第一章章末總結(jié)

知識(shí)再現(xiàn)?]

.____________,l四種命題及其真假判斷

L命題及其關(guān)系科------'?

1------------1」四種命題間的關(guān)系及應(yīng)用|

,__________________,「|充分條件、必要條件、充要條件的定叉]

一充分條件與必要不件H--.....-....--------------------1

1--------------------'1條件充要性的碉

I常用邏輯用語I-

E語時(shí)浮.或且‘非”的含義?,

1-------------------1I—|命題"p或g”"且g”"-p”的真假判斷及應(yīng)再]

—I全稱量詞與存在量詞丁號(hào)”‘道殳其真假~號(hào)—量詞的命題的否圉

1-------------------1L-I特稱命題及其真假判斷|」1-----------------------1

重點(diǎn)解讀?]

知識(shí)點(diǎn)一四種命題間的關(guān)系

命題是能夠判斷真假、用文字或符號(hào)表述的語句.一個(gè)命題與它的逆命題、否命題之間

的關(guān)系是不確定的，與它的逆否命題的真假性相同，兩個(gè)命題是等價(jià)的；原命題的逆命題和

否命題也是互為逆否命題.

【例1】判斷下列命題的真假.

(1)若xGAUB,則xdg的逆命題與逆否命題；

(2)若0<x<5,則|無一2|<3的否命題與逆否命題；

(3)設(shè)“、〃為非零向量，如果則a協(xié)=0的逆命題和否命題.

知識(shí)點(diǎn)二充要條件及其應(yīng)用

充分條件和必要條件的判定是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，綜合考察數(shù)學(xué)各部分知識(shí)，是高考

的熱點(diǎn)，判斷方法有以下幾種：

(1)定義法

(2)傳遞法：對(duì)于較復(fù)雜的關(guān)系，常用推出符號(hào)進(jìn)行傳遞，根據(jù)這些符號(hào)所組成的圖示

就可以得出結(jié)論.互為逆否的兩個(gè)命題具有等價(jià)性，運(yùn)用這一原理，可將不易直接判斷的命

題化為其逆否命題加以判斷.

(3)等價(jià)命題法：對(duì)于含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的充分條件、必要條件的判斷，往往利用

原命題與其逆否命題是等價(jià)命題的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

(4)集合法：與邏輯有關(guān)的許多數(shù)學(xué)問題可以用范圍解兩個(gè)命題之間的關(guān)系，這時(shí)如果

能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想(如數(shù)軸或Venn圖等)就能更加直觀、形象地判斷出它們之間的關(guān)系.

【例2】若p：-2<a<0,0<ixl；q：關(guān)于x的方程A2+av+b=0有兩個(gè)小于1的正根，

則夕是q的什么條件？

【例3】設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足f-4ax+3a2c0,a<0.

q；實(shí)數(shù)x滿足f—x-6W0或f+2r—8>0.

且是梆q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

知識(shí)點(diǎn)三邏輯聯(lián)結(jié)詞的應(yīng)用

對(duì)于含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題，根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，利用真值表判定真假.

利用含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假，判定字母的取值范圍是各類考試的熱點(diǎn)之一.

【例4】判斷下列命題的真假.

(1)對(duì)于任意x,若x—3=0,則x—3W0；

(2)若x=3或x=5,則(x-3)(x-6)=0.

【例5】設(shè)命題p：函數(shù)—x+1”)的定義域?yàn)镽；命題g：不等式

+以對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立.如果命題p或g為真命題，命題p且q為假命題，求實(shí)數(shù)a的

取值范圍.

知識(shí)點(diǎn)四全稱命題與特稱命題

全稱命題與特稱命題的判斷以及含一個(gè)量詞的命題的否定是高考的一個(gè)重點(diǎn)，多以客觀

題出現(xiàn).

全稱命題要對(duì)一個(gè)范圍內(nèi)的所有對(duì)象成立，要否定一個(gè)全稱命題，只要找到一個(gè)反例就

行.特稱命題只要在給定范圍內(nèi)找到一個(gè)滿足條件的對(duì)象即可.

全稱命題的否定是特稱命題，應(yīng)含存在量詞.

特稱命題的否定是全稱命題，應(yīng)含全稱量詞.

【例6】寫出下列命題的否定，并判斷其真假.

(1)3=2；

(2)5>4；

(3)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,x>0；

(4)有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù).

【例7】已知函數(shù)火x)=f—2x+5.

(1)是否存在實(shí)數(shù)處使不等式m+_/(x)>0對(duì)于任意xCR恒成立，并說明理由.

(2)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)xo，使不等式加一/Uo)>0成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

章末總結(jié)

重點(diǎn)解讀

【例1】解(1)若XWAU8,則是假命題，故其逆否命題為假，逆命題為若

則xEAUB,為真命題.

