個邊長為1的小正方形，通過剪、拼的方式得到一個大正方形.（注：①所剪塊數盡可能的少；②拼接成功后，材料不準有剩余，并且所得的大正方形必須是一個整體，無空缺、無缺失.）給學生一定的時間交流討論.在此過程中，觀察學生是否主動探究，是否樂意與他人交流討論，并且及時給予他們肯定及鼓勵.學生盡可能自己剪拼，完成拼圖.（在有困難的時候，也可以與同桌交流討論，完成拼圖.）請同學代表來展示自己的作品，并說出自己是如何得到大正方形的.師：邊長為1的正方形的對角線等于多少？生：是.師：由前面同學們拼的大正方形面積可以知道，“”，那么等于多少呢？同學們發揮自己的想象力，好好的思考一下，的值究竟為多少呢？活動2：讓學生感知無理數的存在師：現在，我們得到了這個大正方形，對這個大正方形你可以提出哪些問題？生：它的面積、周長、邊長、對角線等.師：大正方形的面積、對角線很容易就能確定，那么它的邊長呢？它的值是多少呢？是屬于什么數呢？師：之前，我們都學過一些什么數呀，你們可以將它們分類出來嗎?（回顧與有理數相關的知識）有有理數有有理數整數分數正整數0負整數正分數負分數有限小數或循環小數生1：有理數可以分為整數和分數.生2：整數可以分為負整數、正整數和0.生3：分數可以分為正、負分數.師：那現在，請同學們思考一下（小正方形對角線的長）是不是有理數呢？如果的話，那它是屬于整數還是分數呢？下面我們來分別討論一下.證明：在三角形ABC中，，，.不為整數.證：由三角形的三邊關系，我們可以得到且故不為整數.師：不是整數，是分數嗎？生4：是.師：你能找出是分母為多少的分數嗎？（鴉雀無聲）師引導：我們可以從分母最小的分數開始尋找.1.是分母為2的分數嗎？計算：，.結論：不是分母為2的分數.2.是分母為3的分數嗎？計算：，.結論：不是分母為3的分數.1.是分母為4的分數嗎？計算：，.結論：不是分母為4的分數.4.是分母為5、6的分數嗎？通過計算，得到結論：不是分母為5、6的分數.5.是分母為多少的分數？歸納發現：不是分數.總結：既不是整數，也不是分數，那就說明不是有理數.這時，我們需要引入一個新數來定義它，我們就把這個新的數叫做無理數.有理數和無理數的區別：（1）有限小數或無限循環小數是有理數；無限不循環小數是無理數.（2）任意一個有理數都可以化為分數，但是無理數不能化為分數的形式.（三）鞏固練習[例1]下面這些數，哪些數為有理數，哪些數為無理數？，，，，，，，，，，(兩個3之間依次多一個1).解:有理數：，，，，，，.無理數：，，，.師:通過例1的練習，你能得到關于無理數的哪些結論?生:1.無理數有正、負之分；2.無理數有無限多個；1.帶有根號的數并不都是無理數.[例2]下列說法對不對?如果不對，請舉反例.(1)無限小數都是無理數;(2)無理數都是無限小數;(3)無理數都是帶根號的數;(4)帶根號的數都是無理數.解:(1)不對.是無限小數，但它是有理數.（2）對.（3）不對.和都沒有根號，但是，它們卻都是無理數.（4）不對.，都帶根號，但它們都是有理數.（四）課堂小結（1）什么無理數；（2）給定一個數，你怎么去判斷它是有理數還是無理數.1.5.2案例二：復數的引入一.教學目標1.認識虛數；能夠區分虛數的實部與虛部；2.了解虛數的產生過程；1.由數學史引入復數，讓學生了解復數如何產生，從而激發學生的好奇心，培養對數學的學習興趣.二.教學重點重點：認識虛數.三.教學難點難點：學會分辨實部和虛部.四.教學過程(一)回顧舊知，引入新課數集的產生如下圖：正整數（自然數）正整數（自然數）0負整數正分數負分數整數分數有理數無理數數實數虛數正無理數負無理數自然數是通過計數產生的;負整數是通過減法產生的；分數是通過除法產生的，從而形成了有理數.在古希臘，人們通常用線段來表示正有理數，而在表示邊長為1的正方形的對角線時遇到了困難，于是便引入了無理數的概念.（二）探究新知問題：在我們解一元二次方程時，求根公式中是怎么來的？當時呢？生1：當，方程有實數解.生2：當，方程沒有實數解.師：是的，歷史上，對于的二次方程，當判別式時，認為沒有解.后來，有數學家發現解三次方程需要用到負數開平方，同時，負數開平方運算也可以代入到解二次方程中.下面，我們用方程來討論判別式小于零時的方程的解.師：一般地，一元二次方程沒有實數根.在實數的范圍內，不存在有一個實數的平方等于一個負數.同學們思考一下：什么樣的數，它的平方會等于呢？

生3：實數，實數，是一個實際存在的數.那會不會這個不存在的數叫做虛數？師：這個同學很有想象力，非常好.這個時候需要引入一個新數，我們把它稱為虛數單位，記作.

我們對上面引入的新數作規定:.復數的概念：我們把形如的數稱為復數，其中叫做復數的實部，叫做復數的虛部.我們將復數的全體叫做復數集，用字母來表示.復數集是實數集的擴展，在擴展中引入一個新數“”，即虛數單位.對于復數：（1）虛部為0的復數叫實數；（2）虛部不為0的復數叫虛數；（3）實部為0的復數叫純虛數.復數相等的定義：兩個復數相等當且僅當它們的實部與虛部分別對應相等，即當且僅當且.（三）鞏固練習例1（填空）我們把形如的數叫做復數，其中：（1），分別是它的（）和（）.（2）當（）時，為實數；（3）當（）時，為虛數；（4）當（）時，為純虛數.答：（1）實部，虛部.（2）；（3）；（4）.例2仔細觀察下面這些數，判斷它們哪些為復數，實數，虛數，純虛數？并且在每個數后面寫出它們的實