第第頁廣西壯族自治區來賓市2025屆高三第一次教學質量監測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設z=2A．?1+i B．?1?i C．1+i D．1?i2．已知集合A=0,2,4,6,B=x∣0<A．0,2,4 B．2,4 C．2 D．2,3,43．已知平面向量a,b滿足a=1,A．3 B．3 C．7 D．14．某校舉行數學競賽，現將100名參賽學生的成績（單位：分）整理如下：成績40,5050,6060,7070,8080,9090,100頻數52530201010根據表中數據，下列結論正確的是（）A．100名學生成績的極差為60分B．100名學生成績的中位數大于70分C．100名學生成績的平均數大于60分D．100名學生中成績大于60分的人數所占比例超過80%5．一動圓與圓x2+yA．x29+y25=1 B．6．圓錐的頂點為S,AB為底面直徑，若AB=2,∠ASB=πA．4π3 B．16π3 C．1637．設函數fx=aex+e?xA．?2 B．?1 C．1 D．28．黃金不僅可以制成精美的首飾佩戴，還因其價值高，并且是一種稀少的資源，長久以來也是一種投資工具.小李計劃投資黃金，根據自身實際情況，他決定分兩次進行購買，并且制定了兩種不同的方案：方案一是每次購入一定數量的黃金：方案二是每次購入一定金額的黃金.已知黃金價格并不穩定，所以他預設兩次購入的單價不同.現假設他兩次購入的單價分別為a1,aA．當且僅當a1B．當且僅當a1C．無論a1D．無論a1二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下列函數中，對稱中心為1,0的有（）A．y=sinπx B．y=cosC．y=12x?10．已知拋物線C:y2=2pxp>0，過C的焦點F作直線l:x=ty+1，若C與l交于A．p=2 B．AFC．t=22或?22 D．線段AB11．下列關于函數fxA．x=1是fxB．函數fxC．若方程fx=m有兩根xD．若方程fx=m有兩根x三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．甲?乙?丙三名工人加工同一型號的零件，甲加工的正品率為90%，乙加工的正品率為80%，丙加工的正品率為85%，加工出來的零件混放在一起.已知甲?乙加工的零件數相同，丙加工的零件數占總數的40%.現任取一個零件，則它是正品的概率為.13．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左?右焦點分別為F1、F214．已知a>0，函數fx=x?axx>0.若曲線y=fx與直線y=2交于A,B兩點，設A,B的橫坐標分別為x1,x2，寫出x1,x2與a四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知1+tanA1?tanA（1）求∠A；（2）若c=3，且△ABC的面積為33，求△ABC16．中國共產黨第二十屆中央委員會第三次全體會議，于2024年7月15日至18日在北京舉行.全會提出，中國式現代化是物質文明和精神文明相協調的現代化.必須增強文化自信，發展社會主義先進文化，弘揚革命文化，傳承中華優秀傳統文化，加快適應信息技術迅猛發展新形勢，培育形成規模宏大的優秀文化人才隊伍，激發全民族文化創新創造活力.為此，某學校舉辦了“傳承中華優秀傳統文化”宣傳活動，學校從全體學生中抽取了100人對該宣傳活動的了解情況進行問卷調查，統計結果如下：男女合計了解20不了解2040合計（1）將列聯表補充完整；（2）根據α=0.05的獨立性檢驗，能否認為該校學生對該宣傳活動的了解情況與性別有關聯？（3）若把上表中的頻率視作概率，現從了解該活動的學生中隨機抽取3人參加傳統文化知識競賽.記抽取的3人中女生人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望.附：χ2=P0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82817．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C（1）求證：AB1⊥（2）若AC=BC=4，且AC⊥BC,E為CC1的中點，求平面AB18．已知數列an滿足a1=1，點a（1）設bn=a（2）求數列an的前n項和S（3）設1an的前n項和為Tn19．已知：①定積分的定義：設y=fx為定義在a,b上的連續非負函數，為求y=f將區間a,b分為n個小區間，每個小區間長度為b?an，每個區間即可表示為a+b?ani?1,a+當n→+∞時，每個小曲邊梯形可近似看作矩形，矩形的寬即為每個小區間的長度，長可由每個小區間內的任一點的函數值近似代替（一般用區間端點的函數值），將這樣無窮多個小矩形的面積相加，所得之和即為所求的由y=fx?x=a?x=b?x軸圍成的曲邊梯形的面積，即②定積分的計算：abf(x)dx=F(b)?F(a)其中根據以上信息，回答以下問題：（1）已知0<α<π2，求證：（2）將x=1、x=2、y=1（3）試證明：1101

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：已知z=所以z=?1+i故答案為：A.

【分析】先利用復數的四則運算z=?1?i，再利用共軛復數的定義.2．【答案】A【解析】【解答】解：解不等式0<3x≤81，可得x≤4，則集合B=故答案為：A.【分析】先指數函數的單調性解不等式求得集合B，再由集合交集的運算求解即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：已知b?a⊥又因為a=1,b所以|a所以a+故答案為：C.

