第第頁湖北省高中名校聯盟2024屆高三第四次聯合測評數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知復數z滿足z+zi=i，則z=（）A．12+12i B．122．已知集合A={x∈R∣x2?2x?3>0}，集合B滿足B?AA．[?1,3] B．(?∞,?1]3．某校舉行“云翔杯”學生籃球比賽，統計部分班級的得分數據如下.班級12345678得分2834343026282832則（）A．得分的中位數為28 B．得分的極差為8C．得分的眾數為34 D．得分的平均數為314．已知m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則（）A．若α//β，m//α，n//β，則m//n C．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n D．若α⊥β，m//α，n5．在△ABC中，若AC2+BA．23 B．12 C．326．已知{an}是各項均為正數的等比數列，a1+A．2 B．3 C．4 D．57．過拋物線C：y2=4x的焦點F作直線l1，l2，其中l1與C交于M，N兩點，l2與C交于A．1 B．2 C．3 D．48．若?x∈R，x2≥?1A．1 B．0 C．π3 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9．已知雙曲線E：x2a2A．雙曲線E的實軸長為4B．雙曲線E的離心率為5C．雙曲線E的漸近線方程為y=±2xD．過點P且與雙曲線E僅有1個公共點的直線恰有1條10．張同學從學校回家要經過2個路口，假設每個路口等可能遇到紅燈或綠燈，每個路口遇到紅綠燈相互獨立，記事件A：“第1個路口遇到綠燈”，事件B：“第2個路口遇到綠燈”，則（）A．P(A)C．P(B∣A11．已知定義在R上函數f(x)，對任意x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)，其中f(1)=A．f(x)為R上的單調遞增函數B．f(x)為奇函數C．若函數f(x)為正比例函數，則函數g(x)=f(x)exD．若函數f(x)為正比例函數，則函數?(三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．已知向量a=(k,2)，b=(2,1)13．已知三棱錐A?BCD的四個頂點都在球O的球面上，且AB=CD=5，AC=BD=10，AD=BC=13，則球O14．已知直線l1與曲線y=aex和y=lnx?lna都相切，傾斜角為α，直線l2與曲線y=aex和四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（1）求證：sin1（2）求值：1cos16．如圖，AE⊥平面ABCD，E,F在平面ABCD的同側，AE//DF，AD//BC，AD⊥AB，（1）若B,E,（2）若DF=2AE，平面BEF與平面BCF夾角為30°，求線段AE17．已知函數f(（1）求f(x)的單調區間；（2）若關于x的不等式f(x)18．已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直線l1與E交于M(?4,0)，N(?2,2)兩點，點（1）求橢圓E的標準方程；（2）若AB=PN，AP=(7?4（3）若直線MA，MB的斜率之和為2，求直線l219．組合投資需要同時考慮風險與收益．為了控制風險需要組合低風險資產，為了擴大收益需要組合高收益資產，現有兩個相互獨立的投資項目A和B，單獨投資100萬元項目A的收益記為隨機變量X，單獨投資100萬元項目B的收益記為隨機變量Y．若將100萬資金按λA+(1?λ)B進行組合投資，則投資收益的隨機變量Z滿足Z=λX+(1?λ)Y，其中0≤λ≤1．假設在組合投資中，可用隨機變量的期望衡量收益，可用隨機變量的方差衡量風險.（1）若Y~B(100,0.（2）已知隨機變量X滿足分布列：Xxxx…x…xP(X)P(X=P(X=P(X=…P(X=…P(X=隨機變量Y滿足分布列：Yyyy…y…yP(Y)P(Y=P(Y=P(Y=…P(Y=…P(Y=且隨機變量X與Y相互獨立，即P(X=xi,Y=yi)=P(X=（3）若投資項目X是高收益資產，其每年的收益滿足：有30%的可能虧損當前資產的一半；有70%的可能增值當前資產的一倍．投資項目Y是低風險資產，滿足Y~B(100,

