第1頁/共1頁2024－2025學年度第二學期北京市第十二中學高一3月練習數學考生須知：1．答題前，考生務必先將答題卡上的學校、班級、姓名、教育ID號用黑色字跡簽字筆填寫清楚，并認真核對條形碼上的教育ID號、姓名、在答題卡的“條形碼粘貼區”貼好條形碼．2．本次練習所有答題均在答題卡上完成．選擇題必須使用2B鉛筆以正確填涂方式將各小題對應選項涂黑，如需改動，用橡皮擦除干凈后再選涂其它選項．非選擇題必須使用標準黑色字跡簽字筆書寫，要求字體工整、字跡清楚．3．請嚴格按照答題卡上題號在相應答題區內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在練習卷、草稿紙上答題無效．4．本練習卷滿分共150分，作答時長90分鐘．第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本部分共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，選出最符合題意的一項．1.已知向量，，則（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】利用向量線性運算的坐標表示，再利用坐標計算模即得.【詳解】向量，，則，所以.故選：B2.若是平面內的一個基底，則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用平面向量基底的定義及共線的充要條件，對各個選項逐一分析判斷，即可求解.【詳解】對于選項A，因為，則與共線，所以不能作為平面向量的基底，故選項A正確，對于選項B，因為，則與共線，所以不能作為平面向量的基底，故選項B正確，對于選項C，，則與共線，所以不能作為平面向量的基底，故選項C正確，對于選項D，因為不存在實數，使，即與不共線，所以能作為平面向量的基底，故選項D錯誤，故選：ABC.3.已知角的終邊與單位圓交于點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由三角函數的定義求出，再由二倍角公式即可求出.【詳解】角的終邊與單位圓交于點，，.故選：C.4.在中，已知，，三邊分別對應，，三角，，，，則（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】已知邊角邊，可由余弦定理求第三邊即可.【詳解】由余弦定理可得，，故選:B.5.向量，，在邊長為1的正方形網格中的位置如圖所示，若為與同方向的單位向量，則（）A.1.5 B.2 C.-4.5 D.-3【答案】D【解析】【分析】首先建系，確定向量的坐標，根據向量數量積的坐標表示求解.【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，由圖可知，，，則，所以.故選：D6.在中，為的重心，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意作圖，根據重心的幾何性質，得到線段的比例關系，利用平面向量的運算可得，結合平面向量基本定理可求，由此可得答案.【詳解】設相交于點，為的重心，可得為中點，，，所以，所以.故選：A.7.已知是平面內兩個非零向量，，那么“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據充分必要條件的定義，結合向量平行定理，即可判斷.【詳解】若，，所以，，當時，，當時，，此時故“”是“”的不充分條件，因為，若，則，當且僅當方向相同時取到等號，則恒成立，故，但兩個向量間的系數不確定，不能推出“”；綜上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D8.若，，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意求得和的值，結合兩角差的余弦公式，即可求解.【詳解】由題意，可得，，因為，，可得，，則.故選：C.9.若不共線的兩個向量，滿足，則下列結論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出圖形如圖所示，設，，由題設知三角形為等腰三角形，由可得，從而得出結論.【詳解】如圖，設，，則，由已知，有，所以三角形為等腰三角形.設C為的中點，則，且，所以，即，所以.故選：C10.向量集合，對于任意，，以及任意，都有，則稱集合是“凸集”，現有四個命題：①集合是“凸集”；②若為“凸集”，則集合也是“凸集”；③若，都是“凸集”，則也是“凸集”；④若，都“凸集”，且交集非空，則也是“凸集”．其中，所有正確的命題的序號是（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】B【解析】【分析】根據題目中“凸集”的定義，結合集合的運算，證明命題的正確性；利用舉反例的方法，證明命題的錯誤，可得答案.【詳解】由題意得，若對于任意，線段上任意一點，都有，則集合是“凸集”，由此對結論逐一分析對于①，，若對于任意滿足，則，由函數的圖象知，對線段上任意一點，都有，即，故為“凸集”，①正確對于②，若為“凸集”，則對于任意，此時，其中，對于任意，，故為“凸集”，②正確對于③，可舉反例，若，，任取，，則對于任意任意，，所以集合是“凸集”，任取，，則對于任意任意，，所以集合是“凸集”，取，，但，所以不是“凸集”，故③錯誤，對于④，若都是“凸集”，則對于任意，任意，則，且，故，故也是“凸集”，④正確；故選：B.第II卷（非選擇題共100分）二，填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知向量，，若，則實數______．【答案】【解析】【分析】根據平面向量共線的坐標表示求解即可.【詳解】由，則，解得.故答案為：.12.已知，，則______．【答案】【解析】【分析】可先對兩邊平方，求出的值，再將展開并代入的值，最后結合的取值范圍確定的值.【詳解】將兩邊平方可得.則，.將因為，在這個區間內，，所以.可得.