【分析】先利用b?a⊥a可得4．【答案】C【解析】【解答】解：A、由表格可知，100名學生成績的極差可能為60也可能不是60，故A選項錯誤；B、由表格可知，100名學生成績的中位數位于60,70之間，故B選項錯誤；C、平均數為1100D、100名學生中成績大于60分的人數所占比例為30+20+10+10100故答案為：C【分析】利用已知條件結合極差，中位數以及平均數的定義，逐項計算即可求解.5．【答案】C【解析】【解答】解：圓x2+y2+4x=0可化為(x+2)圓x2+y2?4x?60=0可化為(x?2)設動圓圓心為點P，半徑為r，圓P與圓O1外切于點M，圓P與圓O2內切于點由題意得，P,M,O1三點共線，N,P,O2三點共線，∴PO∴點P的軌跡為以O1,O2為焦點的橢圓，且2a=10，c=2∴點P的軌跡方程為x2故答案為：C.【分析】計算兩個已知圓的圓心和半徑，再根據三點共線和圓與圓的位置關系得到動圓圓心到兩已知圓圓心距離和為定值，再結合橢圓的定義得出動圓圓心的軌跡方程.6．【答案】B【解析】【解答】解：設圓錐底面圓的圓心為O'，底面圓的半徑為r，外接球的半徑為R，作出圓錐的軸截面，如圖所示：

可知△ABS為等腰三角形，又∠ASB=π則△ABS為等邊三角形，所以圓錐的外接球的球心O即為△ABS外接圓的圓心，且SO'=則球O的半徑為R=r所以外接球的表面積為4πR故答案為：B.【分析】先作出圓錐的軸截面，可得△ABS為等邊三角形且其外接圓的圓心即為圓錐的外接球的球心，由R=r7．【答案】B【解析】【解答】解：設?(x)=(exx<0時，?'(x)<0，?(x)單調遞減，x>0時，?'f(?x)=a(e?x+ex)2g(x)在(?∞,0)上遞減，在(0,+∞因此它們的圖象在y軸以外的交點個數是偶數（含0），若a=0，則f(x)=0，g(x)=4x若a>0，則f(x)在(?∞,0)上遞減，在(0,+∞因此它們的圖象如果有交點，交點不可能在y軸上，從而交點個數為偶數，不合題意；若a<0，則f(x)在(?∞,0)上遞增，在(0,+∞它們的圖象只有一個交點，則4a=2(a?1)，解得a=?1．故答案為：B．【分析】由題意，先確定兩個函數都是偶函數，它們的圖象在y軸以外的交點個數為偶數，因此題中只有一個公共點，因此它們的交點只能在y軸上，確定參數值即可．8．【答案】D【解析】【解答】解：方案一：設每次購入的黃金數量為m，則平均購買成本x=m方案二：設每次購入的黃金金額為n，則平均購買成本為y=2n所以x?y=a且a1≠a2，則無論a1故答案為：D.【分析】由題意，分別計算出方案一與方案二的平均購買成本，作差比較大小判斷即可.9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、令x=1可得y=sinπ=0，所以y=sinπx關于1,0對稱，A選項正確；B、令x=1可得y=cos1?1=cos0=1≠0，所以y=cosx?1C、令x=1可得y=12×1?12D、令fx則f===1+=1+=0，所以y=x3?3故答案為：ACD.【分析】先利用正弦函數的性質及余弦函數把x=1代入即可判斷A，B，再集合一次函數得圖象特征代入判斷對稱中心判斷C，再根據對稱中心的定義計算判斷D.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：易知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點過F作直線l:x=ty+1，則F1,0，即p2=1聯立y2=4xx=ty+1設Ax1,y1，B由AF=2FB，得y1=?2yt=y1+y2則x1=2,x2=AB=x1故答案為：ABD.【分析】由直線l:x=ty+1，可得拋物線的焦點F1,0，得p的值和拋物線方程即可判斷A；直線方程代入拋物線方程，由韋達定理結合AF=2FB，求出A,B11．【答案】A,D【解析】【解答】解：因為fx=x?xlnx，所以f'所以當x∈0,1時，f'x>0，所以函數fx在0,1上單調遞增，在1,+令fx=0?x1?lnx=0?x=0（舍）或A、由上可知x=1是fxB、由上可知函數fx只有1個零點x=eCD、方程fx=m有兩根x1不妨設x1<x則lnx1<0,令gx=ln所以當x∈1,+∞時，g'x<0所以x∈1,+∞時gx所以x1<x故答案為：AD.

