專題24銳角三角函數及其應用（56題）一、單選題1．（2024·云南·中考真題）在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上兩點，且，連接與相交于點，連接．若，，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川雅安·中考真題）在數學課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為，再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角為，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）（

）A．米 B．25米 C．米 D．50米4．（2024·四川資陽·中考真題）第屆國際數學教育大會（）會標如圖所示，會標中心的圖案來源于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，如圖所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（，，，）和一個小正方形拼成的大正方形．若，則（

）A． B． C． D．5．（2024·四川達州·中考真題）如圖，由8個全等的菱形組成的網格中，每個小菱形的邊長均為2，，其中點，，都在格點上，則的值為（

）A．2 B． C． D．36．（2024·四川南充·中考真題）如圖，在中，，平分交于點D，點E為邊上一點，則線段長度的最小值為（

）A． B． C．2 D．37．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在菱形中，，是的中點，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題8．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，矩形的對角線與交于點，于點，延長與交于點．若，，則點到的距離為．9．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片沿對角線折疊，使點C落在點E處，與交于點F，若，，則的值是．10．（2024·四川資陽·中考真題）在中，，．若是銳角三角形，則邊長的取值范圍是．11．（2024·福建·中考真題）無動力帆船是借助風力前行的．下圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風對帆的作用力為．根據物理知識，可以分解為兩個力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據此，建立數學模型：，則．（單位：）（參考數據：）12．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹，當太陽光與水平面的夾角為時，大樹在斜坡上的影子長為10米，則大樹的高為米．13．（2024·湖南·中考真題）如圖，左圖為《天工開物》記載的用于春（chōng）搗谷物的工具——“碓（duì）”的結構簡圖，右圖為其平面示意圖，已知于點B，與水平線l相交于點O，．若分米，分米．，則點C到水平線l的距離為分米（結果用含根號的式子表示）．14．（2024·江西·中考真題）將圖所示的七巧板，拼成圖所示的四邊形，連接，則．15．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標系中，等邊三角形ABC的頂點的坐標為，點均在軸上．將繞頂點逆時針旋轉得到，則點的坐標為．三、解答題16．（2024·黑龍江大慶·中考真題）求值：．17．（2024·湖北·中考真題）小明為了測量樹的高度，經過實地測量，得到兩個解決方案：方案一：如圖（1），測得地與樹相距10米，眼睛處觀測樹的頂端的仰角為：方案二：如圖（2），測得地與樹相距10米，在處放一面鏡子，后退2米到達點，眼睛在鏡子中恰好看到樹的頂端．已知小明身高1.6米，試選擇一個方案求出樹的高度．（結果保留整數，）18．（2024·山東泰安·中考真題）（1）計算：；（2）化簡：．19．（2024·遼寧·中考真題）如圖1，在水平地面上，一輛小車用一根繞過定滑輪的繩子將物體豎直向上提起．起始位置示意圖如圖2，此時測得點到所在直線的距離，；停止位置示意圖如圖3，此時測得（點，，在同一直線上，且直線與平面平行，圖3中所有點在同一平面內．定滑輪半徑忽略不計，運動過程中繩子總長不變．（參考數據：，，，）(1)求的長；(2)求物體上升的高度（結果精確到）．20．（2024·四川內江·中考真題）（1）計算：（2）化簡：21．（2024·湖南·中考真題）計算：．22．（2024·四川廣安·中考真題）計算：．23．（2024·江蘇鹽城·中考真題）計算：24．（2024·四川遂寧·中考真題）小明的書桌上有一個型臺燈，燈柱高，他發現當燈帶與水平線夾角為時（圖1），燈帶的直射寬為，但此時燈的直射寬度不夠，當他把燈帶調整到與水平線夾角為時（圖2），直射寬度剛好合適，求此時臺燈最高點到桌面的距離．（結果保留1位小數）（）25．（2024·四川瀘州·中考真題）計算：．26．（2024·四川自貢·中考真題）計算：27．（2024·重慶·中考真題）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從港出發，分別向，兩港運送物資，最后到達港正東方向的港裝運新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達港，再沿北偏東方向航行一定距離到達港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達港，再沿南偏東方向航行一定距離到達港．（參考數據：，，）(1)求，兩港之間的距離（結果保留小數點后一位）；(2)若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠、兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達港？請通過計算說明．28．（2024·重慶·中考真題）如圖，，，，分別是某公園四個景點，在的正東方向，在的正北方向，且在的北偏西方向，在的北偏東方向，且在的北偏西方向，千米．（參考數據：，，）

