8．1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性（單元教學設計）一、【單元目標】（1）了解變量的相關關系，結合散點圖識別相關關系的類型．（2）結合實例，了解樣本相關系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解樣本相關系數(shù)與標準化數(shù)據(jù)向量夾角的關系．（3）結合實例，會通過相關系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關性．二、【單元知識結構框架】三、【學情分析】在必修課程中，學生習慣了單個變量樣本數(shù)據(jù)的直觀表示方法和統(tǒng)計特征的刻畫方法，本單元中學生對于雙變量統(tǒng)計關系的處理方法可能感到生疏和無方向，教學中要適時引導學生回顧單變量的研究方法和思想，如先直觀描述后定量刻畫、核心思想是樣本估計總體等，用類比遷移的方式幫助學生克服心理障礙和畏難情緒．四、【教學設計思路/過程】課時安排：約2課時教學重點：兩個變量間的相關關系，散點圖，樣本的相關系數(shù)．教學難點：了解樣本相關系數(shù)的統(tǒng)計含義．教學方法/過程：五、【教學問題診斷分析】環(huán)節(jié)一、情景引入，溫故知新情景：“瑞雪兆豐年”是一句流傳比較廣的農諺，它的意思是適時的冬雪預示著來年是豐收之年，是來年莊稼獲得豐收的預兆．但是冬天下幾場大雪，來年一定會獲得豐收嗎？環(huán)節(jié)二、抽象概念，內涵辨析1．相關關系問題1：下列兩個變量是否具有函數(shù)關系？（1）球的面積與半徑的關系；（2）人的身高和體重的關系；（3）角度和它的余弦值的關系；（4）父母的身高和子女的身高的關系．【破解方法】（1）（3）是函數(shù)關系；（2）（4）不是函數(shù)關系．【歸納新知】（1）相關關系兩個變量間的關系有函數(shù)關系，相關關系和不相關關系兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系．2．散點圖問題2：在一次對人體的脂肪含量和年齡之間關系的研究中，研究人員獲得了成對樣本數(shù)據(jù)如下表．年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9．517．821．225．927．526．328．2年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29．630．231．430．833．535．234．6其中各年齡對應的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù)．根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你能推斷出人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關系嗎？【破解方法】用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量，可將成對樣本數(shù)據(jù)用直角坐標系中的點表示出來，得到相應的統(tǒng)計圖如圖所示，圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，大致在一條直線附近，推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關關系．【歸納新知】（1）散點圖為直觀地描述成對樣本數(shù)據(jù)中兩個變量間的關系，用橫軸表示其中的一個變量，縱軸表示另一個變量，則成對樣本數(shù)據(jù)都可以用直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖叫做散點圖．（2）正相關、負相關從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關；如果一個變量值增加時，另一個變量的相應值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這個兩個變量負相關．（3）線性相關一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關，而且散點落在一條線附近，我們就稱這兩個變量線性相關．一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關．3．樣本相關系數(shù)問題3：設和的均值分別為和．將數(shù)據(jù)以為零點進行平移，得到平移后的成對數(shù)據(jù)為，并繪制散點圖，則繪制的散點圖有什么特征？