1.2集合的基本關(guān)系題型分類題型匯總【題型1判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)】【題型2求集合的子集（真子集）】【題型3判斷兩個(gè)集合是否相等】【題型4根據(jù)集合相等求參數(shù)】【題型5空集的概念判斷以及性質(zhì)與應(yīng)用】【題型6Venn圖表示集合的關(guān)系】【題型7判斷元素與集合，集合與集合的包含關(guān)系】【題型8根據(jù)集合的包含關(guān)系求參】【題型9集合關(guān)系的新定義】【鞏固練習(xí)】知識(shí)點(diǎn)解讀1.子集一般地，對(duì)于兩個(gè)集合,,如果集合中任意一個(gè)元素都是集合中的元素，我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記為或（）讀作集合包含于集合（或集合包含集合）.集合是集合的子集可用圖表示如下：或關(guān)于子集有下面的兩個(gè)性質(zhì)：（1）反身性：；（2）傳遞性：如果，且，那么.2.真子集如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記為（或），讀作集合真包含于集合（或集合真包含集合）.集合是集合的真子集可用圖表示如右.3.集合的相等如果集合，且，此時(shí)集合與集合的元素是一樣的，我們就稱集合與集合相等，記為.集合與集合相等可用圖表示如右.4.空集我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為.我們規(guī)定空集是任何一個(gè)集合的子集，空集是任何一個(gè)非空集合的真子集，即（1）（是任意一個(gè)集合）；（2）（）.題型分類練習(xí)【題型1判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)】1.若集合則的子集個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)子集的定義直接求解即可.【詳解】若集合有個(gè)元素，則其子集個(gè)數(shù)為，所以的子集個(gè)數(shù)為.故選：A2．已知集合,，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．5 C．7 D．15【答案】C【分析】由知道為奇數(shù)，從而求出集合，然后由集合的真子集公式求得結(jié)果.【詳解】∵，∴為奇數(shù)，∴，∴集合中有3個(gè)元素，∴集合的真子集個(gè)數(shù)為：.故選：C3．已知集合，，則集合的所有真子集的個(gè)數(shù)（

）A．7 B．4 C．8 D．15【答案】A【分析】先求出集合，再根據(jù)子集的定義即可求解.【詳解】依題意，所以集合B的真子集的個(gè)數(shù)為.故選：A.4．已知集合，，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合，利用集合的真子集個(gè)數(shù)公式可求得集合的真子集個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，集合的真子集個(gè)數(shù)為.故選：A.5．設(shè)集合，則集合A的子集個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．16 C．8 D．9【答案】B【分析】根據(jù)條件，先化簡(jiǎn)集合A，再利用子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由，則集合A的子集個(gè)數(shù)為.故選：B.6.設(shè)，為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合，若，，則集合的子集的個(gè)數(shù)為．【答案】32【分析】直接根據(jù)定義求出集合中的元素，再根據(jù)元素個(gè)數(shù)求出集合的子集個(gè)數(shù)即可.【詳解】因?yàn)槎x集合，且，，又，所以集合A中的元素分別為1，2，3，4，5共5個(gè)，則集合的子集的個(gè)數(shù)為.故答案為：32．7.設(shè)集合均為質(zhì)數(shù)的真子集的個(gè)數(shù)為．【答案】31【分析】利用列舉法表示集合，進(jìn)而求出其真子集個(gè)數(shù).【詳解】依題意，，所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為.故答案為：31【題型2求集合的子集（真子集）】1.（多選）下列是集合的子集的為（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】寫(xiě)出集合的所有子集即可得解.【詳解】集合的子集為．故選：ABD2.集合的子集有；其中真子集有．【答案】【分析】根據(jù)子集和真子集的定義求解即可.【詳解】集合{a，b，c}的子集有：；真子集有：.故答案為：；3（1）寫(xiě)出集合的子集和真子集．（2）寫(xiě)出集合的所有子集和真子集．（3）寫(xiě)出集合的所有子集和真子集．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析；（3）答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)子集與真子集的定義求解即可．【詳解】（1）子集：，；真子集：；（2）子集：，，，；真子集：，，；（3）子集：，，，，，，，；真子集：，，，，，，．4.設(shè)集合，列出集合A的子集.【答案】A的子集為【分析】先由條件確定集合的元素，再根據(jù)子集的定義寫(xiě)出其所有子集.【詳解】由化簡(jiǎn)可得，所以A的子集為5.已知集合，且.(1)求的值；(2)寫(xiě)出集合的所有真子集.【答案】(1)(2)，，，，，，.【分析】（1）由，求得或，結(jié)合元素的特征，即可求解；（2）由（1）知集合，根據(jù)集合子集的概念，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，不滿足集合元素的互異性，不合題意；當(dāng)時(shí)，解得或，不合題意，當(dāng)時(shí)，，符合題意；綜上，；（2）由（1）可得，故集合A的所有真子集為：，，，，，，.6.已知集合(1)若，請(qǐng)寫(xiě)出集合的所有子集；(2)若集合，且，求的取值范圍.【答案】(1)、、、(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出集合，即可寫(xiě)出集合的所有子集；（2）對(duì)集合中的元素個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式或不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，所以，集合的所有子集有：、、、.（2）解：因?yàn)椋忠韵聨追N情況討論：①當(dāng)時(shí)，對(duì)于方程，，解得；②當(dāng)集合只有一個(gè)元素時(shí)，對(duì)于方程，，可得，此時(shí)，，此時(shí)，；③當(dāng)集合有兩個(gè)元素時(shí)，因?yàn)椋瑒t，即，即關(guān)于的方程的兩根分別為、，所以，，無(wú)解.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.7.已知集合且，且(1)寫(xiě)出集合的子集，真子集；(2)求集合的子集數(shù)，非空真子集數(shù)．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)16，14【分析】（1）根據(jù)集合的子集和真子集的概念即可求解；（2）利用集合的子集和非空真子集個(gè)數(shù)的求解公式，即可得出其相應(yīng)的個(gè)數(shù)．【詳解】（1），的子集有：，，，，，，，；的真子集有：，，，，，，．（2），有4個(gè)元素，的子集數(shù)為個(gè)，的非空真子集數(shù)為個(gè)．【題型3判斷兩個(gè)集合是否相等】1.給出以下集合，其中是相等集合的有（