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：z+zi=i，z(1+i)=i，故答案為：A.【分析】運用復數的運算法則直接求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：集合A={x∈R∣x2?2x?3>0}=?∞，?1∪3，+∞，集合B滿足B?A，則3．【答案】B【解析】【解答】解：A、將得分從小到大排列：26，28，28，28，30，32，34，34，中位數為28+302B、極差為34?26=8，故B正確；C、眾數為28，故C錯誤；D、平均數為26+28×3+30+32+34×28故答案為：B.【分析】將得分從小到大排列，計算出中位數、極差、平均數、眾數即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：A、若α//β，m//α，n//β，則B、若α//β，m⊥α，n//C、若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n，故C正確；D、若α⊥β，m//α，n//β，則m⊥n或故答案為：C.【分析】由面面平行，線面平行的性質，線面垂直的性質，面面垂直，線面垂直的性質逐項判斷即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：由余弦定理得，cosC=AtanCtanA故答案為：B.【分析】利用余弦定理、正弦定理即可得解.6．【答案】D【解析】【解答】解：易知公比q≠1，設an由a1+a由a1a2則1a故答案為：D．【分析】已知得a1q67．【答案】B【解析】【解答】解：如圖，

由題意可知l1的斜率不為0，設l1:x=my+1，與y設M(x1,y1)，于是1|MF|而x1所以1|MF|同理1|FP|+1故答案為：B.

【分析】設出直線方程，與拋物線方程聯立得y2?4my?4=0，由韋達定理和拋物線定義化簡1|MF|8．【答案】A【解析】【解答】解：因為y=?12cos由x2≥?12cos2ωx+因為y=sinωx為奇函數，且值域為[?1,1]，所以只需則ωx≥ωsinωx，當當sinωx>0時，ω≤令g(x)則g'(x)=1?則g(x)>g(0)而ω=0時，x≥0在x∈[0,當ω=1時，由g(x)=x?sin所以ω的最大值為1.故答案為：A.【分析】先根據二倍角公式化簡可得x2≥sin2ωx，由y=x,y=sinωx均為奇函數且|sinωx|≤1可知，只需?x∈[09．【答案】A,B【解析】【解答】解：由題意可知42a2?(A、2a=4，故A正確；B、e=cC、由x24?D、有3條，兩條與漸近線平行，第三條與雙曲線相切，設切線的斜率為k，則x24?y2(1?4k2)令Δ=0，解得k=33，所以故答案為：AB.【分析】代點可得雙曲線方程，然后可得實軸長和離心率以及漸近線方程；過點P且與雙曲線E僅有1個公共點的直線恰有3條，兩條與漸近線平行，一條與雙曲線相切.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、P(A)=P(B)=1B、因為事件A，B相互獨立，所以P(AB)=P(A)P(B)=1C、因為A，B相互獨立，所以A,B也互相獨立，所以D、P(A+B)=P(A)+P(B)?P(AB)=3故答案為：ABD.【分析】易知P(A)=P(B)=12，可判斷A；利用獨立事件概率乘法公式和條件概率可判斷BC；根據11．【答案】A,B【解析】【解答】解：A、設x2>x1，且x2=x1+tB、f(x)是定義在R上的函數，令x=y=0，得f(0)=0，令y=?x，有f(x)+f(?x)=0，即f(?x)=?f(x)，所以f(x)是奇函數，故B正確；C、設f(x)=kx，代入f(1)=12，得x<1時，g'(x)>0，g(x)在區間(?∞,1)所以g(x)=f(x)exD、函數?(x)=1?(0)=?1<0，?(π)=π由零點存在性定理可知，函數?(x)分別在區間(?π,故答案為：AB.【分析】利用函數單調性的定義判斷A；賦值，得出f(0)=0，再令y=?x，得出f(x)+f(?x)=0，即可判斷B；在f(x)=12x的前提下，求g'(x)，分析導函數g'(x)12．【答案】?1【解析】【解答】解：因為a⊥b所以a?b=0故答案為：?1.【分析】利用向量垂直的坐標表示，由a⊥b可得13．【答案】14【解析】【解答】解：如圖，

