重難點突破09導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：曲線與直線的距離 2題型二：曲線與點的距離 7題型三：曲線與圓的距離 8題型四：曲線與拋物線的距離 12題型五：曲線與曲線的距離 14題型六：橫向距離 19題型七：縱向距離 23題型八：直線與兩曲線交點的距離 2603過關(guān)測試 28

導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題，利用化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想可把問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離、兩點間的距離問題，再利用導(dǎo)數(shù)法來求距離的最值．方法之一是轉(zhuǎn)化化歸，將動點間的距離問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題，而這個“點”一般就是利用導(dǎo)數(shù)求得的切點；方法之二是構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值．題型一：曲線與直線的距離【典例1-1】（2024·廣西桂林·二模）已知函數(shù)的最小值為，則正實數(shù)（

）A．3 B． C． D．3或【答案】D【解析】表示點與點的距離的平方，點在曲線上，點在曲線上，如圖，可得，設(shè)與平行的直線與曲線相切于點，．，，①點與點的距離的平方的最小值等于點，到直線的距離．，②結(jié)合①②得，，或，.故選：D.【典例1-2】若函數(shù)，函數(shù)，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則的幾何意義是兩條曲線上動點之間的距離的平方.∵∴∵直線的斜率為1∴令，解得，則，即曲線在處的切線和直線平行，則最短距離為點到的距離，∴的最小值為故選：B【變式1-1】點M是曲線上的動點，則點M到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．由，所以，易得函數(shù)為在上單調(diào)遞增函數(shù)，為零點，此時M的坐標為，由點到直線的距離公式可得M到直線的距離的最小值為.故選:【變式1-2】（2024·高三·安徽合肥·期中）點分別是函數(shù)圖象上的動點，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)函數(shù)在點處的切線與平行時，最小.，令得或（舍），所以切點為，所以的最小值為切點到直線的距離，所以的最小值為.故選：D.【變式1-3】（2024·陜西西安·二模）若，，則的最小值為（

）A． B．6 C．8 D．12【答案】C【解析】由題意，設(shè)函數(shù)，直線，設(shè)直線與函數(shù)的切點為可得，可得，解得，可得，即切點坐標為，則切點到直線的距離為，又因為表示點到直線的距離為平方，所以的最小值為.故選：C.【變式1-4】已知函數(shù)，，點與分別在函數(shù)與的圖象上，若的最小值為，則（

）A． B．3 C．或3 D．1或3【答案】A【解析】因為，令，解得，而，則函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，則，即點到直線的距離為，所以，解得或，當(dāng)時，與函數(shù)的圖象相交，所以.故選：A.【變式1-5】若實數(shù)滿足，則的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【解析】由，得，令，則，令得，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增；由，得，令，的圖像如下圖：則表示上一點與上一點的距離的平方，顯然，當(dāng)過M點的的切線與平行時，最小，設(shè)上與平行的切線的切點為，由，解得，所以切點為，切點到的距離的平方為，即的最小值為8；故選：A.【變式1-6】已知實數(shù)，，，滿足，則的最小值為（

）A． B．8 C．4 D．16【答案】B【解析】由得，，，即，，的幾何意義為曲線上的點到直線上的點連線的距離的平方，不妨設(shè)曲線，直線，設(shè)與直線平行且與曲線相切的直線方程為，顯然直線與直線的距離的平方即為所求，由，得，設(shè)切點為，，則，解得，直線與直線的距離為，的最小值為8．故選：B.題型二：曲線與點的距離【典例2-1】若點與曲線上點的距離的最小值為，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先設(shè)切點B，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及最值列式解得實數(shù)的值.因為,所以由題意得以A為圓心，為半徑的圓與曲線相切于點B,設(shè),則在B點處切線的斜率為，所以，選D.【典例2-2】（2024·河北石家莊·石家莊二中校考模擬預(yù)測）設(shè)點，P為曲線上動點，若點A，P間距離的最小值為，則實數(shù)t的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，記，，易知是增函數(shù)，且的值域是，∴的唯一解，且時，，時，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．【變式2-1】（2024·高三·廣東汕頭·開學(xué)考試）若點與曲線上點距離最小值為，則實數(shù)為.【答案】【解析】設(shè)點的坐標為，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可知，直線與曲線在點處的切線垂直，則，得，由兩點間的距離公式得，由于的最小值為，即，，解得，因此，.故答案為：題型三：曲線與圓的距離【典例3-1】（2024·高三·山東青島·期末）已知動點P，Q分別在圓和曲線上，則的最小值為．【答案】【解析】由題意得，即圓心在上，半徑為，故的最小值等于的最小值減去半徑，設(shè)，由于與關(guān)于對稱，的最小值等于到直線的距離的最小值的2倍，由，可得，令，解得，故在點處的切線與平行，此時到的距離最小，最小值為，故的最小值為，則的最小值等于.故答案為：【典例3-2】（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知且，則的最小值是（