(2)V0<r<5,：.-2<X~2<39

???0—

原命題為真，故其逆否命題為真.

否命題：若xWO或則以一2|23.

例如當(dāng)冗=—今~2~2=2<3,

故否命題為假.

(3)原命題：a,方為非零向量，a_Z.>=a協(xié)=0為真命題.

逆命題：若〃，方為非零向量，。,力=O=a_Zb為真命題.

否命題：設(shè)。，萬為非零向量，。不垂直力=。力#0也為真.

I例2]解若〃=—1,b=y則』=/—4。<0,關(guān)于x的方程/+以+8=0無實(shí)根,

故pNd若關(guān)于x的方程/+奴+〃=0有兩個(gè)小于1的正根，不妨設(shè)這兩個(gè)根為為、x2,

且O<X1WX2<1,

則Xl+x2=-。，X\X2=b.

于是0<—a<2,0<b<\,

即—2<〃<0,0<。<1,故q=p.

所以，〃是q的必要不充*條件.

I例3]解設(shè)4〃/+3層<0,a<0]={x\3a<x<ai。<0}.

B={x|q}={xlx2—x-6^0或f+2x—8>0}

={x|x<—4或x》一2}.

???^p是^夕的必要不充分條件，

:.q是p的必要不充分條件.

Z—413心一2

/.AB,/.或,

[a<0la<0

2

解得一或aW—4.

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為(一8,-4ju[-|,0).

【例4】解(l)：x-3=0,有X-3W0,...命題為真;

(2)V當(dāng)x=5時(shí)，(犬一3)(犬一6)￥0,

「?命題為假.

【例5】解p：由以2—》十七4>0恒成立得

a>0

<a,/.a>2.

J=l—4XizXy^<0

q：由，2x+lvl+or對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立,

令t=yj2jc~]r1>1,貝!Ix=-2-，

產(chǎn)一1

/./<1+a--3-,

???2?—1)<〃(?—1)對(duì)一切t>\均成立.

??2.

?:p或q為真,〃且夕為假，與q一真一假.

若p真q假，。>2且。<1不存定.

若p假9真，則且。21,lWaW2.

故〃的取值范圍為1W〃W2.

【例6】解（1）3^2,真命題；

（2）5^4,假命題；

（3）存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,xWO,真命題；

（4）所有質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)，假命題.

【例71解（1）不等式m+j（x）>0可化為〃?>—/U）,

即機(jī)>—f+Zr-5=—（x—I/—4.

要使z7t>—（%—I）2—4對(duì)于任意恒成立，

只需加>一4即可.

故存在實(shí)數(shù)加，使不等式機(jī)+兀力>0對(duì)于任意x￡R恒成立，此時(shí)，只需機(jī)>—4.

（2）不等式團(tuán)一兀粕）>0可化為加次刻），若存在一個(gè)實(shí)數(shù)沏，使不等式加嘰ro）成立,

只需刁（X）min.

又fix）=（X—1產(chǎn)+4,/-Xx）min=4,心4.

所以，所求實(shí)數(shù)R的取值范圍是（4,+8）.

第一章章末檢測(cè)（A）

（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

1.下列語句中是命題的是（）

A.梯形是四邊形B.作直線AB

C.x是整數(shù)D.今天會(huì)下雪嗎？

2.設(shè)原命題：若a+b22,則a,6中至少有一個(gè)不小于1,則原命題與其逆命題的真

假情況是（）

A.原命題真，逆命題假

B.原命題假，逆命題真

C.原命題與逆命題均為真命題

D.原命題與逆命題均為假命題

3.給出命題：若函數(shù)）?=Ax）是幕函數(shù)，則函數(shù)y=/（x）的圖象不過第四象限.在它的逆

命題、否命題、逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.2C.ID.0

4.設(shè)集合M={x|x>2},P={x|x<3},那么“xGM,或是“xGMCP''的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.有下列命題：①2004年10月1日是國(guó)慶節(jié)，又是中秋節(jié)；②10的倍數(shù)一定是5的

倍數(shù)；③梯形不是矩形；④方程f=l的解x=±l.其中使用邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6.在△A8C中，“A>30°”是“sinA>g”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.若p：a￡R.|?|<1,<7：x的二次方程『+（“+l）x+a—2=0的一個(gè)根大于零，另一

根小于零，則〃是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知條件p：|x+l|>2,條件q：5x—6>W,則㈱/，是^“的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