(1)求的長度（結果精確到千米）；(2)甲、乙兩人從景點出發去景點，甲選擇的路線為：，乙選擇的路線為：．請計算說明誰選擇的路線較近？29．（2024·四川遂寧·中考真題）計算：．30．（2024·四川巴中·中考真題）某興趣小組開展了測量電線塔高度的實踐活動．如圖所示，斜坡的坡度，，在處測得電線塔頂部的仰角為，在處測得電線塔頂部的仰角為．(1)求點離水平地面的高度．(2)求電線塔的高度（結果保留根號）．31．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）（）計算：；（）已知，求代數式的值．32．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路上由北向南行駛，在處測得橋頭在南偏東方向上，繼續行駛米后到達處，測得橋頭在南偏東方向上，橋頭在南偏東方向上，求大橋的長度．（結果精確到米，參考數據：）33．（2024·四川巴中·中考真題）（1）計算：（2）求不等式組的解集．（3）先化簡，再求值：，其中34．（2024·內蒙古包頭·中考真題）如圖，學校數學興趣小組開展“實地測量教學樓的高度”的實踐活動．教學樓周圍是開闊平整的地面，可供使用的測量工具有皮尺、測角儀（皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離；測角儀的功能是測量角的大小）．(1)請你設計測量教學樓的高度的方案，方案包括畫出測量平面圖，把應測數據標記在所畫的圖形上（測出的距離用等表示，測出的角用等表示），并對設計進行說明；(2)根據你測量的數據，計算教學樓的高度（用字母表示）．35．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東方向，且A，B相距海里．一漁船在C處捕魚，測得C處在燈塔A的北偏東方向、燈塔B的正北方向．

(1)求B，C兩處的距離；(2)該漁船從C處沿北偏東方向航行一段時間后，突發故障滯留于D處，并發出求救信號．此時，在燈塔B處的漁政船測得D處在北偏東方向，便立即以18海里/小時的速度沿方向航行至D處救援，求漁政船的航行時間．（注：點A，B，C，D在同一水平面內；參考數據：，）36．（2024·云南·中考真題）計算：．37．（2024·甘肅蘭州·中考真題）單擺是一種能夠產生往復擺動的裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進行與單擺相關的實驗探究，并撰寫實驗報告如下．實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機等實驗說明如圖1，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復運動．（擺線的長度變化忽略不計）如圖2，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處，，，；當擺球運動至點C時，，．（點O，A，B，C，D，E在同一平面內）實驗圖示解決問題：根據以上信息，求的長．（結果精確到）參考數據：，．38．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，對角線，相交于點O，．(1)求證：；(2)點E在邊上，滿足．若，，求的長及的值．39．（2024·陜西·中考真題）如圖所示，一座小山頂的水平觀景臺的海拔高度為，小明想利用這個觀景臺測量對面山頂C點處的海拔高度，他在該觀景臺上選定了一點A，在點A處測得C點的仰角，再在上選一點B，在點B處測得C點的仰角，．求山頂C點處的海拔高度．（小明身高忽略不計，參考數據：，，）

40．（2024·江蘇揚州·中考真題）（1）計算：；（2）化簡：．41．（2024·四川眉山·中考真題）計算：．42．（2024·江蘇蘇州·中考真題）圖①是某種可調節支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿，活動桿可繞點A旋轉，為液壓可伸縮支撐桿，已知，，．(1)如圖②，當活動桿處于水平狀態時，求可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）；(2)如圖③，當活動桿繞點A由水平狀態按逆時針方向旋轉角度，且（為銳角），求此時可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）．43．（2024·山東威海·中考真題）某校九年級學生開展利用三角函數解決實際問題的綜合與實踐活動，活動之一是測量某護堤石壩與地平面的傾斜角．測量報告如下表（尚不完整）課題測量某護堤石壩與地平面的傾斜角成員組長：×××

組員：×××，×××，×××測量工具竹竿，米尺測量示意圖說明：是一根筆直的竹竿．點是竹竿上一點．線段的長度是點到地面的距離．是要測量的傾斜角．測量數據…………(1)設，，，，，，，，請根據表中的測量示意圖，從以上線段中選出你認為需要測量的數據，把表示數據的小寫字母填寫在“測量數據”一欄．(2)根據（）中選擇的數據，寫出求的一種三角函數值的推導過程．(3)假設，，，根據（）中的推導結果，利用計算器求出的度數，你選擇的按鍵順序為________．44．（2024·山東濰坊·中考真題）在光伏發電系統運行時，太陽能板（如圖1）與水平地面的夾角會對太陽輻射的接收產生直接影響．某地區工作人員對日平均太陽輻射量（單位：）和太陽能板與水平地面的夾角進行統計，繪制了如圖2所示的散點圖，已知該散點圖可用二次函數刻畫．(1)求關于的函數表達式；(2)該地區太陽能板與水平地面的夾角為多少度時，日平均太陽輻射量最大？(3)圖3是該地區太陽能板安裝后的示意圖（此時，太陽能板與水平地面的夾角使得日平均太陽輻射量最大），為太陽能板與水平地面的夾角，為支撐桿．已知，是的中點，．在延長線上選取一點，在兩點間選取一點，測得，在兩點處分別用測角儀測得太陽能板頂端的仰角為，，該測角儀支架的高為1m．求支撐桿的長．（精確到m，參考數據：，）45．（2024·四川涼山·中考真題）計算：．46．（2024·四川涼山·中考真題）為建設全域旅游西昌，加快旅游產業發展．年月日位于西昌主城區東部的歷史風貌核心區唐園正式開園，坐落于唐園內的懷遠塔乃唐園至高點，為七層密檐式八角磚混結構閣樓式塔樓，建筑面積為平方米，塔頂金碧輝煌，為“火珠垂蓮”窣（）堵坡造型．某校為了讓學生進一步了解懷遠塔，組織九年級（）班學生利用綜合實踐課測量懷遠塔的高度．小江同學站在如圖所示的懷遠塔前的平地上點處，測得塔頂的仰角為，眼睛距離地面，向塔前行，到達點處，測得塔頂的仰角為，求塔高．（參考數據：，結果精確到）

