方向導數與梯度

討論函數在一點P沿某一方向的變化率問題．一、方向導數的定義（如圖）引射線內有定義，自點的某一鄰域設函數在點lPU(P)yxPyxfz),(),(=).(),(,pUPlyyxxPlx?￠D+D+￠上的另一點且為并設為的轉角軸正向到射線設j當沿著趨于時，是否存在？,rzD考慮記為稱這極限為函數在點P沿方向l的方向導數．時，如果此比的極限存在，則趨于沿著當之比值，兩點間的距離與函數的增量定義PlPyxPPyxfyyxxf￠D+D=￠-D+D+22)()(),(),(r依定義，函數),(yxf在點P沿著x軸正向}0,1{1=ery軸正向}1,0{2=er的方向導數分別為yxff,；沿著x軸負向、y軸負向的方向導數是yxff--,.證明由于函數可微，則增量可表示為兩邊同除以得到定理如果函數),(yxfz=在點),(yxP是可微分的，那末函數在該點沿任意方向L的方向導數都存在，且有

jjsincosyfxflf??+??=??，

其中j為x軸到方向L的轉角．故有方向導數解例1求函數yxez2=在點)0,1(P處沿從點

)0,1(P到點)1,2(-Q的方向的方向導數.這里方向lr即為}1,1{-=PQ,故x軸到方向lr的轉角4p-=j.所求方向導數由方向導數的計算公式知例2

求函數zxyzxyyxf++=),(在點（1,1

,

2

）沿方向lr的方向導數.其中的方向角分別為

00060,45,60

解

與l同方向的單位向量

)60cos,45cos,60(cos=000le

推廣可得三元函數方向導數的定義對于三元函數),,(zyxfu=，它在空間一點),,(zyxP沿著方向L的方向導數，可定義為

（

其中222)()()(zyxD+D+D=r）同理：當函數在此點可微時，那末函數在該點沿任意方向L的方向導數都存在，且有

解令故方向余弦為例3設是曲面nr632222=++zyx在點)1,1,1(P處的指向外側的法向量，求函數2122)86(1yxzu+=在此處沿方向nr的方向導數.故二、梯度的概念函數在點P沿哪一方向增加的速度最快?問題:定義

設函數),(yxfz=在平面區域D內具有一階連續偏導數，則對于每一點DyxP?),(，都可定出一個向量jyfixfrr??+??，這向量稱為函數),(yxfz=在點),(yxP的梯度，記為

=),(yxgradfjyfixfrr??+??.結論

函數在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向導數的方向一致而它的模為,方向導數的最大值．梯度的模為

22|),(|÷???è???+÷???è???=yfxfyxgradf.x軸到梯度的轉角的正切為xfyf????=qtan．當xf??不為零時，在幾何上表示一個曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等高線梯度為等高線上的法向量等高線的畫法例如,梯度與等高線的關系：

類似于二元函數，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向導數的方向一致，其模為方向導數的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數

三元函數),,(zyxfu=在空間區域G內具有一階連續偏導數，則對于每一點GzyxP?),,(，都可定義一個向量(梯度)類似地,設曲面czyxf=),,(為函數),,(zyxfu=的等量面，此函數在點),,(zyxP的梯度的方向與過點P的等量面czyxf=),,(在這點的法線的一個方向相同，且從數值較低的等量面指向數值較高的等量面，而梯度的模等于函數在這個法線方向的方