9.己知實(shí)數(shù)命題p：函數(shù)yMlog^f+Zx+a）的定義域?yàn)镽,命題q：\x\<\^x<a

的充分不必要條件，則（）

A."p或?yàn)檎婷}

B."p且/'為假命題

C.且為真命題

D.或解4”為真命題

10.“。和b都不是偶數(shù)”的否定形式是（）

A.“和b至少有一個(gè)是偶數(shù)

B.〃和匕至多有一個(gè)是偶數(shù)

C.〃是偶數(shù)，人不是偶數(shù)

D.“和b都是偶數(shù)

11.不等式（〃-2）*2+2（“一2）x—4<0對(duì)于xCR恒成立，那么a的取值范圍是（）

A.（-2,2）B.（-2,2]

C.（—8,2]D.（―°°,—2）

J2

12.已知命題p：存在xCR,使tanx='，命題q：『一3x+2<0的解集是{x[l<x<2},

下列結(jié)論：①命題"P且是真命題；②命題“p且㈱/是假命題：③命題或

是真命題；④命題“㈱p或是假命題，其中正確的是（）

A.②③B.①②④

C.①③④D.①②③④

題號(hào)123456789101112

答案

二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）

11.已知a、￡是不同的兩個(gè)平面，直線aUa,直線命題p：a與匕無公共點(diǎn);

命題4：a〃.，則p是q的條件.

12.命題“以2—2ax—3>0不成立”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

13.若小“平行四邊形一定是菱形”，則“非p”為

14.下列四個(gè)命題中

①“％=1”是“函數(shù)y=cos2自一sin2日的最小正周期為兀”的充要條件：

②“。=3”是“直線ar+2y+3a=0與直線版+3—1））=。-7相互垂直”的充要條件;

③函數(shù)y=；的最小值為2.

巾~+3

其中是假命題的為..（將你認(rèn)為是假命題的序號(hào)都填上）

三、解答題（本大題共6小題，共70分）

17.（10分）將下列命題改寫成“若p,則的形式，并判斷其真假.

（1）正方形是矩形又是菱形；

（2）同弧所對(duì)的圓周角不相等；

（3）方程/-x+1=0有兩個(gè)實(shí)根.

18.（12分）判斷命題“已知a、x為實(shí)數(shù)，如果關(guān)于x的不等式*+（箕+1沈+/+2?0

的解集非空，則的逆否命題的真假.

x—1

19.（12分）已知p：1—W2；<7：x2—2x+1（〃?>0）,若是的必要

非充分條件，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

20.（12分）已知方程1+（2%—l）x+F=O,求使方程有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根的充要條件.

21.（12分）p：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有加+ax+1>0恒成立；q：關(guān)于x的方程x2—x+a=O

有實(shí)數(shù)根；如果〃與q中有且僅有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

22.(12分)已知下列三個(gè)方程：x+4^—4a+3=0,x+(5―1)^+5=0,x+2ax~

2d=0至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

單元檢測(cè)卷答案解析單元檢測(cè)卷答案解析

第一章常用邏輯用語(A)

答案

1.A

2.A[因?yàn)樵}"若a+b>2,則a,b中至少有一個(gè)不小于1"的逆否命題為，"若a,

b都小于1,則。+b<2"顯然為真，所以原命題為真；原命題"若。+b22,則。，b中至少有

一個(gè)不小于1”的逆命題為："若a,b中至少有一個(gè)不小于1,則。+b22”,是假命題，反例

為。=1.2,6=0.3.]

3.C

4.A["xGM,或xep"不能推出"xGMnP",反之可以.]

5.C[①中有"且"；②中沒有；③中有“非"；④中有"或]

6.B[當(dāng)月=170。時(shí)，$皿170。=$皿10。弓，所以‘'過不去”；但是在△A8C中，sin舄

=30°<4<150°=4>30°,即“回得來”.]

7.A[Q￡R,|a|<l=>(7—2<0,充分成立，反之不成立.]

8.A|^/?：|x+l|W2,-糠q：5工一64f,

即A2—5x+620,解得x23,或x<2.

=㈱小但故是的充分不必要條件.]

9.A[命題p：當(dāng)時(shí)，4=4—4〃<0,即f+Zx+oO恒成立，故函數(shù)》二匕房。2

+21+〃)的定義域?yàn)镽,即命題〃是真命題；命題/當(dāng)。>1時(shí)，由因<1,得一14<1,即因<1

是的充分不必要條件，故命題q也是真命題.所以命題“p或/是真命題.]

10.A[對(duì)"。和b都不是偶數(shù)〃的否定為〃。和b不都不是偶數(shù)"，等價(jià)于〃。和b中至少

有一個(gè)是偶數(shù)]

11.B[注意二次項(xiàng)系數(shù)為零也可以.]

12.D「「p、q都是真命題，，①②③④均正確.]

13.必要不充分

解析q=p,pKq.