因為三棱錐對棱相等，所以將三棱錐A?BCD補全為為長方體，從而外接圓直徑為長方體的體對角線，設長方體的棱長分別為a,b,c，球則a2所以2R=a2+故答案為：142【分析】因為三棱錐對棱相等，所以將三棱錐補全為為長方體，長方體的外接球直徑為長方體的體對角線.14．【答案】3【解析】【解答】解：因為y=aex與y=lnx?lna關于y=x對稱，所以α+β=π2，

設l1與y=aex的切點為(x1,a則aex1=1x2=2，故答案為：32【分析】根據曲線的對稱性得到α+β=π2，根據基本不等式可得當且僅當tanα=2時15．【答案】（1）證明：cos=sin（2）解：由（1）得：1====1【解析】【分析】（1）通分，由兩角差的正弦公式即可得證；（2）根據（1）的結論結合誘導公式化簡即可得解.16．【答案】（1）解：∵AD//BC，BC?平面BCEF，AD?平面BCEF，∴AD//平面BCEF，∵AE//DF，則A,∵AD//平面BCEF，AD?平面ADEF，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∴AD//EF，又AE//DF，則四邊形ADFE是平行四邊形，∴EF=DC=1；（2）解：以A為原點，分別以AB、AD、AE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖，

設E(0,0,λ)，F(0,1,2λ)，B(1,0設m=(x1由m?BE=0m?BF=0可得m=(λ設n=(x2由n?BC=0n?BF=0可得n=(2λ依題意|cosm解得λ=12，【解析】【分析】（1）由線面平行的判定定理、性質定理得四邊形ADFE是平行四邊形，即可求出線段EF的長；（2）以A為原點，分別以AB、AD、AE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設E(0,0,λ)，求出平面BEF和平面BFC的法向量，由17．【答案】（1）解：f(x)的定義域為R，f'(x)=(1+x)e當x<?1時，f'(x)<0，則當x>?1時，f'(x)>0，則即f(x)的單調減區間為(?∞,?1)，單調增區間為（2）解：設g(x)=f(x)+f(1?x)，則g(1?x)=f(1?x)+f(x)=g(x).∴g(x)關于x=12對稱，不妨研究g'令?(x)=1+x?2x+1e1?2x，顯然下面證明12≤x≤2時，?'∵1∴?2x2+2x+7>0∴?(x)在[12,綜上，x≥12時，均有∴g(x)在[1∴g(∴a≤e【解析】【分析】（1）求導，根據導數的正負分析單調性即可；（2）由g(x)=f(x)+f(1?x)知g(x)關于x=12對稱，然后分x>2和12≤x≤2兩種情況由g'(x)的正負得到18．【答案】（1）解：因為M(?4,0)，N(?2,所以(?4)解得a2=16，故橢圓E的標準方程為x2（2）解：設A(x1,y1聯立x216+即(kΔ>0，x1+x由MP=PN得P(?3,1)，則由AP=(7?43)即x1代入t=3k+1得，x1+x解得：x1=?23，x故直線l2的斜率為k=?（3）解：由kAM+k即y1即(kx即(2k?2)x代入x1+x得(2k?2)(t即t2+16k故t=4k+43或當t=4k時，直線AB過M(?4,0)，此時點當t=4k+43時，直線AB過定點K(?4,當t=4k+43時，由Δ=4k2從而直線l2的斜率的取值范圍為(?∞【解析】【分析】（1）把M、N坐標代入橢圓方程列方程組即可；（2）①設直線AB:y=kx+t，與橢圓E的方程可得(16k②由kAM+kBM=2，可知y1x1+4+y19．【答案】（1）解：由Y為二項分布可知：E(Y)當λ=0時，E(Z)=E(Y)=3，D(Z)=D(Y)=2.故組合投資的期望為3，方差為2.91．（2）證明：因為D(X)=i=1所以D(Z)=D(λX+(1?λ)Y)=E[λX+(1?λ)Y?E(λX+(1?λ)Y)]因為[λX