你能利用正負相關變量的成對樣本數(shù)據(jù)平移后呈現(xiàn)的規(guī)律，構造一個度量成對樣本數(shù)據(jù)是正相關還是負相關的數(shù)字特征嗎？【破解方法】正相關時散點大多數(shù)分布在第一象限，第三象限，負相關時散點大多數(shù)分布在第二象限，第四象限．構造一個量：一般情形下，表明成對樣本數(shù)據(jù)正相關；表明成對樣本數(shù)據(jù)負相關．問題4：你認為的大小一定能度量出成對樣本數(shù)據(jù)的相關程度嗎？【破解方法】不一定．因為的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關，所以不宜直接用它度量成對樣本數(shù)據(jù)相關程度的大小．【歸納新知】（1）相關系數(shù)的計算注意：相關系數(shù)是研究變量之間線性相關程度的量假設兩個隨機變量的數(shù)據(jù)分別為，對數(shù)據(jù)作進一步的“標準化處理”處理，，分別除和（和分別為，和的均值），得，為簡單起見，把上述“標準化”處理后的成對數(shù)據(jù)分別記為，則變量和變量的樣本相關系數(shù)的計算公式如下：．（2）相關關系的強弱樣本相關系數(shù)的取值范圍為．當越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強；當越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越弱．環(huán)節(jié)三：例題練習，鞏固理解例1．有人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年內收入的總和）與商品銷售額的年數(shù)據(jù)，如表．表第年居民年收入/億元商品銷售額/萬元畫出散點圖，判斷成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關，并通過樣本相關系數(shù)判斷居民年收入與商品銷售額的相關程度和變化趨勢的異同．【解析】畫出成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖，從散點圖看，商品銷售額與居民年收入的樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出線性相關關系．設第年居民的年收入為億元，商品銷售額為萬元，則，，所以，樣本相關系數(shù)．由此可以推斷，商品銷售額與居民年收入正線性相關，即商品銷售額與居民年收入有相同的變化趨勢，且相關程度很強．例2．已知變量和變量的4對隨機觀測數(shù)據(jù)為，，計算成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)，并推斷它們的相關程度（保留3位小數(shù)）．附：．【解析】依題意，，，，，因此，所以這組成對的樣本數(shù)據(jù)相關系數(shù)為0．999，具有很強的相關性．例3．氮氧化物是一種常見的大氣污染物，下圖為我國2015年至2023年氮氧化物排放量（單位：萬噸）的折線圖，其中年份代碼1~9分別對應年份2015~2023．已知，，，．（1）可否用線性回歸模型擬合與的關系？請分別根據(jù)折線圖和相關系數(shù)加以說明．（2）若根據(jù)所給數(shù)據(jù)建立回歸模型，可否用此模型來預測2024年和2034年我國的氮氧化物排放量？請說明理由．附：相關系數(shù)．【解析】（1）從折線圖看，各點落在一條直線附近，因而可以用線性回歸模型擬合與的關系，由題意知，相關系數(shù)．故可以用線性回歸模型擬合與的關系．（2）可以預測2024年的氮氧化物排放量，但不可以預測2034年的氮氧化物排放量．理由如下：①2024年與所給數(shù)據(jù)的年份較接近，因而可以認為短期內氮氧化物排放量將延續(xù)該趨勢，故可以用此模型進行預測；②2034年與所給數(shù)據(jù)的年份相距過遠，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，這些因素在短期內可能保持不變，但從長期看很有可能會變化，因而用此模型預測可能是不準確的．環(huán)節(jié)四：小結提升，形成結構問題5：請你帶著下列問題回顧本節(jié)課學習的內容：（1）相關關系的定義和特點是什么？（2）什么是散點圖？散點圖有什么優(yōu)勢和弊端？（3）散點圖和樣本相關系數(shù)之間的關系是怎樣的？【破解方法】先讓學生思考并小組交流，再讓小組代表發(fā)言分享，教師協(xié)助完善，師生一起歸納．六、【教學成果自我檢測】環(huán)節(jié)五：目標檢測，檢驗效果1．觀察下列散點圖，其中兩個變量的相關關系判斷正確的是（