【分析】先對函數fx=x?xlnx進行求導，再利用導數求出函數fx的單調性和fx=0的解即可判斷AB；不妨設x1<x2，由0<12．【答案】0.85【解析】【解答】解：已知甲、乙、丙加工的零件數分別占總數的30%、30%、40%，現任取一個零件，由全概率可得它是正品的概率30%×90%+30%×80%+40%×85%=0.85.故答案為：0.85.【分析】利用全概率公式代入數值直接計算即可求解.13．【答案】14【解析】【解答】解：因為sin∠PF1F2sin∠P又PF2?PF故PF2=3PF1=3a由題可得F2M2所以3a2所以e2=14故答案為：142

【分析】先利用sin∠PF1F2sin∠PF2F1=3結合正弦定理和雙曲線定義求出P14．【答案】x1【解析】【解答】解：不妨設x1<x2，則由函數y=x與y=所以?x1+所以?x1+因為x1+x所以x1=ax2，代入x又AA1=2故答案為：a=x1【分析】先兩個函數y=x與y=axa>0圖象性質可得到?x1+ax1=2x2?15．【答案】（1）解：由題得1+tanA1?tanA因為0°<A<180故45°<45°+A<（2）解：由（1）得A=30°，故由c=3和S△ABC所以a2=b所以△ABC的周長為a+b+c=21【解析】【分析】（1）先利用兩角和的正切公式tan45°+A（2）先由（1）結合已知條件S△ABC=12bcsinA（1）由題得1+tanA1?tanA因為0°<A<180故45°<45°+A<（2）由（1）得A=30°，故由c=3和S△ABC所以a2=b所以△ABC的周長為a+b+c=2116．【答案】（1）解：列聯表如下：男女合計了解402060不了解202040合計6040100（2）解：零假設H0由（1）可得χ2則根據小概率值α=0.05的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷H0即可以認為H0（3）解：由（1）可知抽取的100名學生中了解該活動的學生男生和女生分別為40人和20人，所以從了解該活動的學生中隨機抽取1人參加傳統文化知識競賽，抽取的是女生的概率為2040+20則由題意可知X=0,1,2,3，且X～B3,所以PX=0=CPX=2=C所以隨機變量X的分布列為X0123P8421所以隨機變量X的數學期望為EX【解析】【分析】（1）由題意以及表格數據填寫即可；（2）先零假設H0，根據列聯表中的數據計算χ2，最后根據小概率值（3）先求隨機變量X～B3,13（1）由題得列聯表如下：

男女合計了解402060不了解202040合計6040100（2）零假設H0由（1）可得χ2則根據小概率值α=0.05的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷H0即可以認為H0（3）由（1）可知抽取的100名學生中了解該活動的學生男生和女生分別為40人和20人，所以從了解該活動的學生中隨機抽取1人參加傳統文化知識競賽，抽取的是女生的概率為2040+20則由題意可知X=0,1,2,3，且X～B3,所以PX=0=CPX=2=C所以隨機變量X的分布列為X0123P8421所以隨機變量X的數學期望為EX17．【答案】（1）證明：設AB1與A1則由△AB1C又由四邊形AA1B因為A1B∩CG=G，A1所以AB1⊥（2）解：由（1）可得AB又AC⊥BC，AB1∩AC=A，AB1、AC?平面取AC中點O，連接B1O，則由△AB因為AC=BC=4，所以B1又BC⊥平面AB1C，B1O?取AB中點H，連接OH，則OH//BC，故OH⊥AC且OH⊥B故可建立空間直角坐標系O?xyz，如圖所示：則O0,0,0所以OB由上OB1=設平面AB1E則n⊥AB1n設平面AB1E與平面ABC則cosθ所以平面AB1E與平面ABC【解析】【分析】（1）設AB1與A1B交于點G，連接CG，四邊形AA（2）先求證BC⊥平面AB1C，取AC中點O，連接B1O得B1O⊥AC，取AB中點H，連接OH，由OH//BC得OH⊥B1（1）設AB1與A1則由△AB1C又由四邊形AA1B因為A1B∩CG=G，A1所以AB1⊥（2）由（1）可得AB又AC⊥BC，AB1∩AC=A，AB1、AC?平面取AC中點O，連接B1O，則由△AB因為AC=BC=4，所以B1又BC⊥平面AB1C，B1O?取AB中點H，連接OH，則OH//BC，故OH⊥AC且OH⊥B故可建立如圖所示的空間直角坐標系O?xyz，則O0,0,0所以OB由上OB1=設平面AB1E則n⊥AB1n設平面AB1E與平面ABC則cosθ所以平面AB1E與平面ABC18．【答案】（1）證明：因點an,an+1在直線則an+1+12=3所以bn是以32為首項，公比為（2）解：由（1）bn則Sn（3）證明：由（2），1a則當n=1時，23當n≥2（n∈N+）時，注意到則3則T=1?1?綜上，當n∈N+時，【解析】【分析】（1）構造等比數列an+1（2）由（1）可得利用等比數列的通項公式求得an（3）可證得1a（1）證明：因點an,an+1在直線則an+1+12=3所以bn是以32為首項，公比為（2）由（1），bn則Sn（3）證明：由（2），1a則當n=1時，23當n≥2（n∈N+）時，注意到則3則T=1?1?綜上，當n∈N+時，19．【答案】（1）證明：根據定積分的計算得0αcosxdx=Fα?F所以0α下證sinα<α設fx=sinx?x0<x<所以函數fx在0,所以fx<f0所以0<α<π2時（2）解：由題意可得x=1、x=2、y=1x、x面積和的極限形式為：S=lim（或S=lim設gx=lnx+C（所