湖州市南太湖雙語(yǔ)學(xué)校2024-2025學(xué)年第二學(xué)期第一次月考高一數(shù)學(xué)試卷班級(jí)_____姓名_____考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分考生須知：1.本卷共4頁(yè)，答題前在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字；2.所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效；考試結(jié)束后，只需上交答題紙.第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知平面向量，，若，則k＝（）A. B.6 C. D.－6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，解?故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得到答案.【詳解】由題意得在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則其位于第二象限.故選：B.3.若向量，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算向量的夾角余弦值，可判斷A;計(jì)算向量的數(shù)量積，可判斷B;根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，可判斷C;計(jì)算的模，判斷D.【詳解】向量,故，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；由可得，，故C錯(cuò)誤；，故，故D正確，故選：D4.在中，點(diǎn)為BC邊上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)P作PD∥AB，交AC于點(diǎn)D，作交AB于點(diǎn)，然后結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理，即可得到結(jié)果．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD∥AB，交AC于點(diǎn)D，作交AB于點(diǎn)E，∵，∴，∴，∴，∴，∴故選：C．5.已知，為不共線的兩個(gè)單位向量，若與平行，則的值為（）A.2 B. C.-2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量共線定理求解.【詳解】因?yàn)榕c平行，所以存在實(shí)數(shù)使，所以，由，解得.故選：C.6.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的解為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題設(shè)得，即可求復(fù)數(shù)解.【詳解】由題設(shè).故選：C7.若中，，則此三角形的形狀是（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)和與差的正弦公式，即可判斷三角形的形狀.【詳解】中，，已知等式變形得，，即，整理得，即，或（不合題意，舍去）．，，則此三角形形狀為直角三角形．故選：A8.海洋藍(lán)洞是地球罕見(jiàn)的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑，兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)，，測(cè)得，，，，則，兩點(diǎn)的距離為（）A. B.80 C.160 D.【答案】D【解析】【分析】首先利用正弦定理求出的值，再利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖所示：在△中，，，，，由正弦定理，得，解得，在△中，，，，，則，在△中，由余弦定理，得，解得，即,兩點(diǎn)間的距離為，故選：．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，（是虛數(shù)單位），則以下命題正確的是（）A. B.的虛部為C. D.，是方程的兩個(gè)根【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求出，根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】由題意，.對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，的虛部為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，故C正確；對(duì)于D，將代入方程可得，，同理，將代入方程可得，，所以，，是方程的兩個(gè)根，故D正確；故選：ACD.10.已知是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列也是平面內(nèi)一個(gè)基底的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量是否共線即可結(jié)合選項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A，由于，故共線，不能成為基底，對(duì)于B，不共線，可以作為基底，對(duì)于C，由于，所以共線，故不可以作為基底，對(duì)于D，不共線，可以作為基底，故選：BD11.如圖，已知梯形中，，，點(diǎn)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.C. D.若為的外心，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)梯形的中位線即可判斷A；利用平面向量夾角的坐標(biāo)表示和幾何意義計(jì)算即可判斷BC；如圖，根據(jù)三角形全等的判斷方法證明，進(jìn)而證明、為正三角形，結(jié)合外心的定義即可判斷D.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，分別是的中點(diǎn)，則，所以，故A正確；B：連接，則為正三角形，得，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，則，所以，有，，所以，故B正確；C：由選項(xiàng)B知，，所以，所以，故C錯(cuò)誤；D：在上取，使得，連接，，則，所以，得，又，所以，即，則為正三角形，得，同理可得為正三角形，得，所以，即為的外心，所以，即，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答選項(xiàng)D的關(guān)鍵是在上取，利用三角形全等的判斷方法證明、為正三角形，得到即為所求.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及投影向量的計(jì)算方法，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由平面向量的夾角為，且，，可得，且，所以向量在方向上的投影向量為.故答案：.13.若的面積為，則邊長(zhǎng)AB的長(zhǎng)度等于______【答案】2【解析】【分析】由三角形面積公式求得，判斷為正三角形，從而可得結(jié)果.【詳解】，，所以，又因?yàn)?，，所以，為正三角形，，故答案?.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形面積公式的應(yīng)用，以及正三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)，且，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義設(shè)的代數(shù)式，利用復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算結(jié)合模長(zhǎng)計(jì)算可得到參數(shù)間的關(guān)系，再利用基本不等式可求得最值.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，即，所以，則，解得所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以，的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是下列數(shù)？（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).【答案】（1）或;（2）且；（3）.【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念分別列等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)時(shí)，，解得或；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)復(fù)數(shù)虛數(shù)時(shí)，，解得且；小問(wèn)3詳解】當(dāng)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)時(shí)，則，解得.16.已知，，且與的夾角.（1）求；（2）若與平行，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用向量模長(zhǎng)計(jì)算公式，結(jié)合向量數(shù)量積計(jì)算公式，計(jì)算即可；（2）利用向量共線定理求解.【小問(wèn)1詳解】由題意，，所以【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榕c平行，所以存在實(shí)數(shù)使得，則有，解得所以，17.已知復(fù)數(shù)z與均為純虛數(shù)．（1）求z；（2）若是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，化簡(jiǎn)，根據(jù)其純虛數(shù)可得，即可求得答案；（2）利用（1）的結(jié)論可得為方程的一個(gè)根，代入化簡(jiǎn)結(jié)合復(fù)數(shù)相等，可列出方程組，求得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則由題意得，由為純虛數(shù)，得解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知為方程的一個(gè)根，∴，整理得，∴，得.18.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知（1）求；（2）若點(diǎn)在上，且滿足，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等變換，結(jié)合三角形內(nèi)角取值范圍、特殊角的三角函數(shù)值求解即可；（2）利用向量的線性運(yùn)算、余弦定理、基本不等式、三角形面積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】，由正弦定理得，，，，，，，，.【小問(wèn)2詳解】，，，又，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的面積，即面積的最大值為.19.如圖，在中，已知，BC邊上中點(diǎn)為M，AC邊上的中點(diǎn)為N，AM，BN相交于點(diǎn)P．（1）求；（2）求的余弦值；（3）過(guò)點(diǎn)P作直線交邊AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，求該直線將分成的上下兩部分圖形的面積之比的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角的坐標(biāo)運(yùn)算求解；（3）設(shè)出線段的比例關(guān)系，用向量共線的條件轉(zhuǎn)化，消去變量求范圍即可.【小問(wèn)1詳解】在中，，由余弦定理得，解得，（負(fù)值舍去）故；【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，得，設(shè)，由兩點(diǎn)距離公式得，，解得，（負(fù)