6三角函數解答題一、答題概要?1．基本公式應用?：（1）明確已知條件（角∕邊關系），優先使用正弦定理、余弦定理構建方程．（2）活用二倍角、和差角公式化簡復合三角函數表達式．?2．恒等變形與幾何結合?：（1）含參問題通過主元法或換元統一變量，結合角度范圍（象限符號）確定參數約束?．（2）實際應用題（如高度測量）轉化為直角三角形模型，勾股定理與三角函數結合求解．?3．綜合進階技巧?：（1）面積公式（S=ab·sinC）與均值不等式結合求最值．（2）虛設零點法處理三角方程，結合周期性縮小解的范圍?．?4．易錯點?：（1）角度范圍漏判（如鈍角余弦為負）導致多解或錯解；（2）忽略三角形隱含條件（如兩邊之和大于第三邊）．?示例?：已知△ABC中，a=2，cosB=，求b取值范圍．?解?：余弦定理得b2=4+c2－，結合三角形存在條件（︱c－2︱＜b＜c+2）聯立求解?．二、典例解析例1如圖，在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知（b+c）cosA－acosB－acosC=0，（1）求角A；（2）若D為線段BC延長線上一點，且∠CAD=，BD=3CD，求tan∠ACB．解：思路1角函數化邊，有……b2－bc+c2=a2，∴．思路2邊化角函數（名），有（2RsinB+2RsinC）cosA－2RsinAcosB－2RsinAcosC=0ABCD……sin（B－A）=sin（A－C）B－A=A－C（另一個舍去）ABCD分別在△ABC和△ACD中，應用正弦定理．設∠ACB=，則∠B=120－，∠D=－45，，，結合BC=2CD，∴兩式相除，有2sin45sin（120－）=sin60sin（－45）……．例2已知函數．（1）求f（x）的最小正周期及圖象的對稱中心；（2）若a、b、c是△ABC的三邊，且a=1，，b2=c2+a2+ca，求△ABC的面積S△ABC的大小．解：（1）∵，∴f（x）的最小正周期．由有，故y=f（x）圖象的對稱中心為（，0）（k∈Z）．（2）由（1）及有，所以，即有．①又由b2=c2+a2+ca有，所以，從而，所以cosA+sinA＞0，由①知2（cosA－sinA）2=1，進而，所以，因此，．根據正弦定理，得．故S△ABC=．例3（四川高考題）如圖，A，B，C，D為平面四邊形ABCD的四個內角．（1）證明：；（2）若A+C=180，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求的值．BADCBADCBADC5634（2）由A+C=180，得C=180－ABADC5634由（1）的結論可得待求式==．連接BD，在△ABD中，根據余弦定理，得BD2=AB2+AD2－2AB·ADcosA；在△BCD中，根據余弦定理，得BD2=BC2+CD2－2BC·CDcosC，BADOCyx5634所以AB2+AD2－2AB·ADcosA=BC2BADOCyx5634代入數值，可解得，于是．連接AC，同理可得，，因此．（2）另法：延長AD、BC相交于O，設OC=x，OD=y．∵若A+C=180，∴∠DCO=∠A，∴△ABO∽△CDO，∴，代值得，．于是，在△OAB中，OA=，AB=6，OB=，所以△OAB的周長為2s=+6+=30，半周長為s=15．根據海倫公式，得△OAB的面積S=．因此S=AB·OAsinA=AB·OBsinB，，，所以=．例4在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（1）求A的大小；（2）若sinB+sinC=1，試判斷△ABC的形狀．解：（1）由已知，結合正弦定理，化角（三角函數）為邊，得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c，即a2=b2+c2+bc．又由余弦定理，得a2=b2+c2－2bccosA，所以bc=－2bccosA，即cosA=－eq\f(1,2)．由于A為△ABC的內角，所以A=eq\f(2π,3)．（2）由已知條件，結合正弦定理，化邊為角（三角函數）得2sin2A=（2sinB+sinC）sinB+（2sinC+sinB）sinC，即sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC=sin2eq\f(2π,3)=eq\f(3,4)．又由sinB+sinC=1，得sin2B+sin2C+2sinBsinC=1，所以sinBsinC=eq\f(1,4)，結合sinB+sinC=1，解得sinB=sinC=eq\f(1,2)．因為B+C=π－A=eq\f(π,3)，所以B=C=eq\f(π,6)，故△ABC是等腰三角形．例5（2022新高考卷）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）求的最小值．解：（1）因為，即，而，所以．（2）由（1）知，所以，而=，所以，即有．所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為．例6（2022新高考卷）記△ABC的三個內角分別為A，B，C，其對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1，S2，S3，已知，．（1）求△ABC的面積；（2）若，求b．解：（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得accosB=1，則，又，則，，則．（2）由正弦定理，得，則，．例7在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知，．（1）求sinA的值；（2）若b=11，求△ABC的面積．解：（1）由于，0＜C＜，則．因為，則由正弦定理知，則．（2）因為，由余弦定理，得，即a2+6a－55=0，解得a=5．而，b=11，所以△ABC的面積．例8（2024年高考北京卷）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∠A為鈍角，a=7，．（1）求∠A；（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得△ABC存在，求△ABC的面積．