PAGEPAGE15第2課時直線與平面、平面與平面平行的性質[核心必知]1．預習教材，問題導入依據以下提綱，預習教材P58～P61，回答下列問題．(1)假如直線和平面平行，那么這條直線與這個平面內的直線的位置關系是怎樣的？若直線a與平面α平行，那么在平面α內與直線a平行的直線有多少條？這些直線的位置關系如何？提示：平行或異面．在平面α內與直線a平行的直線有多數條，這些直線相互平行．(2)如何推斷平面和平面平行？假如兩個平面平行，那么一個平面內的直線與另一個平面有什么位置關系？提示：有兩種方法，一是用定義法，須推斷兩個平面沒有公共點；二是用平面和平面平行的判定定理，須推斷一個平面內有兩條相交直線和另一個平面平行．假如兩個平面平行，那么一個平面內的直線與另一個平面平行．2．歸納總結，核心必記(1)直線與平面平行的性質定理文字語言一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行符號語言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語言(2)平面與平面平行的性質定理文字語言假如兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行符號語言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b圖形語言[問題思索](1)若直線a∥平面α，則直線a平行于平面α內的隨意一條直線，對嗎？提示：錯誤．若直線a∥平面α，則由線面平行的性質定理可知直線a與平面α內的一組直線平行．(2)若直線a與平面α不平行，則直線a就與平面α內的任始終線都不平行，對嗎？提示：不對．若直線a與平面α不平行，則直線a與平面α相交或a?α，當a?α時，α內有直線與直線a平行．(3)兩個平面平行，那么，兩個平面內的全部直線都相互平行嗎？提示：不肯定．它們可能異面．(4)兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面嗎？提示：肯定平行．因為兩個平面平行，則兩個平面無公共點，則其中一個平面內的直線必和另一個平面無公共點，因而它們平行．[課前反思]通過以上預習，必需駕馭的幾個學問點．(1)直線和平面平行的性質定理是什么？怎樣應用？；(2)平面和平面平行的性質定理是什么？怎樣應用？.將鉛筆放到與桌面平行的位置，用矩形硬紙片的面緊貼鉛筆，矩形硬紙片的一邊緊貼桌面，如圖所示，思索下列問題．[思索1]鉛筆和硬紙片與桌面的交線是什么位置關系？提示：平行．[思索2]鉛筆所在直線與桌面內的直線都平行嗎？提示：不肯定．[思索3]怎樣相識直線與平面平行的性質定理？名師指津：(1)線面平行的性質定理的條件有三個：①直線a與平面α平行，即a∥α；②平面α、β相交于一條直線，即α∩β＝b；③直線a在平面β內，即a?β.三個條件缺一不行．(2)定理的作用：①線面平行?線線平行；②畫一條直線與已知直線平行．(3)定理揭示了直線與平面平行中蘊含著直線與直線平行，即通過直線與平面平行可得到直線與直線平行，這給出了一種作平行線的方法，體現了數學中的轉化與化歸的思想．(4)在應用這個定理時，要防止出現“一條直線平行于一個平面，就平行于這個平面內的一切直線”的錯誤．講一講1．如圖所示，已知三棱錐A-BCD被一平面所截，截面為?EFGH，求證：CD∥平面EFGH.[嘗試解答]∵EFGH為平行四邊形，∴EF∥GH.又GH?平面BCD，EF?平面BCD，∴EF∥平面BCD.而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF?平面ACD，∴EF∥CD.又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.利用線面平行性質定理解題的步驟練一練1．求證：假如一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行．解：已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求證：a∥l.證明：如圖，過a作平面γ交α于b.∵a∥α，∴a∥b.過a作平面ε交平面β于c.∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c.又b?β且c?β，∴b∥β.又平面α過b交β于l，∴b∥l.∵a∥b，∴a∥l.視察下圖，其中平面α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b.[思索1]怎樣理解平面與平面平行的性質定理？名師指津：(1)面面平行的性質定理的條件有三個：①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.三個條件缺一不行．(2)定理的實質是由面面平行得線線平行，其應用過程是構造與兩個平行平面都相交的一個平面，由其結論可知定理可用來證明線線平行．(3)面面平行的性質定理的推證過程應用了平行線的定義．[思索2]兩個平面平行有哪些常見結論？名師指津：兩個平面平行的一些常見結論：(1)假如兩個平面平行，那么在一個平面內的全部直線都與另一個平面平行．(2)假如一條直線和兩個平行平面中的一個相交，那么它也和另一個平面相交．(3)夾在兩個平行平面間的全部平行線段相等．講一講2．如圖，已知平面α∥β，P?α且P?β，過點P的直線m與α、β分別交于A、C，過點P的直線n與α、β分別交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長．[嘗試解答]因為AC∩BD＝P，所以經過直線AC與BD可確定平面PCD，因為α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以eq\f(PA,AC)＝eq\f(PB,BD)，即eq\f(6,9)＝eq\f(8－BD,BD).