2024-2025學年第二學期階段性測試（一）高一數學（滿分150分，考試時間120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列命題中，真命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】結合正方形可判斷A,D項錯誤；再根據向量既有大小又有方向的特征排除B項，利用相等向量的定義確定C項正確.【詳解】對于A，如圖正方形中，若，則，但，故A錯誤；對于B，因向量既有大小，又有方向，故不能比較大小，故B錯誤；對于C，因兩向量相等包括長度相等，方向相同，故C正確；對于D，如上圖中，，但，故D錯誤.故選：C.2已知，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用誘導公式、同角三角函數的基本關系式來求得正確答案.【詳解】.故選：C3.已知，，，則，，大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據指數函數，對數函數的單調性及特殊角的三角函數值比較大小.【詳解】因為在上遞增，且，所以，所以，即，因為在上遞減，且，所以，即，因為，所以,故選：B.4.將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則下列結論正確的是（）A.是奇函數 B.的圖象關于直線對稱C.在上單調遞增 D.在上的值域為【答案】D【解析】【分析】根據三角函數的變換規則得到解析式，再根據正弦函數的性質一一判斷即可.【詳解】將函數的圖象向右平移個單位長度得到，顯然不是奇函數，故A錯誤．因為，所以的圖象不關于直線對稱，故B錯誤．當時，，因為在上不單調，所以在上不單調，故C錯誤．由，得，則，即在上的值域為，故D正確．故選：D5.已知函數在區間上至少有3個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得，結合條件可得，求解即可.【詳解】因為，所以，因為函數在區間上至少有3個零點，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：C.6.如圖，水利灌溉工具筒車的轉輪中心到水面的距離為，筒車的半徑是，盛水筒的初始位置為與水平正方向的夾角為．若筒車以角速度沿逆時針方向轉動，為筒車轉動后盛水筒第一次到達入水點所需的時間（單位：），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意求出盛水桶到水面的距離與時間的函數關系式，令即可求解.【詳解】設盛水桶在轉動中到水面的距離為，時間為，由圖可知筒車轉動后盛水筒第一次到達入水點的角度小于，又筒車的角速度為2rad/min，所以所需的時間為，故A錯誤；由題意可得，盛水桶到水面的距離與時間的函數關系如下：，令，即，解得，又，可得，，故D正確；，，故C錯誤；又，解得，故B錯誤；故選：D.7.將函數的圖象向右平移個單位得到函數的圖象，以圖象相鄰的三個交點為頂點的三角形面積為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數圖象平移規則得出的解析式，再由對稱性及面積求得交點坐標，可得結果.【詳解】如圖，不妨取縱軸右側的連續三個交點，周期也為，可得，由面積為及對稱性知，，進而，代入結合，得.故選：B8.已知函數分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，若函數有唯一零點，則實數的值為（）A.或 B.或1 C.或2 D.1或【答案】D【解析】【分析】由題意可得，從而可得的圖象關于對稱，即得，代入求解即可.【詳解】因為，①分別是定義在上的偶函數和奇函數，所以，即，②由①+②，得，由①-②，得，又因為有唯一零點，即有唯一解，因為為偶函數，圖象關于軸對稱，所以圖象關于軸對稱，的圖象也關于軸對稱，所以的圖象關于軸對稱，所以，即，解得或.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于分析得的圖象關于軸對稱，從而得到，由此得解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數，則（）A.為偶函數B.的值域為C.不存在，使得D.在區間上單調遞減【答案】ABD【解析】【分析】根據給定條件，利用偶函數定義判斷A；換元并利用余弦函數值域判斷B；舉例說明判斷C；利用復合函數單調性判斷D.【詳解】對于A，函數的定義域為R，，因此為偶函數，A正確；對于B，令，函數是R上增函數，值域為R，函數的值域為，因此的值域為，B正確；對于C，由選項B知，存在唯一使得，則，且，因此存在，使得，C錯誤；對于D，函數在上單調遞增，，而函數在上單調遞減，因此在區間上單調遞減，D正確.故選：ABD10.對于函數和，下列說法中正確的有（）A.與有相同的零點 B.與有相同的最大值C.與最小正周期不相同 D.與的圖象存在相同的對稱軸【答案】BCD【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡兩個函數的解析式，利用正弦型函數的對稱性可判斷AD選項；利用正弦型的最值可判斷B選項；利用正弦型函數的周期公式可判斷C選項.