2024-2025（下）高一年級第一次月考數學試卷一、單選題（每小題5分，共40分）1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據弧度和角度的對應關系可得答案.【詳解】由題意得，．故選：C．2.函數的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據三角函數圖象及其值域即可得出結果.【詳解】易知當時，函數取得最大值為3.故選：C3.將函數的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變）得到的圖象所對應的函數是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據函數的圖象橫坐標縮短到原來的

倍，就是變為原來的2倍進行變換，即可得到答案．【詳解】將函數的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的縱坐標不變，就是變為原來的2倍進行變換，即得到函數的解析式為：.故選：D.4.一個扇形的弧長與面積的數值都是，則這個扇形的中心角大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據條件，利用扇形的弧長和面積公式，即可求解.【詳解】設扇形的弧長、面積和中心角分別為，扇形的半徑為，因為，所以，由題有，解得，故選：B.5.在中，為邊上的中線，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的線性運算求解即可.【詳解】如圖，故選：C.6.已知，且三點共線，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】根據向量共線的坐標表示，即若向量，則當時，有，即可求解.【詳解】因為三點共線，所以，因為，所以，解得.故選：A.7.已知向量，滿足，，與的夾角為，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據兩個向量共線反向可求.【詳解】因為與的夾角為，故，故，故選：D.8.設函數，若對于任意實數，函數在區間上至少有3個零點，至多有4個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據為任意實數，轉化為研究函數在任意一個長度為的區間上的零點問題，求出函數在軸右側靠近坐標原點處的零點，得到相鄰四個零點之間的最大距離為，相鄰五個零點之間的距離為，根據相鄰四個零點之間的最大距離不大于，相鄰五個零點之間的距離大于，列式可求出結果.【詳解】因為為任意實數，故函數的圖象可以任意平移，從而研究函數在區間上的零點問題，即研究函數在任意一個長度為的區間上的零點問題，令，得，則它在軸右側靠近坐標原點處的零點分別為，，，，，，則它們相鄰兩個零點之間的距離分別為，，，，，故相鄰四個零點之間的最大距離為，相鄰五個零點之間的距離為，所以要使函數在區間上至少有3個零點，至多有4個零點，則需相鄰四個零點之間的最大距離不大于，相鄰五個零點之間的距離大于，即，解得.故選：C【點睛】關鍵點點睛：在求解復雜問題時，要善于將問題進行簡單化，本題中的以及區間是干擾因素，所以排除干擾因素是解決問題的關鍵所在.二、多選題（每小題6分，共18分）9.（多選）下列結果為零向量的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據向量線性運算的知識來求得正確答案.【詳解】對于A：，故選項A不正確；對于B：，故選項B正確；對于C：，故選項C正確；對于D：，故選項D正確.故選：BCD10.下列各式正確是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據誘導公式逐個選項判斷即可.【詳解】根據誘導公式四，，A正確；對于B，，B正確；根據誘導公式五，，C錯；根據誘導公式三，，D正確.故選：ABD11.如圖，設，當時，定義平面坐標系為的斜坐標系．在的斜坐標系中，任意一點的斜坐標這樣定義：設，是分別與軸，軸正方向相同的單位向量，若，則記．下列結論正確的是（）A.設，，若，則B.設，，若，則C.設，則D.設，，若與的夾角為，則【答案】BD【解析】【分析】利用向量垂直的坐標表示可得A錯誤；由向量平行的坐標表示可得B正確；由向量模長的定義可得C錯誤；由向量數量積的定義可得D正確.【詳解】對于A，若，則，，故A錯誤；對于B，若，則，則，所以，故B正確；對于C，，，故C錯誤；對于D，，即，解得，所以，故D正確．故選：BD.【點睛】思路點睛：關于新定義題思路有：（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉換成數學語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結合數學知識進行解答.三、填空題（每小題5分，共15分）12.的內角，，的對邊分別為，，，，，，則等于______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可得邊長.【詳解】在中，，，，，則，由正弦定理，即，解得，故答案為：.13.如圖所示，在四邊形中，，則___________.【答案】【解析】【分析】利用向量數量積的運算即可得解.【詳解】因為在四邊形中，，所以.故答案為：.14.已知是單位圓上任意不同三點，則的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】由等價于在上的投影，故可結合投影性質，得到當與反向共線時，在上的投影取最小，當與同向共線時，在上的投影取最大，再結合的范圍，即可得到相應投影的最小、最大值，即可得解.【詳解】等價于在上投影，如圖1，在單位圓圓上任取兩點、，則對任意的，當與反向共線時，在上的投影取最小，作于點，設，取中點，有，則，，則，由，故；如圖2，在單位圓圓上任取兩點、，則對任意的，當與同向共線時，在上的投影取最大，作于點，設，取中點，有，則，，則，由，故；綜上所述，.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于得到表示在上的投影，從而數形結合，借助投影性質解題.四、解答題（77分）15.若角的終邊經過點，求角的正弦值、余弦值以及正切值.【答案】.【解析】【分析】利用三角函數的定義可求得結果.【詳解】由三角函數的定義可得，，.16.函數的部分圖象如圖：（1）求解析式；（2）寫出函數在上的單調遞減區間.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據函數的圖象求出相關參數，即可得解析式；（2）由正弦型函數的性質求區間內的單調遞減區間即可.【小問1詳解】由題設，可得，且，所以，又，所以，且，可得，則；【小問2詳解】在上，則上單調遞減，所以，可得，所以在上的單調遞減區間為.17.已知向量.（1）若向量與共線，求實數的值；（2）若向量與夾角為銳角，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量共線的坐標運算可知，即可求出參數值；（2）利用兩向量夾角為銳角的充要條件是且與不共線，從而可得不等式組求解即可.【小問1詳解】由題意可得，，若向量與共線，可得，解得.【小問2詳解】若向量與的夾角為銳角可得且與不共線，即可得，解得且，即實數的取值范圍為且18.已知的夾角為，，，，（1）若，求實數t的取值范圍；（2）是否存在實數t，使得，若存在，求實數t.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）由列式求得值；（2）利用共線向量定理列式求解即可.【小問1詳解】，的夾角為，且，，.由，得，解得；【小問2詳解】由，得，即，解得所以存在實數，使得.19.如圖，圓C的半徑為3，其中A，B為圓C上兩點.（1）若，當k為何值時，與垂直？（2）若G為的重心，直線l過點G交邊AB于點P，交邊AC于點Q，且，求最小值.（3）若的最小值為1，求的值.【答案】（1）（2）2（3）【解析】【分析】（1）由余弦定理可得，再由向量垂直和數量積的關系即可求出結果；（2）由向量的線性運算和共線的條件得到，即可得到，再用基本不等式計算；（3）由向量的數量積的定義得到，再由模長的計算得到，結合二次函數的性質解出即可.【小問1詳解】因為，所以由余弦定理得，即，所以.若與垂直，則，所以，所以，解得，即時，與垂直；【小問2詳解】因為為的重心，所以，又因為，所以，由于三點共線，所以存在實數使