PAGE1-周周回饋練對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P51一、選擇題1．若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中正確的是()A．若m，n都平行于平面α，則m，n肯定不是相交直線B．若m，n都垂直于平面α，則m，n肯定是平行直線C．已知α，β相互平行，m，n相互平行，若m∥α，則n∥βD．若m，n在平面α內(nèi)的射影相互平行，則m，n相互平行答案B解析A中，m，n可以是相交直線；B正確；C中，n可以平行于β，也可以在β內(nèi)；D中，m，n也可能異面．2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不肯定成立的是()A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β答案D解析如圖，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l?AC⊥m，AB∥l?AB∥β．故選D．3．在正方體A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于()A．eq\f(\r(3),3)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2)D．eq\r(3)答案C解析如圖，連接AC，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連接A1O．∵BD⊥AC，BD⊥AA1，且AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，∴∠A1OA為二面角A1－BD－A的平面角．tan∠A1OA＝eq\f(A1A,AO)＝eq\r(2)．4．對(duì)兩條不相交的空間直線a與b，必存在平面α，使得()A．a(chǎn)?α，b?αB．a(chǎn)∥α，b∥αC．a(chǎn)⊥α，b⊥αD．a(chǎn)?α，b⊥α答案B解析依據(jù)空間中的線面位置關(guān)系可得：當(dāng)兩條直線a與b異面時(shí)，不存在平面使得a?α，b?α．所以A錯(cuò)誤．由空間中線面的位置關(guān)系可得，肯定存在一個(gè)平面滿意a∥α，b∥α．所以B正確．由線面垂直的性質(zhì)定理可得：當(dāng)直線a與直線b異面時(shí)不存在平面使得a⊥α，b⊥α成立，所以C錯(cuò)誤．由線面垂直的定義可得，當(dāng)直線a與直線b異面且不垂直時(shí)，不存在一個(gè)平面α使得a?α，b⊥α成立．所以D錯(cuò)誤．5．已知直線PG⊥平面α于點(diǎn)G，直線EF?α，且PF⊥EF于點(diǎn)F，那么線段PE，PF，PG的長(zhǎng)度的大小關(guān)系是()A．PE>PG>PFB．PG>PF>PEC．PE>PF>PGD．PF>PE>PG答案C解析Rt△PFE中，PE>PF；Rt△PGF中，PF>PG，所以PE>PF>PG．6．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱BC，DD1上的點(diǎn)，假如B1E⊥平面ABF，則點(diǎn)E，F(xiàn)滿意的條件肯定是()A．CE＝D1F＝eq\f(1,2)B．CE＋DF＝1C．BE＋DF＝1D．E，F(xiàn)為棱BC，DD1上的隨意位置答案B解析在面BB1C1C內(nèi)作BF′∥AF交CC1于F′．∵B1E⊥面ABF，∴B1E⊥AF，∴B1E⊥BF′，DF＝CF′．在正方形BB1C1C中，由B1E⊥BF′得CE＝C1F′＝1－CF′，∴CE＋CF′＝1即CE＋DF＝1．二、填空題7．下列四個(gè)命題：①過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面垂直；②過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面平行；③假如兩個(gè)平行平面和第三個(gè)平面相交，那么所得的兩條交線平行；④假如兩個(gè)平面相互垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于其次個(gè)平面的線必在第一個(gè)平面內(nèi)．其中全部真命題的序號(hào)是________．答案①③④解析依據(jù)空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面垂直，故①正確；過(guò)平面外一點(diǎn)有多數(shù)條直線與該平面平行，故②不正確；依據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理：假如兩個(gè)平行平面和第三個(gè)平面相交，那么所得的兩條交線平行，故③正確；依據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)：假如兩個(gè)平面相互垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于其次個(gè)平面的直線必在第一個(gè)平面內(nèi)，故④正確．從而真命題的序號(hào)為①③④．8．如圖，二面角α－l－β的大小是60°，線段AB?α，B∈l，AB與l所成的角為30°，則AB與平面β所成的角的正弦值是________．答案eq\f(\r(3),4)解析如圖，作AO⊥β于點(diǎn)O，作AC⊥l于點(diǎn)C，連接OB，OC，則OC⊥l．設(shè)AB與β所成的角為θ，則∠ABO＝θ．