47．（2024·江西·中考真題）圖1是世界第一“大碗”——景德鎮昌南里文化藝術中心主體建筑，其造型靈感來自于宋代湖田窯影青斗笠碗，寓意“萬瓷之母”，如圖2，“大碗”的主視圖由“大碗”主體和矩形碗底組成，已知，，是太陽光線，，，點M，E，F，N在同一條直線上，經測量，，，．（結果精確到）(1)求“大碗”的口徑的長；(2)求“大碗”的高度的長．（參考數據：，，）48．（2024·江蘇連云港·中考真題）圖1是古代數學家楊輝在《詳解九章算法》中對“邑的計算”的相關研究．數學興趣小組也類比進行了如下探究：如圖2，正八邊形游樂城的邊長為，南門設立在邊的正中央，游樂城南側有一條東西走向的道路，在上（門寬及門與道路間距離忽略不計），東側有一條南北走向的道路，C處有一座雕塑．在處測得雕塑在北偏東方向上，在處測得雕塑在北偏東方向上．(1)__________，__________；(2)求點到道路的距離；(3)若該小組成員小李出南門O后沿道路向東行走，求她離處不超過多少千米，才能確保觀察雕塑不會受到游樂城的影響？（結果精確到，參考數據：，，，，）49．（2024·山東煙臺·中考真題）根據收集的素材，探索完成任務．探究太陽能熱水器的安裝素材一太陽能熱水器是利用綠色能源造福人類的一項發明．某品牌熱水器主要部件太陽能板需要安裝在每天都可以有太陽光照射到的地方，才能保證使用效果，否則不予安裝．素材二某市位于北半球，太陽光線與水平線的夾角為α，冬至日時，；夏至日時，．，，，，，，，，素材三如圖，該市甲樓位于乙樓正南方向，兩樓東西兩側都無法獲得太陽光照射．現準備在乙樓南面墻上安裝該品牌太陽能板．已知兩樓間距為54米，甲樓共11層，乙樓共15層，一層從地面起，每層樓高皆為3.3米，為某時刻的太陽光線．問題解決任務一確定使用數據要判斷乙樓哪些樓層不能安裝該品牌太陽能板，應選擇________日（填冬至或夏至）時，α為________（填，，，中的一個）進行計算．任務二探究安裝范圍利用任務一中選擇的數據進行計算，確定乙樓中哪些樓層不能安裝該品牌太陽能熱水器．50．（2024·四川成都·中考真題）中國古代運用“土圭之法”判別四季．夏至時日影最短，冬至時日影最長，春分和秋分時日影長度等于夏至和冬至日影長度的平均數．某地學生運用此法進行實踐探索，如圖，在示意圖中，產生日影的桿子垂直于地面，長8尺．在夏至時，桿子在太陽光線照射下產生的日影為；在冬至時，桿子在太陽光線照射下產生的日影為．已知，，求春分和秋分時日影長度．（結果精確到0.1尺；參考數據：，，，，，）

51．（2024·四川廣安·中考真題）風電項目對于調整能源結構和轉變經濟發展方式具有重要意義．某電力部門在某地安裝了一批風力發電機，如圖（1）某校實踐活動小組對其中一架風力發電機的塔桿高度進行了測量，圖（2）為測量示意圖（點，，，均在同一平面內，）．已知斜坡長為20米，斜坡的坡角為，在斜坡頂部處測得風力發電機塔桿頂端點的仰角為，坡底與塔桿底的距離米，求該風力發電機塔桿的高度．（結果精確到個位；參考數據：，，，）

52．（2024·四川達州·中考真題）“三匯彩婷會”是達州市渠縣三匯鎮獨有的傳統民俗文化活動、起源于漢代、融數學，力學，鍛造，綁扎，運載于一體，如圖1，在一次展演活動中，某數學綜合與實踐小組將彩婷抽象成如圖2的示意圖，是彩婷的中軸、甲同學站在處．借助測角儀觀察，發現中軸上的點的仰角是，他與彩婷中軸的距離米．乙同學在觀測點處借助無人機技術進行測量，測得平行于水平線，中軸上的點的仰角，點、之間的距離是米，已知彩婷的中軸米，甲同學的眼睛到地面的距離米，請根