14.[-3,0]

解析加一2〃上一3<0恒成立，

當(dāng)〃=0時(shí)，一3W0成立；

；=4/+12aW0得-3=<0;

當(dāng)a#0時(shí)，由

—3WaW0.

15.平行四邊形不一定是菱形；或至少有一個(gè)平行四邊形不是菱形

解析本題考查復(fù)合命題“非夕”的形式，p-.“平行四邊形一定是菱形”是假命題，

這里“一定是”的否定是用“一定不是”還是“不一定是”？若為“平行四邊形一定不是

菱形”仍為假命題，與真值表相違，故原命題的“非p”為“平行四邊形不一定是菱形”，

是一個(gè)真命題.

第二種說法是命題是全稱命題的簡(jiǎn)寫形式，應(yīng)用規(guī)則變化即可.

16.??③

解析①“&=1"可以推出"函數(shù))，=cos2履一sin?日的最小正周期為兀”，但是函數(shù)y

=cos2fcv—sin2fcr的最小正周期為兀，

2冗

即y=cosT=|2川一兀，Z=±l.

②“。=3”不能推出“直線or+2y+34=0與直線版+(〃-1?=。-7相互垂直”，反

2

之垂直推出

f+4/+3+1])—1.I—I—

③函數(shù)y=許=干丁="+后T令0戶欄小’

J4^3

),min—斗

H3,

17.解(1)若一個(gè)四邊形是正方形，則它既是矩形，又是菱形，為真命題.

(2)若兩個(gè)角為同弧所對(duì)的圓周角，則它們不相等，為假命題.

(3)如果一個(gè)方程為x+l=O,則這個(gè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，為假命題.

18.解方法一(直接法)

逆否命題：已知a、x為實(shí)數(shù)，如果”<1,則關(guān)于x的不等式f+Qa+Dx+qZ+ZWO的

解集為空集.

判斷如下：

二次函數(shù)+(2a+l)x+/+2圖象的開口向上，判別式/=(2〃+1)2—4(4+2)

=4。—7.

\\z<l,：.4a~7<0.

即二次函數(shù)y=』+(2〃+\)x+a2+2與x軸無交點(diǎn)，

???關(guān)于x的不等式/+(2〃+1求+。2+24()的解集為空集，故逆否命題為真.

方法二(先判斷原命題的真假)

尢為實(shí)數(shù)，且關(guān)于x的不等式f+Qa+Dx+/+ZWO的解集非空，

?,"=(2。+1)2—4(/+2)20,

7

即4〃-720,解得02不

?.zeli,???原命題為真.

又??,原命題與其逆否命題等價(jià)，，逆否命題為真.

方法三(利用集合的包含關(guān)系求解)

命題P：關(guān)于x的不等式『+(2〃+1)工+〃2+240有非空解集.

命題q：ael.

：.p：A={〃|關(guān)于x的不等式f+(2a+l)元+°2+2W0有實(shí)數(shù)解}={冰2°+1)2—4(〃2+

2)20}={雨磊,

q：B—{a\a^l).

■：A^B,“若p,則q”為真，

“若p,則°”的逆否命題“若㈱，/,則㈱p”為真.

即原命題的逆否命題為真.

19.解㈱p：1-'3)>2，解得x<—2,或x>10,

A—{x\x<-2,或x>10}.

q：x2—2x+1—m2>0,

解得X<1—機(jī)，或

B={X|X<1~m,或x>l+，*}.

是^4的必要非充分條件，A,

即{1一，“W—+朋》10且等號(hào)不能同時(shí)成立，=加29,

二機(jī)29.

20.解令兀r)=f+(2&-l)x+S,方程有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根。

7=(211)2—49》0

Ai)>0)

k

即k<-2.

所以其充要條件為上一2.

21.解對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有東+必+1>0恒成立—或廣八=0Wa<4；

U<0

關(guān)于x的方程f—x+〃=0有實(shí)數(shù)根=1—4a200"W；；如果p真，且q假，有0Wa<4,

且懸，

.'.^<a<4；如果q真，且p假，有。<0或。24,且「.avO.

綜上，實(shí)數(shù)”的取值范圍為(一8,O)uQ,4).

22.解假設(shè)三個(gè)方程：/+4以-4〃+3=0,

f+(a—l)x+a2=o,*+20￥—2a=0都沒有實(shí)數(shù)根，則

4=(甸2_4(_4〃+3)<

</2=(。―1)2—4/,

/3=(2〃)2—4(一2〃)<0

3

-y

2

即卜當(dāng)或kl,得一3旌加一］

、—2<。<0

???所求實(shí)數(shù)a的范圍是〃<一］3或一1.

第一章章末檢測(cè)(B)

(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分).