由圖得sinθ＝eq\f(AO,AB)＝eq\f(AC,AB)·eq\f(AO,AC)＝sin30°·sin60°＝eq\f(\r(3),4)．9．如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，則三棱錐A－A′BB′的體積V＝________．答案4解析∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′?α，AA′⊥A′B′，∴AA′⊥β．∴V＝eq\f(1,3)S△A′BB′·AA′＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)A′B′×BB′))×AA′＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×3＝4．三、解答題10．如圖，在五面體中，四邊形ABCD是矩形，DA⊥平面ABEF，且DA＝1，AB∥EF，AB＝eq\f(1,2)EF＝2eq\r(2)，AF＝BE＝2，P，Q，M分別為AE，BD，EF的中點(diǎn)．求證：(1)PQ∥平面BCE；(2)AM⊥平面ADF．證明(1)連接AC．∵四邊形ABCD是矩形，Q是BD的中點(diǎn)，則Q是AC的中點(diǎn)．在△AEC中，∵P是AE的中點(diǎn)，∴PQ∥EC．∵EC?平面BCE，PQ?平面BCE，∴PQ∥平面BCE．(2)∵點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，∴EM＝AB＝2eq\r(2)．又∵EF∥AB，∴四邊形ABEM是平行四邊形，∴AM∥BE，AM＝BE＝2．又∵AF＝2，MF＝2eq\r(2)，∴AM2＋AF2＝MF2，∴∠MAF＝90°，∴MA⊥AF．∵DA⊥平面ABEF，AM?平面ABEF，∴DA⊥AM．又∵AF∩AD＝A，∴AM⊥平面ADF．11．如圖所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABC，且各棱長(zhǎng)均相等，D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點(diǎn)．(1)求證：EF∥平面A1CD；(2)求證：平面A1CD⊥平面A1ABB1；(3)求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值．解(1)證明：如圖，連接ED．在△ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DE＝eq\f(1,2)AC，且DE∥AC．又F為A1C1的中點(diǎn)，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以A1F＝DE，且A1F∥DE，所以四邊形A1DEF為平行四邊形，所以EF∥DA1．又EF?平面A1CD，DA1?平面A1CD，所以EF∥平面A1CD．(2)證明：由于底面ABC是正三角形，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB．又側(cè)棱AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以A1A⊥CD．又A1A∩AB＝A，所以CD⊥平面A1ABB1．又CD?平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1．(3)在平面A1ABB1內(nèi)，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥A1D交直線A1D于點(diǎn)G，連接CG．由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，平面A1CD∩平面A1ABB1＝A1D，所以BG⊥平面A1CD，所以∠BCG為直線BC與平面A1CD所成的角．設(shè)三棱柱各棱長(zhǎng)均為a，可得A1D＝eq\f(\r(5)a,2)．又∠A1DA＝∠BDG，∠A1AD＝∠BGD，所以△A1AD∽△BGD，所以eq\f(BG,AA1)＝eq\f(BD,A1D)，所以BG＝eq\f(\r(5)a,5)．在Rt△BGC中，sin∠BCG＝eq\f(BG,BC)＝eq\f(\r(5),5)．所以直線BC與平面A1CD所成角的正弦值為eq\f(\r(5),5)．12．如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖②．(1)求證：DE∥平面A1CB；(2)求證：A1F⊥BE；(3)在線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ？說(shuō)明理由．解(1)證明：∵D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，∴DE∥BC．∵DE?平面A1CB，BC?平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．(2)證明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC．∴DE⊥A1D，DE⊥CD，又A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC．∵A1F?平面A1DC，∴DE⊥A1F．又∵A1F⊥CD，CD∩DE＝D，∴A1F⊥平面BCDE．又∵BE?平面BCDE，∴A1F⊥BE．(3)在線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如