PAGEPAGE7小專題(十一)一次函數與方程、不等式的應用某長途汽車客運公司規定旅客可免費攜帶肯定質量的行李，當行李的質量超過規定時，需付的行李費y(元)是行李質量x(kg)的一次函數．已知行李質量為20kg時需付行李費2元，行李質量為50kg時需付行李費8元．(1)當行李的質量x超過規定時，求y與x之間的函數關系式；(2)求旅客最多可免費攜帶行李的質量．解：(1)設y與x的函數關系式為y＝kx＋b.將(20，2)，(50，8)代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20k＋b＝2，,50k＋b＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,5)，,b＝－2.))∴當行李的質量x超過規定時，y與x之間的函數關系式為y＝eq\f(1,5)x－2.(2)當y＝0時，eq\f(1,5)x－2＝0，解得x＝10.答：旅客最多可免費攜帶行李10kg.甲、乙兩家綠化養護公司各自推出了校內綠化養護服務的收費方案．甲公司方案：每月的養護費用y(元)與綠化面積x(平方米)是一次函數關系，如圖所示．乙公司方案：綠化面積不超過1000平方米時，每月收取費用5500元；綠化面積超過1000平方米時，每月在收取5500元的基礎上，超過部分每平方米收取4元．(1)求如圖所示的y與x的函數解析式；(2)假如某學校目前的綠化面積是1200平方米，試通過計算說明：選擇哪家公司的服務，每月的綠化養護費用較少．解：(1)設y＝kx＋b，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝400，,100k＋b＝900，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝5，,b＝400，))∴y＝5x＋400.(2)當綠化面積是1200平方米時，甲公司的費用為6400元，乙公司的費用為5500＋4×200＝6300(元)，∵6300＜6400，∴選擇乙公司的服務，每月的綠化養護費用較少．某蔬菜加工公司先后兩批次收購蒜薹共100噸．第一批蒜薹價格為4000元/噸；因蒜薹大量上市，其次批價格跌至1000元/噸．這兩批蒜薹共用去16萬元．(1)求兩批次購進蒜薹各多少噸？(2)公司收購后對蒜薹進行加工，分為粗加工和精加工兩種：粗加工每噸利潤400元，精加工每噸利潤1000元．要求精加工數量不多于粗加工數量的三倍．為獲得最大利潤，精加工數量應為多少噸？最大利潤是多少？解：(1)設第一批購進蒜薹x噸，其次批購進蒜薹y噸．由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝100，,4000x＋1000y＝160000，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝80.))答：第一批購進蒜薹20噸，其次批購進蒜薹80噸．(2)設精加工m噸，總利潤為w元，則粗加工(100－m)噸．由m≤3(100－m)，解得m≤75，利潤w＝1000m＋400(100－m)＝600m＋40000，∵600>0，∴w隨m的增大而增大．∴m＝75時，w有最大值為85000元．4．某工廠生產一種產品，當產量至少為10噸，但不超過55噸時，每噸的成本y(萬元/噸)與產量x(噸)之間是一次函數關系，函數y與自變量x的部分對應值如下表：x(噸)102030y(萬元/噸)454035(1)求y與x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)市場調查發覺，這種產品每月銷售量m(噸)與銷售單價n(萬元/噸)之間滿意如圖所示的函數關系．該廠第一個月按同一銷售單價賣出這種產品25噸，懇求出該廠第一個月銷售這種產品獲得的利潤．(注：利潤＝售價—成本)解：(1)設y關于x的函數解析式為y＝kx＋b，將(10，45)，(20，40)代入解析式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10k＋b＝45，,20k＋b＝40，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－0.5，,b＝50.))∴y＝－0.5x＋50(10≤x≤55)．