）

A．a(chǎn)為正相關，b為負相關，c為不相關 B．a(chǎn)為負相關，b為不相關，c為正相關C．a(chǎn)為負相關，b為正相關，c為不相關 D．a(chǎn)為正相關，b為不相關，c為負相關【答案】D【解析】根據(jù)散點圖，由相關性可知：圖a各點散布在從左下角到右上角的區(qū)域里，是正相關；圖b中各點分布不成帶狀，相關性不明確，所以不相關；圖c中各點分布在從左上方到右下方的區(qū)域里，是負相關．故選：D2．對變量，有觀測數(shù)據(jù)，得散點圖；對變量，有觀測數(shù)據(jù)，得散點圖2．由這兩個散點圖可以判斷（

）A．變量與正相關，與正相關 B．變量與正相關，與負相關C．變量與負相關，與正相關 D．變量與負相關，與負相關【答案】B【解析】由變量，的散點圖，知隨增大，也增大，變量與正相關，由變量，的散點圖，知隨增大，減小，與負相關．故選：B3．根據(jù)如下兩組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（

）5678910Y54．83．543224679349711A．和呈正相關，和呈正相關B．和呈負相關，和呈負相關C．和呈正相關，和呈負相關D．和呈負相關，和呈正相關【答案】D【解析】由所給數(shù)據(jù)可知，當增大時減小，和呈負相關；當增大時和增大，和呈正相關．故選：D4．下列散點圖中，兩個變量呈負相關的個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現(xiàn)減少的趨勢，則這兩個變量為負相關．結合散點圖可知，①②滿足題意，即兩個變量呈負相關的個數(shù)為2個．故選：B5．已知氣候溫度和海水表層溫度相關，且相關系數(shù)為負數(shù)，對此描述正確的是（

）A．氣候溫度高，海水表層溫度就高B．氣候溫度高，海水表層溫度就低C．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢D．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢【答案】D【解析】由于相關系數(shù)表示一個變量變化對另一個變量變化趨勢的影響，所以隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢．故選：D6．以下散點圖經(jīng)過標準化后，相關系數(shù)最大的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】對于，散點呈上升趨勢，線性相關系數(shù)為正數(shù)，這些點緊密的聚集在一條直線的附近，線性相關性強；對于，散點分布呈曲線趨勢，線性相關程度比弱；對于，散點呈下降趨勢，線性相關系數(shù)為負數(shù)；對于，散點分布比較分散，線性相關程度比弱；所以相關系數(shù)最大的是．故選：．7．為研究光照時長（小時）和種子發(fā)芽數(shù)量（顆）之間的關系，某課題研究小組采集了9組數(shù)據(jù)，繪制散點圖如圖所示，并對進行線性回歸分析．若在此圖中加上點后，再次對進行線性回歸分析，則下列說法正確的是（

）A．不具有線性相關性 B．相關系數(shù)變大C．相關系數(shù)變小 D．相關系數(shù)不變【答案】C【解析】對于A，加入點后，變量與預報變量相關性變弱，但不能說不具有線性相關性，故A錯誤；對于B，C，D，由于點遠離其他點，故加上點后，回歸效果會變差，所以相應的樣本相關系數(shù)的絕對值會變小，根據(jù)題中散點圖，顯然，所以會變小，故C正確，B，D錯誤．故選：C．8．現(xiàn)有一組樣本數(shù)據(jù)點，則該組樣本數(shù)據(jù)點的相關系數(shù)（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】根據(jù)題意可知：這些樣本數(shù)據(jù)點均在直線上，故，由直線的斜率為正，可知，所以．故選：D．9．對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關于其樣本相關系數(shù)的比較，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圖知：（1）（3）變量呈正相關，且（1）的相關性比（3）要強，則，（2）（4）變量呈負相關，且（2）的相關性比（4）要強，則，所以．故選：A10．甲、乙、丙各自研究兩個隨機變量的數(shù)據(jù)，若甲、乙、丙計算得到各自研究的兩個隨機變量的線性相關系數(shù)分別為，則這三人中，研究的兩個隨機變量的線性相關程度最高．【答案】甲【解析】由甲、乙、丙的兩個隨機變量的線性相關系數(shù)分別為，可得，所以這三人中，甲研究的兩個隨機變量的線性相關程度最高．故答案為：甲．11．某景區(qū)試賣一款紀念品，現(xiàn)統(tǒng)計了該款紀念品的定價（單位：元）與銷量（單位：百件）的對應數(shù)據(jù)，如下表所示：1212．51313．51414131198（1）求該紀念品定價的平均值和銷量的平均值；（2）計算與的相關系數(shù)；（3）由（2）的計算結果，判斷能否用線性回歸模型擬合與的關系，并說明理由．參考數(shù)據(jù)：．參考公式：相關系數(shù)．【解析】（1）由題可知，；（2）計算得，故；（3）由（2）可知，與的相關系數(shù)的絕對值近似為0．992，大于0．75且非常接近1，說明與的線性相關性很強，從而可以用線性回歸模型擬合與之間的關系．【設計意圖】落實與理解教材要求的基本教學內容．環(huán)節(jié)六：布置作業(yè)，應用遷移作業(yè)：教科書第103~104頁習題1．1第1、3題．【設計意圖】鞏固本節(jié)課的知識點．七、【教學反思】通過引入生活實例，如身高與體重、廣告投入與銷售量等，讓學生直觀感受統(tǒng)計相關性的實際