1.函數(shù)兀t)=x|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是()

A.ab=QB.a+b=0

C.a=hD.<r+b2=O

2.若“心bnc>d”和"a<b=eW/都是真命題,其逆命題都是假命題，則"c近d”

是“eWf的（）

A.必要非充分條件

B.充分非必要條件

C.充分必要條件

D.既非充分也非必要條件

3.在下列結(jié)論中，正確的是（）

①“pAq”為真是“pVq”為真的充分不必要條件；

②為假是“p7q”為真的充分不必要條件；

③“pVq”為真是為假的必要不充分條件；

④為真是“pAg”為假的必要不充分條件.

A.①②B.①③

C.②④D.③④

4.“aWl或b#2”是“q+bW3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要

5.若命題"p或?yàn)檎妫胺莗”為真，貝1（）

A.p真q真B.p假q真

C.p真q假D.p假q假

6.條件p：x>l.y>l,條件q：x+y>2,xy>l,則條件p是條件“的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

7.2X2—5%—3<0的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.—^<x<3B.—^<x<0

C.--3<X<2D.—l<x<6

8.“x=2航+￡（kf是“tanx=l”成立的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分條件

D.既不充分也不必要條件

9.下列命題中的假命題是（）

A.3x￡R,1§^=0B.S.rGR,tanx=1

C.VxGR,/>0D.VxGR,2V>0

10.設(shè)原命題：若a+/?N2,則a,b中至少有一個(gè)不小于1,則原命題與其逆命題的真

假情況是（）

A.原命題真，逆命題假

B.原命題假，逆命題真

C.原命題與逆命題均為真命題

D.原命題與逆命題均為假命題

11.下列命題中為全稱命題的是（）

A.圓內(nèi)接三角形中有等腰三角形

B.存在一個(gè)實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)的和不為0

C.矩形都有外接圓

D.過直線外一點(diǎn)有一條直線和已知直線平行

12.以下判斷正確的是（）

A.命題“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”不是全稱命題

B.命題“VxGN,V>x”的否定是“mxGN,丁>尤”

C.“a=l”是“函數(shù)式x）=sin2分的最小正周期為兀”的必要不充分條件

D.“6=0”是“函數(shù)是偶函數(shù)”的充要條件

題號(hào)123456789101112

答案

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.下列命題中為真命題.（填序號(hào)）

①“4CB=A”成立的必要條件是“4B”；

②“若f+V=0,貝lx,y全為0”的否命題；

③“全等三角形是相似三角形”的逆命題；

④“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”的逆否命題.

14.命題“正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身”的逆命題是

___________________________________,這是命題.

15.若“VxWR,*—2x—〃?>0”是真命題，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

16.給出下列四個(gè)命題：

①VxGR,x2+2>0；

②VxGN,x4^l；

@3xeZ,Al；

@3xGQ,W=3.

其中正確命題的序號(hào)為.

三、解答題（本大題共6小題，共70分）

17.（10分）分別寫出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷其真假.

（1）矩形的對(duì)角線相等且互相平分；

（2）正偶數(shù)不是質(zhì)數(shù).

18.（12分）寫出由下述各命題構(gòu)成的“p或q”，“p且,“非p”形式的命題，并

指出所構(gòu)成的這些命題的真假.

（Dp：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積能被2整除，外連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積能被3整除；

（2）p：對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形，q：對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形.

19.（12分）已知求證：a+b=1的充要條件是分+/+而一層一除=0.

20.(12分)已知二次函數(shù)大幻=加+乂對(duì)于Vxd[O,l],成立，試求實(shí)數(shù)a的取

值范圍.

21.(12分)下列三個(gè)不等式：

25

①2-f+ar—才>1；

②(a—3)/+(a—2)x-l>0；

③+點(diǎn)

若其中至多有兩個(gè)不等式的解集為空集，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

22

22.(12分)已知命題p：?和及是方程x-/nr-2=0的兩個(gè)實(shí)根，不等式a~5a-3^\xt

一刈對(duì)任意實(shí)數(shù)[-1,1]恒成立;命題(7：不等式加+2?-1>0有解;若命題p是真命題，

命題q是假命題，求a的取值范圍.

第一章常用邏輯用語(B)

答案

222

1.D[若a+b=0,即<7=6=0時(shí)，f(—x)=(—x)\—x+0\+0=-x\x\=—f(x)9/.a

+b2=0是f(x)為奇函數(shù)的充分條件.又若f(x)為奇函數(shù)即f(—x)=—x\(—x)+a\+b=—(x\x

+a|+b),則必有a=b=0,即標(biāo)+82=0,，/+爐二。是‘⑼為奇函數(shù)的必要條件.]

