教學設計課題2.3.3點到直線的距離公式課型新授課R章/單元復習課□專題復習課□習題/試卷講評課□學科實踐活動課□其他□教學內容分析本節課選自《2019人教A版高中數學選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節課主要學習點到直線的距離公式。在前面已經研究了兩點間的距離公式、直線方程、兩直線的位置關系，同時也介紹了“以數論形，以形輔數”的數學思想方法．“點到直線的距離”是從初中平面幾何的定性作圖，過渡到了解析幾何的定量計算；《點到直線的距離》的研究，又為以后直線與圓的位置關系和圓錐曲線的進一步學習奠定了基礎，具有承前啟后的重要作用．本課時內容是在建立了直線的方程，研究了兩點間距離公式基礎上展開的，通過點的坐標與直線方程得到點到直線的距離，點到直線的距離公式的推導方法有坐標法、向量法等多種不同的方法，這些方法是解析幾何研究問題時常用的方法，能夠充分體現解析幾何研究問題的途徑。兩條平行直線間的距離是點到直線的距離的自然推廣，這些公式在后續學習，如判斷直線與圓的位置關系等內容中發揮重要作用.學習者分析學生在此之前已經學習了點點距離、線線位置關系，初步掌握了“用代數的方法研究曲的性質”這一研究解析幾何問題的重要方法，并且學習了函數、三角函數、向量、不等式相關知識，這就為學生利用已學過的知識探討點到直線的距離公式做好了鋪墊。在能力上二的學生心思、思維日漸成熟，初步具備了運用所學知識解決問題的能力，但數形結合的只和思維的深刻性及運算的推理能力還需進一步的培養和加強。在情感方面多數學生具有及的學習態度，能主動參與教學活動，但少數學生的學習主動性還需要教師營造良好的學氣氛加以調動。學習目標1.會用向量工具推導點到直線的距離公式。2.掌握點到直線的距離公式,能應用點到直線距離公式解決有關距離問題。3.通過點到直線的距離公式的探索和推導過程，培養學生運用等價轉化、數形結合等數學思想方法解決問題的能力。4.通過幾何證明和代數計算培養學生數學抽象，邏輯推理，數學運算，直觀想象的能力。學習重點難點重點：點到直線的距離公式的推導思路分析；點到直線的距離公式的應用．難點：點到直線距離公式的推導.選擇解決問題的策略，化繁為簡的計算方法;“設而不求”的解析幾何運算策略，方程組的演化。聯系立體幾何中，求點到面距離的辦法引導出學生借助向量解決距離問題的策略。．學習條件支持多媒體學習活動設計過程學習內容與教師活動（引領性問題）學生任務或學習活動設計設計意圖或評價目標環節一內容1.復習回顧：兩點間的距離公式：學生任務1.學生學習活動：思考，回答公式設計意圖：為我們本節課的公式推導做鋪墊內容2.情景引入問題1：在鐵路的附近,有一大型倉庫,現要修建一條公路將倉庫和鐵路連接起來.易知,從倉庫垂直于鐵路方向所修的公路最短.將鐵路看作一條直線l,倉庫看作點P.學生任務2:獨立思考，并分析問題，把實際問題抽象出數學問題。【設計意圖】以實際問題為背景來引課，激發學生學習數學的熱情和興趣．通過生活中點到直線距離的問題情境，引出在坐標系下探究點到直線距離公式的問題.環節二內容3.如圖，已知點，直線，如何求點P到直線l的距離？提問，學生不同的思路，改進麻煩和錯誤的解法學生任務3:問題提出，學生嘗試解決問題。點P到直線l的距離，就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.因此，求出垂足Q的坐標，利用兩點間的距離公式求出，就可以得到點P到直線l的距離.設，.由，以及直線l的斜率為，可得l的垂線PQ的斜率為，因此，垂線PQ的方程為，即.解方程組，得直線l與PQ的交點坐標，即垂足Q的坐標為.于是此方法為最常規的思路來解決：求直線方程求交點（直接求出x和y的值）兩點間距離公式化簡公式．幫助學生學會聯系舊知，制定解決問題的策略，最終探索出點到直線的距離公式，讓學生感悟運用坐標法研究幾何問題的方法.