條件①：b=7；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．解：（1）由題意得，因為A為鈍角，則cosB≠0，則，則，解得，因為A為鈍角，則．（2）選擇①b=7，則，因為，則B為銳角，則，此時A+B=，不合題意，舍棄．選擇②，因為B為三角形內角，則，則代入，解得b=3，sinC=sin（A+B）=，則S△ABC=．選擇③，則有，解得c=5，則由正弦定理，得，結合，得sinC=，因為C為三角形內角，則，則sinB=sin（A+C）=，則S△ABC=．三、自主演練1．設a，b，c為非零實數，若關于x的方程，在[，]內有兩個不相等的實數根，，且+=，求的值．解：由題意可知，此時，其中＞0．（1）當0＜≤時，＜≤x+≤≤，于是+++==，此時．（2）當＜＜，此時0＜≤x+≤＜，于是+++==，不滿足題意．綜上所述．2．（2022年天津高考）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c．已知a=，b=2c，．（1）求c的值；（2）求sinB的值；（3）求sin（2A－B）的值．解：（1）因為a2=b2+c2－2bccosA，即，而b=2c，代入得6=4c2+c2+c2，解得c=1．（2）由（1）可求出b=2，而0＜A＜，所以，所以．（3）因為，所以，故，所以，，進而，故sin（2A－B）=sin2AcosB－cos2AsinB=．事實上，還可以求出的面積、外接圓、內切圓的半徑等量．3．（2024年上海高考改變）已知點B在點C正北方向，點D在點C的正東方向，CD=2BC=10，存在點A滿足∠CAB=30，∠CAD=45．求：（1）∠BCA的大小；（2）四邊形ABCD的面積．ABCD解：（1）畫出示意圖，設∠BCA=，則∠ACD=90ABCD在△ABC中，由正弦定理，得，即，即．①在△ACD中，由正弦定理，得，即，于是．②因為CD=2BC，則①÷②，得sin135cos+cos135sin=sin45（sin150cos－cos150sin）∠BCA==15．（2）在△ABC中，∠ABC=180－30－15=135，由正弦定理，得，所以AC=．四邊形ABCD的面積=S△ABC+S△ACD==（平方單位）．4．（2023年北京高考）設函數f（x）=sinxcos+cosxsin（＞0，︱︱＜）．（1）若，求的值．（2）已知f（x）在區間[，]上單調遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數f（x）存在，求，的值．條件①：；條件②：；條件③：f（x）在區間[，]上單調遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．解：（1）因為f（x）=sinxcos+cosxsin=sin（x+），＞0，︱︱＜，所以f（0）=sin（·0+）=sin=，所以．（2）因為f（x）=sin（x+），所以f（x）的最大值為1，最小值為－1．若選條件①：則無解，故條件①不能使函數f（x）存在．若選條件②：因為f（x）在[，]上單調遞增，且，，所以，所以T=2，于是=，所以f（x）=sin（x+）．有，所以，結合前提條件的．若選條件③：因為f（x）在[，]上單調遞增，在[，]上單調遞減，所以f（x）在處取得最小值－1，即．以下與條件②相同．5．（2023年全國高考甲卷）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求bc；（2）若，求△ABC面積．解：（1）因為a2=b2+c2－2bccosA，所以，得bc=1．（2）由正弦定理，可得=，變形，可得sin（A－B）－sin（A+B）=sinB，即－2cosAsinB=sinB，而0＜sinB≤1，所以，結合0＜A＜，得，故△ABC的面積為S△ABC=．ABCD6．（2023年新課標全國Ⅱ卷）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為，D為BC中點，且ADABCD（1）若∠ADC=，求tanB；（2）若b2+c2=8，求b，c．解：（1）在△ABC中，因為D為BC中點，∠ADC=，AD=1，則S△ADC=S△ABC=，解得a=4，在△ABD中，∠ADB=，由余弦定理得c2=BD2+AD2－2BD·ADcos∠ADB，即，解得c=，進而，，所以．（2）在△ABD與△ACD中，由余弦定理得，，整理，得，而b2+c2=8，則．又S△ADC=，解得sin∠ADC=1，于是∠ADC=90，故b=c=2．7．如圖，觀測站C在目標A的南偏西20方向，經過A處有一條南偏東40走向的公路，在C處觀測到與C相距31km的B處有一人正沿此公路向A處行走，走20km到達D處，此時測得C，D相距21km．（1）求sin∠BDC；（2）求D，A之間的距離．解：（1）由題意知BD=20，CD=21，BC=31（單位km）．在△BCD中，由余弦定理．因為0＜∠BDC＜180，所以．（2）∵，0＜∠CDA＜180，所以．由題意知∠CAD=20+40=60．在△ACD中，由正弦定理得，所以AC=24km．由余弦定理，得，即AD2+441－6AD=576，解得AD=15，（負值已舍）．∴D，A之間的距離為15km．8．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c=1，．（1）求△ABC的外接圓半徑；（2）若△ABC為銳角三角形，求△ABC周長的取值范圍．解：（1）由可得，故a2+b2－c=ab，由于c=1，故a2+b2－c2=ab．由余弦定理，得．由于C∈（0，），所以．根據解得，即△ABC的外接圓半徑為．（2）由（1）知，，由正弦定理有，所以=，因為△ABC為銳角三角形，所以，，，解得或，所以a+b∈(，2)，進而△ABC周長的取值范圍是（，3）．9．折紙是一項玩法多樣的活動．通過折疊紙張，可以創造出各種各樣的形狀和模型，如動物、花卉、船只等．折紙不僅是一種藝術形式，還蘊含了豐富的數學知識．在紙片△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，△ABC的