）A． B． C． D．8【答案】B【解析】代數(shù)式可以看成點到點距離的平方，點在平面直角坐標系中，表示單位圓上的點，點表示曲線上的點，如下圖所示：

，由，所以曲線在點處的切線方程為：，此時直線與直線垂直于點，交圓于點，由數(shù)形結(jié)合思想可以確定：當(dāng)點運動到點時，當(dāng)點運用到點時，有最小值，即，故選：B【變式3-1】若x、a、b為任意實數(shù)，若，則最小值為(

)A． B．9 C． D．【答案】C【解析】由可得在以為圓心，1為半徑的圓上，表示點與點的距離的平方，即表示圓上動點到函數(shù)y＝lnx圖像上動點距離的平方．設(shè)為y＝lnx上一點，且在處的y＝lnx的切線與和連線垂直，可得，即有，由在時遞增，且，可得m＝1，即切點為，圓心與切點的距離為，由此可得的最小值為．故選：C．【變式3-2】若，分別是函數(shù)與圓上的點，則的最小值為．【答案】/【解析】設(shè)圓的圓心為，半徑為，當(dāng)垂直于拋物線在點處的切線時，取得最小值，為，如圖所示，設(shè)點，則直線的斜率為，且，由知，，所以在點處的切線的斜率為，因為直線與切線垂直，所以，所以，所以，即，因為恒成立，所以，即，此時，所以，即的最小值為．故答案為：．【變式3-3】已知點為函數(shù)的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】由圓的對稱性可得只需考慮圓心到函數(shù)圖象上一點的距離的最小值．設(shè)圖象上一點，令圖象上一點的切線為由的導(dǎo)數(shù)為，即切線的斜率為，當(dāng)時，圓心到函數(shù)圖象上一點的距離最小，此時，即有，由，可得，遞增，又，所以，，所以點到點的距離最小，且為，則線段的長度的最小值為，故選：A．題型四：曲線與拋物線的距離【典例4-1】設(shè)，當(dāng)a，b變化時，的最小值為_______.【答案】.【解析】，函數(shù)表示點和的距離加上的縱坐標，畫出和的圖像，如圖所示：故，當(dāng)共線時等號成立.設(shè)，則，，當(dāng)時，，故，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，故，函數(shù)單調(diào)遞減.，故.綜上所述：的最小值是.故答案為：.【典例4-2】設(shè).，則的最小值為A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】由題可得：設(shè)，所以為上任意一點到上任一點及拋物線焦點的距離之和，所以距離表達式為,令，，顯然在遞減，遞增所以，故最小值為【變式4-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測）設(shè)，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，則點在函數(shù)圖象上，在函數(shù)的圖象上，容易知道圖象是拋物線圖象的上半部分，記拋物線焦點為，過作拋物線的準線的垂線，垂足為，如圖所示：則，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時，取最小值.設(shè)這時點坐標為，又，所以有，解得，即該點為，所以，因此.故選：A.題型五：曲線與曲線的距離【典例5-1】（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考期中）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為___________.【答案】【解析】由于曲線是由向右平移1個單位得到的，是由現(xiàn)右平移1個單位得到的，所以的最小值可以看成曲線上的點與上的點間的最小值，因為與互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，所以所求的最小值為曲線上的點到直線的最小距離的2倍，設(shè)與直線平行的直線與曲線相切于點，因為，由，得，所以切點，所以點到直線的最小距離為，所以的最小值為，故答案為：【典例5-2】設(shè)，，則的最小值為．【答案】【解析】由兩點距離公式的幾何意義可知表示點到的距離，表示點到的距離，而是上的點，是上的點，是上的點，且與關(guān)于直線對稱，所以的最小值可轉(zhuǎn)化為圖像上的動點與圖像上的動點最小距離，顯然，與平行的切線的切點，和與平行的切線的切點，它們之間的距離就是所求最小距離，對于，設(shè)切點為，有，則，故，則，故，對于，設(shè)切點為，有，則，故，則，故，所以，所以題設(shè)式子的最小值為.故答案為：.【變式5-1】（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）設(shè)點P在曲線上，點Q在曲線上，則|PQ|的最小值為.【答案】【解析】令、分別向上平移一個單位可得、，而與關(guān)于對稱，∴當(dāng)兩條曲線在P、Q處的切線均與平行時，P、Q關(guān)于對稱，|PQ|有最小，對應(yīng)曲線平移到、后，P、Q關(guān)于對稱即可，∴令，則，∴有，則，即，∴到的距離，∴.故答案為：.【變式5-2】設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為.【答案】/【解析】由，得：，.所以與互為反函數(shù)．則它們的圖象關(guān)于對稱．要使的距離最小，則線段垂直直線.點在曲線上，點Q在曲線上，設(shè)，.又P，Q的距離為P或Q中一個點到的最短距離的兩倍．以Q點為例，Q點到直線的最短距離所以當(dāng)，即時，d取得最小值，則的最小值等于.