環節三內容4.問題1：能否用向量方法求點到直線的距離？問題2：如何利用直線l的方程得到與l的方向向量垂直的單位向量n？設，是直線上的任意兩點，則是直線l的方向向量，把，兩式相減，得.由平面向量的數量積運算可知，向量與向量垂直.向量就是與直線l的方向向量垂直的一個單位向量學生任務4:如圖，點P到直線l的距離，就是向量的模.設是直線l上的任意一點，n是與直線l的方向向量垂直的單位向量，則是在n上的投影向量，我們取，從而.因為點在直線l上，所以.所以.代入上式，得.通過不同方法推導點到直線的距離公式，體會算法的多樣性，同時比較不同推導方法，比較算法的優劣，優化思維品質，發展學生數學運算，數學抽象和數學建模的核心素養環節四內容5：典例解析例1求點到直線的距離.例2：已知的三個頂點分別是，求的面積.學生獨立解題例1：解：點到直線的距離.例2：解：如圖，設邊AB上的高為h，則.邊AB上的高就是點到直線AB的距離.邊AB所在直線的方程為，即.點到直線的距離.因此，.在典例分析和練習中熟悉公式的基本結構，并體會點到直線距離公式的初步應用。發展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養。活動6：練一練1.點到直線的距離等于()A.7B.5C.3D.2已知點到直線的距離為1，則等于()B.C.D.3.已知直線與直線互相垂直，則點到直線的距離為()A.1B.2C.D.4.直線在軸上的截距為1，又點到的距離相等，則的方程為______.學生解決問題并總結：1.解：由點到直線的距離公式可得，故選A.2.解：由點到直線的距離公式，得，即.，故選B.3.解：由已知得，，，又，，解得.此時直線的方程為，點到直線的距離，故選C.4.解：顯然軸時符合要求，此時的方程為.當直線的斜率存在時，可設的斜率為，則的方程為，即.點到的距離相等，，的方程為.符合題意的的方程為或.設計意圖:通過練習鞏固本節所學知識，通過學生解決問題，發展學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模的核心素養環節五活動7；課堂小結——你學到了那些新知識呢？學生歸納：1.我們嘗試了兩種研究點到直線距離的方法。第一，直接找進垂足求兩點間距離，優點是思路自然，缺點是計算量大。第二，通過向量方法，同學們形成了用向量解決點到直線的距離，方法自然，計算量也小。是同學們體會數學方法的靈活性和多角度。體會數學知識間的聯系。2.點到直線的距離即是點與直線上點連線的距離的最小值，利用點到直線的距離公式，解題時要注意把直線方程化為一般式.3.利用點到直線的距離公式可求直線的方程，有時需結合圖形，數形結合，使問題更清晰.通過總結，讓學生進一步鞏固本節所學內容，提高概括能力。活動8：當堂檢測1.點(1,0)到直線x+y1=0的距離是 ()A.2B.22C.1D.2.點(5,3)到直線x+2=0的距離等于 ()A.7B.5C.3D.23.若點(3,m)到直線x+3y4=0的距離等于1,則m等于 ()A.3B.3C.33D.3或4.在平面直角坐標系Oxy中,點P(2,2)到直線4x+3y+5=0的距離為.5.在△ABC中,A(0,0),B(3,5),C(4,4),則△ABC的面積為.1.解析:由點到直線的距離公式,得點(1,0)到直線x+y1=0的距離是|-1+0-1|2=22.解析:因為直線x+2=0,即直線x=2為平行于y軸的直線,所以點(5,3)到直線x=2的距離d=|5(2)|=73.解析:根據點到直線的距離公式,得d=|3+3m-4|1+(3)2=1,解得m4.解析:由點到直線的距離公式,得d=|4×2+3×2+5|42+5.解析:由兩點間的距離公式,得|AC|由A(0,0),B(3,5),C(4,4),得|AC|=42+4AC邊所在的直線方程為