(2)設每月銷售量m(噸)與銷售單價n(萬元/噸)之間的函數解析式為m＝k1n＋b1，把(40，30)，(55，15)代入解析式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40k1＋b1＝30，,55k1＋b1＝15，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－1，,b1＝70.))∴m＝－n＋70，當m＝25時，n＝45，在y＝－0.5x＋50(10≤x≤55)中，當x＝25時，y＝37.5，∴利潤為25×(45－37.5)＝187.5(萬元)．5．(2024·銅仁)學校打算購進一批甲、乙兩種辦公桌若干張，并且每買1張辦公桌必需買2把椅子，椅子每把100元，若學校購進20張甲種辦公桌和15張乙種辦公桌共花費24000元；購買10張甲種辦公桌比購買5張乙種辦公桌多花費2000元．(1)求甲、乙兩種辦公桌每張各多少元？(2)若學校購買甲、乙兩種辦公桌共40張，且甲種辦公桌數量不多于乙種辦公桌數量的3倍，請你給出一種費用最少的方案，并求出該方案所需費用．解：(1)設甲種辦公桌每張x元，乙種辦公桌每張y元．依據題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20x＋15y＋7000＝24000，,10x－5y＋1000＝2000，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝400，,y＝600.))答：甲種辦公桌每張400元，乙種辦公桌每張600元．(2)設甲種辦公桌購買a張，則乙種辦公桌購買(40－a)張，購買的總費用為y元，則y＝400a＋600(40－a)＋2×40×100＝－200a＋32000，∵a≤3(40－a)，∴a≤30.∵－200＜0，∴y隨a的增大而減小．∴當a＝30時，y取得最小值，最小值為26000元．答：購買甲、乙兩種辦公桌分別為30張、10張時，費用最少，為26000元．6．(教材P100習題T15變式)江漢平原享有“中國小龍蝦之鄉”的美稱，甲、乙兩家農貿商店，平常以同樣的價格出售品質相同的小龍蝦．“龍蝦節”期間，甲、乙兩家商店都讓利酬賓，付款金額y甲，y乙(單位：元)與原價x(單位：元)之間的函數關系如圖所示．(1)干脆寫出y甲，y乙關于x的函數關系式；(2)“龍蝦節”期間，如何選擇甲、乙兩家商店購買小龍蝦更省錢？解：(1)y甲＝0.8x.y乙＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（0<x<2000），,0.7x＋600（x≥2000）.))(2)當0<x<2000時，0.8x<x，到甲商店購買更省錢；當x≥2000時，若到甲商店購買更省錢，則0.8x<0.7x＋600，解得x<6000；若到乙商店購買更省錢，則0.8x>0.7x＋600，解得x>6000；若到甲、乙兩商店購買一樣省錢，則0.8x＝0.7x＋600，解得x＝6000.故當購買金額按原價小于6000元時，到甲商店購買更省錢；當購買金額按原價大于6000元時，到乙商店購買更省錢；當購買金額按原價等于6000元時，到甲、乙兩商店購買一樣．賽龍舟是端午節的主要習俗，某市甲、乙兩支龍舟隊在端午節期間進行劃龍舟競賽，從起點A駛向終點B，在整個行程中，龍舟離開起點的距離y(米)與時間x(分鐘)的對應關系如圖所示，請結合圖象解答下列問題：(1)起點A與終點B之間相距多遠？(2)哪支龍舟隊先動身？哪支龍舟隊先到達終點？(3)分別求甲、乙兩支龍舟隊的y與x的函數關系式；(4)甲龍舟隊動身多長時間時兩支龍舟隊相距200米？解：(1)由圖可得，起點A與終點B之間相距3000米．(2)由圖可得，甲龍舟隊先動身，乙龍舟隊先到達終點．(3)設甲龍舟隊的y與x的函數關系式為y＝kx.把(25，3000)代入，可得3000＝25k，解得k＝120.∴甲龍舟隊的y與x的函數關系式為y＝120x(0≤x≤25)．設乙龍舟隊的y與x函數關系式為y＝ax＋b.把(5，0)，(20，3000)代入，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝5a＋b，,3000＝20a＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝200，,b＝－1000.))∴乙龍舟隊的y與x的函數關系式為y＝200x－1000(5≤x≤20)．(4)令120x＝200x－1000，可得x＝12.5.即當x＝12.5時，兩龍舟隊相遇．當x＜5時，令120x＝200，則x＝eq\f(5,3)(符合題意)；當5≤x＜12.5時，