）A．，B．，C．，D．，【答案】D【分析】根據(jù)集合相等的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，中只有一個(gè)元素，中有兩個(gè)元素，，故，不是相等的集合；對(duì)于B，，，是空集，中有一個(gè)元素，故，不是相等的集合；對(duì)于C，，，和中各有一個(gè)元素，但元素不相同，故，不是相等的集合；對(duì)于D，解一元二次方程可得，或，故，解一元二次方程可得，或，故，和都只有兩個(gè)元素，，所以和是相等的集合．故選：D．2．下列每組集合是相等集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)集合相等的概念判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，，故，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，為點(diǎn)集，為數(shù)集，故，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，故，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，數(shù)集和數(shù)集元素一樣，故，所以D正確，故選：D.3.集合，，的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合包含關(guān)系的定義和集合相等的定義判斷即可.【詳解】根據(jù)集合的概念可知集合表示所有被除余的數(shù)以及所構(gòu)成的集合，集合表示所有被除余的數(shù)所構(gòu)成的集合，所以，集合表示所有被除余的數(shù)所構(gòu)成的集合，任取，則，，所以，，又，，所以，綜上，故選：A4.（多選）給出以下幾組集合，其中相等的集合有（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】相等集合即集合中的元素完全一致，通過(guò)此定義逐一判定各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，是點(diǎn)集,是數(shù)集，所以不是相等集合；對(duì)于選項(xiàng)B,,都表達(dá)的是奇數(shù)集，所以是相等集合；對(duì)于選項(xiàng)C，,所以是相等集合；對(duì)于選項(xiàng)D,是空集沒(méi)有元素，有元素為0，所以不是相等集合.故選：BC.5.（多選）下列集合中，可以表示為的是（