故答案為：【變式5-3】已知點P在函數(shù)的圖象上，點Q在函數(shù)的圖象上，則的最小值為.【答案】【解析】由函數(shù)，求導(dǎo)可得：，則，在處的切線方程為，整理可得：；由函數(shù)，求導(dǎo)可得：，則，在處的切線方程為，整理可得；由直線的斜率，易知：直線分別與兩條切線垂直..故答案為：.【變式5-4】（2024·高三·遼寧·期中）如圖所示，動點P，Q分別在函數(shù)，上運動，則的最小值為．【答案】【解析】如題圖，兩個函數(shù)都是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，又，在定義域上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減，所以函數(shù)遞增的速度由慢到快，遞增的速度由快到慢，設(shè)動點，，當(dāng)且僅當(dāng)滿足：時，取得最小值，由圖象的示意圖不難發(fā)現(xiàn)，該方程組有唯一一組，，所以，，所以的最小值為．故答案為：.【變式5-5】設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】與互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對稱先求出曲線上的點到直線的最小距離．設(shè)與直線平行且與曲線相切的切點，．，，解得．．得到切點，點P到直線的距離．最小值為．故選：B．【變式5-6】已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線對稱，若，分別為它們圖象上的兩個動點，則這兩點之間距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)為函數(shù)圖象上任意一點，則，關(guān)于直線的對稱點為，又，即點在函數(shù)的圖象上，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以這，兩點之間距離的最小值等于點到直線距離最小值的倍，由，則，函數(shù)在點處的切線斜率為，令，解得，，所以點到直線距離的最小值為，所以這，兩點之間距離的最小值為.故選：D【變式5-7】（2024·高三·寧夏石嘴山·開學(xué)考試）已知動點分別是曲線和曲線上的任意一點，則線段的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為與互為反函數(shù)，所以其圖象關(guān)于直線對稱，先求出曲線上的點到直線的最小距離，該距離的2倍即為所求.設(shè)與直線平行且與曲線相切的直線切點為，因為，所以，解得，所以，即切點為，點P到直線的距離，所以線段的最小值為.故選：B題型六：橫向距離【典例6-1】（多選題）（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，的圖象與直線y=m分別交于A、B兩點，則（）.A．B．，曲線在A處的切線總與曲線在B處的切線相交C．的最小值為1D．?，使得曲線在點A處的切線也是曲線的切線【答案】ACD【解析】設(shè)A、B的橫坐標分別為x1，x2，則由于，故，故A正確；當(dāng)時,,所以曲線在A處的切線總與曲線在B處的切線斜率相等，兩切線不相交，故B錯誤；,設(shè)則,是單調(diào)遞增函數(shù)，且,所以在上單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以,故C正確；曲線在點A處的切線方程為,若此切線同時也是曲線的切線，可設(shè)切點為,則,消去得,設(shè),,因為的圖象是連續(xù)的，所以至少有兩個零點（可以證明恰有兩個零點，因與本題結(jié)論無關(guān)，在此從略），故有解，進而得到的值是存在的且大于零的，故D正確.故選：ACD.【典例6-2】（2024·江蘇蘇州·一模）已知直線y＝a分別與直線，曲線交于點A，B，則線段AB長度的最小值為．【答案】【解析】，設(shè)與平行的的切線的點為，則切線斜率為，切線方程為，則與，被直線與切線截得的線段長，就是被直線和曲線截得線段的最小值，因為取任何值時，被兩平行線截得的線段長相等，所以令，可得，線段的最小值，故答案為.【變式6-1】已知直線，分別與直線和曲線交于點M，N兩點，則線段MN長度的最小值是．【答案】【解析】設(shè)與平行且與相切的直線的切點為，因為，，切點為，切線方程為，即，長度的最小值就是被與截得的弦長，則有，故答案為：.【變式6-2】直線分別與曲線，直線交于兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題，設(shè)到直線的距離為，直線的傾斜角為，則，又，，故最小即最小，即為當(dāng)過點處的切線與直線平行時最小，由曲線，得，所以切點為，可求得點到直線的距離最小值為故，故選：C【變式6-3】（2024·陜西銅川·一模）直線分別與直線、曲線交于點A，B，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，直線與直線的交點，直線與曲線交點，滿足，則，設(shè)，，則，由，得；，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，故選：B．【變式6-4】已知直線分別與曲線和曲線交于兩點，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】因為直線分別與曲線和曲線交于兩點，所以點的坐標為，點的坐標為，所以，設(shè)，則，因為函數(shù)在上都為增函數(shù)，所以函數(shù)在為增函數(shù)，又，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為.