【詳解】因為，，對于A選項，對于函數，由，可得，對于函數，由，可得，故函數的零點為，函數的零點為，所以，函數、沒有相同的零點，A錯；對于B選項，的最大值為，的最大值為，故與的最大值相同，B對；對于C選項，函數的最小正周期為，函數的最小正周期為，這兩個函數的最小正周期不同，C對；對于D選項，因為，，所以，函數與的圖象存在相同的對稱軸，D對.故選：BCD.11.在數學史上，曾經定義過下列兩種三角函數：為角的正矢，記作；為角的余矢，記作.則下列說法正確的是（）A.函數在上單調遞減B.若，則C.若函數，則的最大值為D.【答案】BD【解析】【分析】對于A求單調減區間即可判斷，對于B，代入即可判斷，對于C即可求出的最大值，對于D即可判斷.【詳解】由已知有，，對于A：，令，當時，，所以函數在為減函數，故在上單調遞減，在上單調遞增，故A錯誤；對于B：，則，故B正確；對于C：，則最大值為4，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小則5分，共15分．12.函數的定義域為______．【答案】【解析】【分析】要使函數有意義只須，再解不等式可得答案.【詳解】由，得，解得故答案為：.13.已知函數，則函數在上的最大值為_______．【答案】【解析】【分析】設，可得出，求出的取值范圍為，令，，利用導數即可求出在上的最大值，即為所求.【詳解】設，則，所以，，當時，，所以，，則，設，，則，所以函數在上單調遞減，，即當時，．故答案為：.14.已知函數的圖象關于坐標原點對稱，若在的圖象上存在一點列：，，滿足且，那么滿足條件的的最小值為______．【答案】8【解析】【分析】利用二倍角公式及兩角和的正弦公式化簡，根據的奇偶性求出，即可得到的解析式，根據正弦函數的性質，優先找使，即可確定，從而得解.【詳解】因．又因為的圖象關于坐標原點對稱，所以函數為奇函數，所以，即，又，所以，所以．因為．又，所以．要求滿足條件的的最小值，只需優先找使的點即可．結合的圖象，可令．故滿足條件的最小整數為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，且．（1）求，的值；（2）求的值；（3）已知，且，求的值．【答案】（1）（2）;（3）.【解析】【分析】（1）利用同角平方公式及象限角確定符號來求值；（2）利用誘導公式化簡，即可求值；（3）利用變單角為雙角差，再用兩角差余弦公式求值即可.【小問1詳解】因為，且，所以，即；【小問2詳解】由；【小問3詳解】因為，，所以，又因為，所以，則.16.已知，（1）若，求的值；（2）若，求的值域和單調遞增區間.【答案】（1）（2）值域為，，.【解析】【分析】（1）根據題意，，結合誘導公式，即可求解；（2）根據三角函數恒等變換得，結合正弦函數的性質求解.【小問1詳解】因為，，所以，又，故；【小問2詳解】因為，所以，所以的值域為，令，解之得，所以的單調遞增區間為，.17.已知函數.（1）求的最小正周期及的值；（2）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位長度得到函數的圖象，求函數的解析式；（3）在（2）的條件下，直線與函數的圖象分別交于，兩點，求的最大值.【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）整理可得，進而可得的最小正周期及的值；（2）根據三角函數圖象變換求函數的解析式；（3）根據題意結合三角恒等變換整理可得，結合正弦函數有界性分析求解.【小問1詳解】由題意可得：，所以的最小正周期為；.【小問2詳解】將函數圖象的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變）得到，再向左平移個單位長度得到函數【小問3詳解】由題意可知：兩點的坐標為，可得，因為，則，可得，所以在時的最大值為.18.已知函數．（1）當時，求函數的單調增區間；（2）當時，設，且函數的圖像關于直線對稱，將函數的圖像向右平移個單位，得到函數，求解不等式；（3）當時，若實數使得對任意實數恒成立，求實數的值．【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）根據題意得到，結合正弦型函數的性質，即可求解；（2）根據題意得到，求得，得到，結合圖象的變換求得，由不等式，即，即可求解；（3）化簡得到，求得，轉化為，得到方程組，分類討論，即可求解.【小問1詳解】解：當，時，可得函數，令，所以單調增區間為；【小問2詳解】解：當，時，可得，其中，因為關于直線對稱，可得，即，解得，所以，將函數的圖像向右平移個單位，得到函數，由，即，則解得，所以不等式的解集為；【小問3詳解】當，，時，則，可得，則，于是，可化為，即，所以.由已知條件，上式對任意恒成立，故必有，若，則由（1）知，顯然不滿足（3）式，故，所以由（2）知，故或，當時，，則（1）、（3）兩式矛盾，故，由（1）、（3）知，所以，；19.已知函數的最小正周期為．（1）求實數的值；（2）若函數在上恰有8個零點，求的最小值；（3）設函數證明：有且只有一個零點，且．【答案】（1）4（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由三角函數周期計算公式可得答案.（2）由題可得零點表達式，要使最小，則，n均為零點，據此可得答案；（3）由題可得，由單調性，正負情況結合零點存在性定理可得零點情況，然后由單調性可完成證明.【小問1詳解】的最小正周期為．【小問2詳解】當時，令，解得，則或，則或，.要使最小，則均為零點.若，則大于的7個零點為：，得，則此時，；若，則大于的7個零點為：，