所以BD＝eq\f(24,5).應用平面與平面平行性質定理的基本步驟練一練2．如圖所示，A1B1C1D1-ABCD是四棱臺，求證：B1D1∥BD.證明：依據棱臺的定義可知，BB1與DD1相交，所以BD與B1D1共面．又因為平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥BD.講一講3．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E、E1分別是棱AD，AA1上的點．設F是棱AB的中點，證明：直線EE1∥平面FCC1.[思路點撥]欲證直線EE1∥平面FCC1.可將問題轉化為證明含有直線EE1的平面ADD1A1與平面FCC1平行，再依據面面平行的性質證明問題．[嘗試解答]因為F為AB的中點，所以AB＝2AF.又因為AB＝2CD，所以CD＝AF.因為AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD為平行四邊形，所以FC∥AD.又FC?平面ADD1A1，AD?平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因為CC1∥DD1，CC1?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1.又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1?平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.1．空間中各種平行關系相互轉化的示意圖2．證明直線與直線平行的方法(1)平面幾何中證明直線平行的方法，猶如位角相等，兩直線平行；三角形中位線的性質；平面內垂直于同始終線的兩條直線相互平行等；(2)公理4；(3)線面平行的性質定理；(4)面面平行的性質定理．3．證明直線與平面平行的方法(1)線面平行的判定定理；(2)兩個平面平行，其中一個平面內的隨意一條直線平行于另一個平面．練一練3．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM＝DN.求證：MN∥平面AA1B1B.證明：作MP∥BB1交BC于點P，連接NP，∵MP∥BB1，∴eq\f(CM,MB1)＝eq\f(CP,PB).∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝NB，∴eq\f(CM,MB1)＝eq\f(DN,NB)，∴eq\f(CP,PB)＝eq\f(DN,NB)，∴NP∥CD∥AB.∵NP?平面AA1B1B，AB?平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP?平面AA1B1B，BB1?平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP?平面MNP，NP?平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN?平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.———————————————[課堂歸納·感悟提升]—————————1．本節課的重點是理解直線與平面、平面與平面平行的性質定理，能利用線面、面面平行的性質定理解決空間平行問題．難點是能綜合應用線面、面面平行的判定定理和性質定理進行線線平行、線面平行與面面平行的相互轉化．2．本節課要重點駕馭的規律方法(1)線面平行、面面平行的性質定理解題的步驟，見講1，講2.(2)空間中證明線線、線面、面面平行的方法，見講3.3．本節課的易錯點是混淆綜合利用線線、線面、面面平行的判定與性質定理解題，如講3.課下實力提升(十一)[學業水平達標練]題組1直線與平面平行的性質定理1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α內的直線的位置關系只能是()A．平行B．平行或異面C．平行或相交D．異面或相交解析：選B由題意，CD∥α，則平面α內的直線與CD可能平行，也可能異面．2．已知直線m，n和平面α，m∥n，m∥α，過m的平面β與α相交于直線a，則n與a的位置關系是()A．平行B．相交C．異面D．以上均有可能解析：選A由線面平行的性質知m∥a，而m∥n，所以n∥a.3．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是棱AA1和BB1的中點，過EF的平面EFGH分別交BC和AD于G，H，則GH與AB的位置關系是()A．平行B．相交C．異面D．平行或異面解析：選A由長方體性質知：EF∥平面ABCD，∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴選A.4．如圖，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求證：CD∥EF.證明：因為AB∥α，AB?β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可證AB∥EF，所以CD∥EF.題組2平面與平面平行的性質定理5．已知平面α∥平面β，過平面α內的一條直線a的平面γ，與平面β相交，交線為直線b，則a，b的位置關系是()A．平行B．相交C．異面D．不確定解析：選A由面面平行的性質定理可知選項A正確．6．平面α與圓臺的上、下底面分別相交于直線m，n，則m，n的位置關系是()A．平行B．相交C．異面D．平行或異面解析：選A因為圓臺的上、下底面相互平行，所以由平面與平面平行的性質定理可知m∥n.7．如圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形，則四邊形ABCD的形態肯定是________．解析：由平行投影的定義，AA1∥BB1，而ABCD所在平面與平面α平行，則AB∥A1B1，則四邊形ABB1A1為平行四邊形；同理四邊形CC1D1D為平行四邊形．因為A1B1C1D1，所以ABCD，從而四邊形ABCD為平行四邊形．答案：平行四邊形8．(2024·南陽高一檢測)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中點，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求證：N為AC的中點．證明：因為平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，所以四邊形ANC1M為平行四邊形，所以AN∥C1M且AN＝C1M，又C1M＝eq\f(1,2)A1C1，A1C1＝AC，所以AN＝eq\f(1,2)AC，所以N為AC的中點．題組3線線、線面、面面平行的綜合9．如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求證：l∥BC；(2)MN與平面APD是否平行？試證明你的結論．解：(1)證明：因為BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因為平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)平行．證明如下：取PD的中點E，連接AE，NE，可以證得NE∥AM且NE＝AM.可知四邊形AMNE為平行四邊形．所以MN∥AE，又因為MN?平面APD，AE?平面APD，所以MN∥平面APD.10．如圖所示，ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中點，在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？證明你的結論．解：當點E為棱AB的中點時，DE∥平面AB1C1.證明如下：如圖，取BB1的中點F，連接EF、FD、DE，∵D、E、F分別為CC1、AB、BB1的中點，∴EF∥AB1，∵AB1?平面AB1C1，EF?平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.同理可證FD∥平面AB1C1.∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1.∵DE?平面EFD，∴DE∥平面AB1C1.[實力提升綜合練]1．(2024·嘉興高一檢測)若平面α∥平面β，直線a?α，點B∈β，則在β內過點B的全部直線中()A．不肯定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在多數條與a平行的直線D．存在唯一一條與a平行的直線解析：選D因為a與B確定一個平面，該平面與β的交線即為與a平行的直線，只有唯一一條．2．已知直線l∥平面α，P∈α，那么過點P且平行于l的直線()A．只有一條，不在平面α內B．只有一條，在平面α內C．有兩條，不肯定都在平面α內D．有多數條，不肯定都在平面α內解析：選B如圖所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直線l與點P確定一個平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．3．(2024·日照高一檢測)過平面α外的直線l，作一組平面與α相交，假如所得的交線為a、b、c、…，則這些交線的位置關系為()A．都平行B．都相交且肯定交于同一點C．都相交但不肯定交于同一點D．平行或都相交于同一點解析：選D因為l?α，所以l∥α或l∩α＝A，若l∥α，則由線面平行性質定理可知，l∥a，l∥b，l∥c，…，所以由公理4可知，a∥b∥c…；若l∩α＝A，則A∈a，A∈b，A∈c，…，a∩b∩c∩…＝A，故選D.4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若經過D1B的平面分別交AA1和CC1于點E、F，則四邊形D1EBF的形態是()A．矩形B．菱形C．平行四邊形D．正方形解析：選C因為過D1B的平面和左右兩個側面分別交于ED1、BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四邊形D1EBF是平行四邊形．5．(2024·福州高一檢測)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，則MN＝________AC.解析：因為平面MNE∥平面ACB1，平面ABCD∩平面MNE＝MN，平面ABCD∩平面ACB1＝AC，所以MN∥AC.同理可證EM∥AB1，EN∥B1C.因為E是B1B的中點，所以M、N分別是AB、BC的中點，所以MN＝eq\f(1,2)AC.答案：eq\f(1,2)6．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________．解析：∵EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，∴EF∥AC.又點E為AD的中點，點F在CD上，∴點F是CD的中點，∴EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7．如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，P為平面ABC外一點