故選：A.【變式6-5】已知函數(shù)，的圖象分別與直線交于兩點，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)的圖像與直線分別交于兩點，所以，，其中，且，所以，令，則，令得：；所以易得：時，；時，；即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，即的最小值為.故答案為：B.題型七：縱向距離【典例7-1】（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）若直線與兩曲線分別交于兩點，且曲線在點處的切線為，曲線在點處的切線為，則下列結(jié)論：①，使得；②當(dāng)時，取得最小值；③的最小值為2；④最小值小于．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由直線與兩曲線分別交于兩點可知：曲線上點坐標，可求導(dǎo)數(shù)，則切線斜率，可知切線：.曲線上點坐標，可求導(dǎo)數(shù)，則切線斜率.令，則，令，，由零點存在定理，使，即，使，即，故①正確.，令，由同理可知有，使，令，在處取最小值，即當(dāng)時，取得最小值，故②正確.是對勾函數(shù)，在上是減函數(shù)，，故③錯誤，④正確.故選：C【典例7-2】直線分別與曲線和曲線交于，兩點，則的最小值為A． B．2 C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可設(shè)，，即可表示出，構(gòu)造函數(shù)并求得，令求得極值點并判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得的最小值.直線分別與曲線和曲線交于，兩點，設(shè)，，且，，，．，，，令解得，（舍），當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增．所以，綜上可知的最小值為．故選：D.【變式7-1】動直線（）與函數(shù)，的圖象分別交于點A，B，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)，，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時取得最小值，所以的最小值為，故選：A【變式7-2】已知直線與函數(shù)，的圖像分別交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，所以的最小值為，故選：D.題型八：直線與兩曲線交點的距離【典例8-1】已知直線與曲線，分別交于點，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．e【答案】B【解析】設(shè)與直線垂直，且與相切的直線為，設(shè)與直線垂直，且與相切的直線為，所以，，設(shè)直線與的切點為，因為，所以，解得，，即，設(shè)直線與的切點為，因為，所以，解得，，即，此時，所以，當(dāng)直線與直線重合時，最小，最小值為.故選：B【典例8-2】（2024·陜西安康·三模）已知直線分別與直線、曲線交于點A，B，則線段AB長度的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】令，則，時，，時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．所以直線在曲線的上方，由，則，由，則，則．令，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，．故選：C．【變式8-1】（2024·福建莆田·一模）已知直線分別與直線及曲線交于A,B兩點，則A,B兩點間距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，由，得，，，，則，，則，在上遞減，在上遞增，，即兩點間距離的最小值為，故選：D.1．已知直線與曲線和直線分別交于P，Q兩點，則的最小值為．【答案】4【解析】設(shè)點P到直線的距離為d，則，所以當(dāng)點P到直線的距離最小時最小，又當(dāng)曲線在點P處的切線與直線平行時d最小，所以此時最小，設(shè)，因為函數(shù)的定義域為，，令，解得或（舍去），所以切點為，點P到直線的距離，所以的最小值為4，故答案為：4.2．（2024·高三·山東聊城·期末）最優(yōu)化原理是指要求目前存在的多種可能的方案中，選出最合理的，達到事先規(guī)定的最優(yōu)目標的方案，這類問題稱之為最優(yōu)化問題.為了解決實際生活中的最優(yōu)化問題，我們常常需要在數(shù)學(xué)模型中求最大值或者最小值.下面是一個有關(guān)曲線與直線上點的距離的最值問題，請你利用所學(xué)知識來解答：若點是曲線上任意一點，則到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)，可得，令，可得，因為，可得，則，即平行于直線且與曲線相切的切點坐標為，由點到直線的距離公式，可得點到直線的距離為.故選：B3．曲線上的點到直線的距離的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】設(shè)與已知直線平行且與曲線相切的直線為，則，解得，所以切點為，代入切線方程，可得，即切線為，由兩平行線間的距離，所以最小值為，故選：C．4．已知點P是曲線上任意一點，點Q是直線上任一點，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為全體正實數(shù)，，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，函數(shù)圖象如下圖：過點的曲線的切線與直線平行時，最小，即有，所以，故選：A5．