2.B[由QNb=c>d可得c4d=Q<b,又a<b=ewf,所以cwd=ewf；而ewf=cwd顯

然不成立，故"cwd"是"ew「的充分非必要條件.]

3.B

4.B「?Z=1且A=2=〃+8=3,

...a+Z?W3=q#l或8#2.]

5.B[由〃非p"為真可得p為假，若同時(shí)"p或q〃為真，則可得q必須為真.]

6.A[由我們學(xué)習(xí)過的不等式的理論可得p=q,但x=100,y=0.1滿足q：x+y>2,

xy>l,但不滿足q,故選項(xiàng)為A.]

7.D[由左一5;（:—3<0,解得一水x<3,記為P,則①②BP,B是P的充分

非必要條件，③，C既不是P的充分條件，也不是P的必要條件，④尸。是P的必

要不充分條件.]

8.A[tan（2E+；）=tan^=1,所以充分；

但反之不成立，如tan￥=l.]

9.C

10.A[舉例:4=1.2,6=0.3,

則a+6=1.5<2,二逆命題為假.]

11.C

12.D「.?"負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”即為Vx<0,則f>0,是全稱命題，；.A不正確；

又?.?對(duì)全稱命題“VxeN,的否定為“mxGN,RWx”，；.B不正確；

又,?7（x）=sin2ax,當(dāng)最小正周期T=n時(shí)，有命=兀，；.同=1/4=1.

故％=1”是“函數(shù)式x）sin2℃的最小正周期為兀”的充分不必要條件.]

13.②④

解析①4nB=A=AU8但不能得出AB,

...①不正確；

②否命題為：“若則x,y不全為0"，是真命題；

③逆命題為：“若兩個(gè)三角形是相似三角形，則這兩個(gè)三角形全等"，是假命題；

④原命題為真，而逆否命題與原命題是兩個(gè)等價(jià)命題，.?.逆否命題也為真命題.

14.如果一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，那么這個(gè)數(shù)一定是正數(shù)假

15.（—8,—1）

解析由/=（—2）2—4X（一機(jī)）<0,得”?<—1.

16.（D@

17.解（1）逆命題：若一個(gè)四邊形的對(duì)角線相等且互相平分，則它是矩形（真命題）.

否命題：若一個(gè)四邊形不是矩形，則它的對(duì)角線不相等或不互相平分（真命題）.

逆否命題：若一個(gè)四邊形的對(duì)角線不相等或不互相平分，則它不是矩形（真命題）.

（2）逆命題：如果一個(gè)正數(shù)不是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)正數(shù)是正偶數(shù)（假命題）.

否命題：如果一個(gè)正數(shù)不是偶數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)（假命題）.

逆否命題：如果一個(gè)正數(shù)是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)不是偶數(shù)（假命題）.

18.解（l）p或g：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積能被2或能被3整除.

〃且q：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積能被2且能被3整除.

非p：存在連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積不能被2整除.

二.連續(xù)的三整數(shù)中有一個(gè)（或兩個(gè)）是偶數(shù)，而另一個(gè)是3的倍數(shù)，

真，g真，二。或q與p且q均為真，而非p為假.

（2）p或仍對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形或?qū)蔷€互相平分的四邊形是菱形.

p且4：對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形且對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形.

非p：存在對(duì)角線互相垂直的四邊形不是菱形.

假q假，二。或q與p且q均為假，而非p為真.

19.證明充分性：Va3+b3+ab—a2—b2

—（a+b'）（a2—ab+b2）—（a2-ab+b2）

=（a+b_1）（辟一曲+占2）

/.(a+b-1)(〃2—"+/)=0.

又"#0,即〃NO且AHO,

/.a2—ab+b2=^a—^2+肘>0.

?二。+人——1=0,.*.6r+/?=1.

必要性：\*a+b=1,即。+。-1=0,

：.a3+b3+ab~a2~b2

=(〃+/?—1)(層一+序)=0.

綜上可知，當(dāng)出?#0時(shí)，

a+b=\的充要條件是足+人+必一〃2—〃=o.

20.解|/U)|Wlo—lW>U)Wlo—lW加+xWl,xe[0,l].①

當(dāng)工=05，”0,①式顯然成立；

當(dāng)x￡(0』]時(shí)，①式化為一土一：Wa<g—5在工￡(0,1]上恒成立.

設(shè)則01,+°°),

則有一戶一/〈。?尸一人所以只需

]〃2(一戶一，)|曲=一

-=-2—,

女(尸9一f)min=0

又a#0,故一2Wa<0.

綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2,0).

21.解對(duì)于①，2一r+這一竽>1,即一f+ax—苧>0,故/—ar+竽<0,J=a2—25,

所以不等式的解集為空集，實(shí)數(shù)a的取值范圍是一5WaW5.