故答案為：13.已知角為第二象限角，且，則______．【答案】【解析】【分析】先利用誘導公式求出，再利用三角函數同角關系求出的值，然后利用正切的二倍角公式可求得結果【詳解】因為，因為是第二象限角，所以，所以，所以，故答案為：.14.已知為所在平面內一點，滿足，且，，設為向量的夾角，則__________；__________．【答案】①.##②.【解析】【分析】由已知可知，兩邊同時平方可求，然后利用向量數量積公式即可求解；同理可求，即可求得.【詳解】，，，即，解得，.同理可得：，即，解得..故答案為：；.15.乾坤八卦由乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八個卦象組成，分別代表天、地、雷、風、水、火、山、澤八種自然現象．如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列命題：①；②；③在上的投影向量為；④若點為正八邊形邊上的一個動點，則的最大值為4．其中正確命題的序號是______．【答案】②③④【解析】【分析】建立平面直角坐標系，利用數量積的坐標運算判斷①，利用向量加法的坐標運算判斷②，利用投影向量公式判斷③，找到最大時的條件，合理作出圖形，將目標式的最大值轉化為求的最大值，最后結合二倍角公式求解最大值判斷④即可.【詳解】由題意，正八邊形每個邊所對的角都是，中心到各頂點的距離都是2，有，，如圖，以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標系，因，所以由正八邊形性質得，則，，，，，，下面，我們開始逐個分析題目中給定結論的正確性，對于①，易得，，則，故①錯誤，對于②，易得，，，則，，滿足，故②正確，對于③，易得，，由投影向量公式得在上的投影向量為，故③正確，對于④，易得，且設的夾角為，而，則，易得，故，如圖，延長交延長線于，連接，此時在上的投影為，當點在線段上時，此時在上的投影最大，易得是等腰直角三角形，，則，由勾股定理得，在直角三角形中，，在等腰三角形中，，則的最大值為，故④正確.故答案為：②③④三、解答題：本題共5小題，共75分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.在中，．（1）求的大小；（2）若，再從條件①、條件②中任選一個作為已知，求的值．條件①：的面積為；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將已知等式化為，由此可得；（2）若選①，利用三角形面積公式可直接構造方程求得；若選②，由同角三角函數關系可求得，利用正弦定理可得，根據余弦定理可構造方程求得.【小問1詳解】由得：，即，，.【小問2詳解】若選條件①，，；若選條件②，，，，由正弦定理得：，由余弦定理得：，解得：（舍）或，.17.如圖，在梯形中，，，，為線段的中點，記，．（1）用，表示向量；（2）求的值；（3）求與夾角的余弦值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用向量加減法的三角形法則，結合向量的線性運算得到結果即可.（2）由向量的數量積定義和向量模的求法求解即可.（3）由向量的數量積和向量的夾角公式計算即可.【小問1詳解】如圖，連接，因為為線段的中點，，所以，因為，所以，由向量的加法法則得，故，即成立.小問2詳解】由于，可得，又有，所以；，故.【小問3詳解】由向量的減法法則得，由于，可得，又有，得到，故，則，由上問得，故.18.已知函數．（1）求的單調遞減區間；（2）若時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據正弦函數的性質計算可得；（2）參變分離可得在上恒成立，求出，即可得解.【小問1詳解】因為．令，解得，所以的單調遞減區間為．【小問2詳解】當時，不等式恒成立，即不等式在上恒成立，因為，所以，所以，所以，所以，即實數的取值范圍為．19.已知向量，．（1）求與平行的單位向量的坐標；（2）設，，若存在，使得成立，求的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）先由坐標計算模長，再得到與其平行的單位向量即可；（2）由數量積的坐標運算化簡，轉化為方程有解問題，構造函數，利用二次函數的對稱軸的取值范圍和單調性以及判別式討論即可.【小問1詳解】由題意可得，所以與平行的單位向量為或，即或.【小問2詳解】因為，，所以，，，，.問題轉化為關于t的二次方程在內有解.令，①當，即時，在內為增函數，，方程在內無解.②當，即時，由，解得或.③當，即時，在內為減函數，由得.解得.綜上，實數k的取值范圍為.20.如圖，已知是邊長為2的正三角形．如圖，、是邊的兩個四等分點．（1）求的值；（2