若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】過點作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時，點到直線距離最小.設(shè)切點為，所以切線斜率為，由題知，解得或（舍），，此時點到直線距離.故選：D6．若動點在曲線上，則動點到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，由題意知，則在點處的切線斜率為，當(dāng)在點處的切線與直線平行時，點到直線的距離最小，由，得，則，所以點到直線的距離.所以動點到直線的距離的最小值為.故選：A7．設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】與互為反函數(shù)，它們圖像關(guān)于直線對稱；故可先求點P到直線的最近距離d，又，當(dāng)曲線上切線的斜率時，得，，則切點到直線的距離為，所以的最小值為．故選：D．8．設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】與互為反函數(shù)，所以與的圖像關(guān)于直線對稱，設(shè)，則，令得，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以與無交點，則與也無交點，下面求出曲線上的點到直線的最小距離，設(shè)與直線平行且與曲線相切的切點，，，，解得，，得到切點，到直線的距離，的最小值為，故選：D．9．（2024·四川·一模）若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】過點作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時，點到直線距離的最小.設(shè)切點為，，所以，切線斜率為，由題知得或（舍），所以，，此時點到直線距離.故選：C10．若點，，則、兩點間距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】點在直線，點在上，，設(shè)的切線的切點為，令，所以在點處的切線為,此時切線與直線平行，直線與之間的距離為的最小值，故選：B11．已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，則點在函數(shù)上，，則點在函數(shù)上，則表示、兩點的距離的平方，要求的最小值，即求的最小值，當(dāng)過的點切線與直線平行時，點到直線的距離即為的最小值，由可得，所以，解得，所以，即，所以到的距離，即，所以的最小值為；故選：C12．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，點是函數(shù)圖像上一點，點是直線上一點函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，所以其圖像上一點處切線的斜率為當(dāng)過點的切線與直線平行時，點與點之間的距離最小且兩點間的距離可轉(zhuǎn)化兩平行線之間的距離此時有，，從而可得此時函數(shù)圖像上過點的切線方程為化簡為，其與直線間的距離為所以的最小值為.故選：C.13．已知實數(shù)a，b，c，d滿足：，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則的最小值是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】因為實數(shù)a，b，c，d滿足：，所以，.所以點在曲線上，點在上.所以的幾何意義就是曲線上的任一點到上的任一點的距離的平方.由幾何意義可知，當(dāng)?shù)哪骋粭l切線與平行時，兩平行線間距離最小.設(shè)在點處的切線與平行，則有：，解得：，即切點為.此時到直線的距離為就是兩曲線間距離的最小值，所以的最小值為.故選：B14．（2024·新疆·二模）若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得，，則的最小值即為曲線的點到直線的距離最小值的平方，設(shè)，則，令，解得，，曲線與平行的切線相切于，則所求距離的最小值為點到直線的距離的平方，即.故選：D.15．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】可以轉(zhuǎn)化為：是函數(shù)圖象上的點，是函數(shù)上的點，.當(dāng)與直線平行且與的圖象相切時，切點到直線的距離為的最小值.令，解得或，（舍去），又，所以切點到直線的距離即為的最小值.所以，所以.故選：B.16．在平面直角坐標系中，已知，，則的最小值為（

）A．9 B． C． D．【答案】B【解析】由，則，又，的最小值轉(zhuǎn)化為：上的點與上的點的距離的平方的最小值，由，得：，與平行的直線的斜率為1，∴，解得或（舍，可得切點為，切點到直線之間的距離的平方，即為的最小值，的最小值為：.故選：B.17．（2024·山東·模擬預(yù)測）若，，，求的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】問題可以轉(zhuǎn)化為：是函數(shù)圖象上的點，是函數(shù)上的點，.當(dāng)與直線平行且與的圖象相切時，切點到直線的距離為的最小值.，舍去負值，又，所以到直線的距離即為的最小值.，.故選：C.18．已知實數(shù)滿足，則的最小