對(duì)于②，當(dāng)。=3時(shí)，不等式的解集為{x|x>l},不是空集；當(dāng)a#3時(shí)，要使不等式(a

-3)f+(a-2)x—l>0的解集為空集.

[?—3<0,

耐解得一2用WaW2巾.

'l(a-2)2+4(a-3)<0,

對(duì)于③，因?yàn)椤?122弋/$=2

當(dāng)且僅當(dāng)f=l,即》=±1時(shí)取等號(hào).

所以，不等式的解集為空集時(shí)，aW2.

因此，當(dāng)三個(gè)不等式的解集都為空集時(shí)，-2pWaW2.

所以要使三個(gè)不等式至多有兩個(gè)不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

26或a>2}.

22.解Vxi,X2是方程f一如一2=0的兩個(gè)實(shí)根，

則x\+x2=m且X]X2=-2,

ki-X2|=A/(XI+X2)2-4X1X2=》"「+8,

當(dāng)加￡[—1,1]時(shí)，|X1—X2|max=3,

由不等式5a—32|x]—及]對(duì)任意實(shí)數(shù)加e[-1,1]恒成立可得：/—5a—323,

：.a—6或aW—1.

所以命題p為真命題時(shí)，或aW—1.

命題4：不等式a^+Zx—1>0有解，

當(dāng)〃>0時(shí),顯然有解；

當(dāng)。=0時(shí)，2x—1>0有解；

當(dāng)a〈0時(shí)，???加+2￥—1>0有解，

??./=4+4〃>0,-1<a<0,

從而命題4：不等式aj^+lx—1>0有解時(shí)a>—\.

又命題q為假命題，—1.

綜上得，若P為真命題且4為假命題則4＜一1.

第二章章末總結(jié)

知識(shí)再現(xiàn)?

~I定義I

T橢研―|標(biāo)準(zhǔn)方程1

一―|兒何性質(zhì)卜

圓

錐T定義!

曲

線

與―-1雙曲線卜—I標(biāo)準(zhǔn)方程F

方■TWI

程—I幾何性質(zhì)卜

一

定義|

T拋物線F標(biāo)準(zhǔn)方程卜

~I幾何性質(zhì)卜

T相交卜標(biāo)礫曲線的弦I

直線與圓錐曲

線的位置關(guān)系I相切I

_!相離|

重點(diǎn)解讀?

知識(shí)點(diǎn)一圓錐曲線的定義和性質(zhì)

對(duì)于圓錐曲線的有關(guān)問題，要有運(yùn)用圓錐曲線定義解題的意識(shí)，“回歸定義”是一種重

要的解題策略；應(yīng)用圓錐曲線的性質(zhì)時(shí)，要注意與數(shù)形結(jié)合思想、方程思想結(jié)合起來.總之，

圓錐曲線的定義、性質(zhì)在解題中有重要作用，要注意靈活運(yùn)用.

【例1】已知雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上，離心率為2,Fl,B為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上

一點(diǎn)，且NFIPF2=60。，S4PFIFZ=12小,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

知識(shí)點(diǎn)二直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

直線與圓錐曲線一般有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.

在直線與雙曲線、拋物線的位置關(guān)系中有一種情況，即直線與其交于一點(diǎn)和切于一點(diǎn),

二者在幾何意義上是截然不同的，反映在代數(shù)方程上也是完全不同的，這在解題中既是一個(gè)

難點(diǎn)也是一個(gè)十分容易被忽視的地方.圓錐曲線的切線是圓錐曲線的割線與圓錐曲線的兩個(gè)

交點(diǎn)無限靠近時(shí)的極限情況，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)

根，即判別式等于零；而與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn)的直線，是一種特殊的情況(拋物線中與對(duì)

稱軸平行，雙曲線中與漸近線平行)，反映在消元后的方程上，該方程是一次的.

【例21

如圖所示，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)尸(2,0)且斜率為4的直線/交拋物線丁=左于M3,

yi),N(X2,?)兩點(diǎn).

⑴求為及與yi”的值;

(2)求證：OM±ON.

知識(shí)點(diǎn)三軌跡問題

軌跡是解析幾何的基本問題，求解的方法有以下幾種：

(1)直接法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)為(x,y),根據(jù)幾何條件直接尋求小>■之間的

關(guān)系式.

(2)代入法：利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與某一已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，把所求動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換

為已知?jiǎng)狱c(diǎn).具體地說，就是用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y來表示已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)并代入已知?jiǎng)?/p>

點(diǎn)滿足的曲線的方程，由此即可求得所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的關(guān)系式.

(3)定義法：如果所給幾何條件正好符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義，則

可直接利用這些已知曲線的方程寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

(4)參數(shù)法：當(dāng)很難找到形成曲線的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x,y所滿足的關(guān)系式時(shí)，借助第

三個(gè)變量r,建立r和x,r和)，的關(guān)系式x=p⑺，⑺，再通過一些條件消掉［就間接地

找到了x和y所滿足的方程，從而求出動(dòng)點(diǎn)P(x,y)所形成的曲線的普通方程.

1例31設(shè)點(diǎn)A、B是拋物線V=4px(p>0)上除原點(diǎn)。以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知0AL03,

OMLAB,垂足為求點(diǎn)〃的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？

知識(shí)點(diǎn)四圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題

圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難點(diǎn),

解決這個(gè)難點(diǎn)沒有常規(guī)的方法，但解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想是明確的，定點(diǎn)、定值問題必然

是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、

比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的某個(gè)點(diǎn)或值，就是要

求的定點(diǎn)、定值.化解這類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比

例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.

72

【例4】若直線/：y=kx+m與橢圓，+，=1相交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是左、右頂點(diǎn))，

心為橢圓的右頂點(diǎn)且AA2_LBA2,求證：直線/過定點(diǎn).

知識(shí)點(diǎn)五圓錐曲線中的最值、范圍問題

圓錐曲線中的最值、范圍問題，是高考熱點(diǎn)，主要有以下兩種求解策略：

(1)平面幾何法

平面幾何法求最值問題，主要是運(yùn)用圓錐曲線的定義和平面幾何知識(shí)求解.

(2)目標(biāo)函數(shù)法

建立目標(biāo)函數(shù)解與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，是常規(guī)方法，其關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)淖兞拷?/p>

立目標(biāo)函數(shù)，然后運(yùn)用求函數(shù)最值的方法確定最值.

【例51已知A(4,0),8(2,2)是橢圓U+]=1內(nèi)的兩定點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求|MA|

+|M周的最值.

2

【例6】已知Q、尸2為橢圓f+5=1的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)，AB是過焦點(diǎn)B的一條動(dòng)弦,

求△ABF?面積的最大值.

章末總結(jié)答案

重點(diǎn)解讀

【例1】解

如圖所示，設(shè)雙曲線方程為上一

\>=~=2,.\c=2a.

由雙曲線的定義，

得||PFi|一|PF2ll=2a=c,

在△PF1F2中，由余弦定理，得：

2

|F,F2|=\PFi『+[PF/一2『吊||PF21cos60°

=(|/3FI|-|/,F2|)2+2|PFI||PF2|(1-COS600),

即4，=/+|尸尸|||力引.①

又SAPFIF2=12V3,

.".||PFi||PF2|sin60°=12小，

即|尸已|仍尸2|=48.②

由①@,得/=16,c=4,

則a=2,/>2=c2—a2=12,

72

所求的雙曲線方程為]一為=1.

I例2】(1)解過點(diǎn)P(2,0)且斜率為上的直線方程為：y=k(x-2).

把y=《x—2)代入y1—lx,

消去了得Ff-(4F+2)x+4妤=0,

由于直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)，

故3#0且/=(43+2)2—16六=16后+4>0,

2

X|X2—4,Xl+x2—4+^2,

'：M.N兩點(diǎn)在拋物線上，

，冰免=4X-X2=16,

而yry2<0,.??yiy2=14.

(2)證明OM=(x\fyi),ON={xi,及),

OM-^=x\-X2+y\-y2=4—4=0.

OM±ON,即OMLON.

【例3】解設(shè)直線OA的方程為y=Ax(Z#±l,因?yàn)楫?dāng)々=±1時(shí)，直線AB的斜率不存

在)，則直線08的方程為〉=一去Y

進(jìn)而可求A侈，崎、B(4plc,-4pk).

于是直線A8的斜率為&.=1片，

d一1

從而koM=~工~,

p—1

二直線0M的方程為y=-T1，①

直線的方程為y+4pk=￡ga-4pE).②

將①(②相乘，得尸+4”6=-x(x—4pd),

即x2+y2=-4pky+4pl^x=4p(l^x—ky),③

又Fx—口二x，代入向式并化簡(jiǎn)，

得(x—2〃)2+9=4〃2.

當(dāng)后=±1時(shí)，易求得直線AB的方程為x=4p.

故此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4p,0),也在2P)2+V=4p2(xWO)上.

/.點(diǎn)、M的軌跡方程為(x—2p)2+y2=4p2(xWO),

??.其軌跡是以(2p,0)為圓心，半徑為2P的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).

I例41

證明設(shè)4乃，yi),

5(X2,J2)，

y=kx+m,

得(3+4F)f+8〃7fcl+4。層-3)=0,

<J=64w2Ar—1