）A． B．C． D．不等式組的解集【答案】AB【分析】將各集合用列舉法表示，判斷集合是否與相等，即可得答案.【詳解】由，A符合；由，B符合；由表示點(diǎn)集合，不是數(shù)集，C不符合；由，解集為，D不符合.故選：AB6．（多選）下列各組中M，P表示相同集合的是（）A．M={x∣x=2n，n∈Z}，P={x∣x=2（n+1），n∈Z}B．M={y∣y=x2+1，x∈R}，P={x∣x=t2+1，t∈R}C．M={x∣∈Z，x∈N}，P={x∣x=2k，1≤k≤4，k∈N}D．M={y∣y=x2－1，x∈R}，P={（x，y）∣y=x2－1，x∈R}【答案】ABC【分析】根據(jù)相同集合的意義，逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閚∈Z，則n+1∈Z，因此集合M，P都表示所以偶數(shù)組成的集合，A正確，對(duì)于B，M={y∣y=x2+1，x∈R}，P={x∣x=t2+1，t∈R}，即B正確，對(duì)于C，M，P因此C正確，對(duì)于D，集合M的元素是實(shí)數(shù)，集合P的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)，因此D不正確.故選：ABC7.已知集合，則下列與相等的集合為．（填序號(hào)）①

；②；③

；④．【答案】①②【分析】解方程組可化簡(jiǎn)①，由偶次根式有意義可計(jì)算②，分別研究為奇數(shù)、為偶數(shù)可計(jì)算③，由N的定義可得④，依次判斷即可求得結(jié)果．【詳解】對(duì)于①，；對(duì)于②，中解得，故；對(duì)于③，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以；對(duì)于④，．故答案為：①②.【題型4根據(jù)集合相等求參數(shù)】1.已知集合，，且，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合相等結(jié)合集合的互異性可得的值，即可得結(jié)果.【詳解】，，若，則，或，解得，或，或，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，不滿足集合中元素的互異性，舍去，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故選：C.2．已知集合，，若，則（

）A．或2 B．或1 C． D．1【答案】D【分析】由集合相等即可求得結(jié)果.【詳解】集合，，因?yàn)椋裕獾茫蔬x：D.3.已知，若，則．【答案】1【分析】先根據(jù)分式有意義可得到的值，再根據(jù)相等集合以及集合元素的互異性得到的值，即可求得結(jié)果.【詳解】由已知得，則，所以，于是，即或，又由集合中元素的互異性知應(yīng)舍去，故，所以．故答案為：1.4．已知集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的值是．【答案】【分析】根據(jù)集合相等解方程即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕灰李}意可得且.即實(shí)數(shù)的值是.故答案為：5．已知集合，若，則.【答案】【分析】根據(jù)建立方程，求解出參數(shù)，得到答案即可.【詳解】因?yàn)榧希裕獾茫瑥亩蚀鸢笧椋骸绢}型5空集的概念判斷以及性質(zhì)與應(yīng)用】1.下列四個(gè)集合中是空集的是（

）A． B．C．，或 D．【答案】B【分析】根據(jù)空集的定義進(jìn)行判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A，不是空集，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，無(wú)解，所以集合是空集，故B正確；對(duì)于C，集合，或不是空集，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，集合不是空集，故D錯(cuò)誤.故選：B.2.下列四個(gè)集合中是空集的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空集的定義，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】對(duì)于A,集合中有一個(gè)元素，故不是空集，對(duì)于B,方程無(wú)實(shí)數(shù)解，∴集合為空集，對(duì)于C，是無(wú)限集，所以不是空集，對(duì)于D,，不是空集.故選：B．3.下列集合中為的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的表示方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由集合中有一個(gè)元素，不符合題意；對(duì)于B中，由集合中有一個(gè)元素，不符合題意；對(duì)于C中，由方程，即，此時(shí)方程無(wú)解，可得，符合題意；對(duì)于D中，不等式，解得，，不符合題意.故選：C.4.下列四個(gè)說(shuō)法中，正確的有（

）①空集沒(méi)有子集；②空集是任何集合的真子集；③若，則；④任何集合至少有兩個(gè)子集．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)空集的性質(zhì)判斷即可.【詳解】①空集是任何集合的子集，所以①錯(cuò)；②空集是任何非空集合的真子集，所以②錯(cuò)；③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③錯(cuò)；④空集只有自己本身一個(gè)子集，所以④錯(cuò).故選：A.5．下列命題中正確的是（

）A．空集沒(méi)有子集B．空集是任何一個(gè)集合的真子集C．任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集D．設(shè)集合，那么，若，則【答案】D【解析】根據(jù)集合的相關(guān)概念，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果【詳解】A選項(xiàng)，空集是其本身的子集，A錯(cuò)；B選項(xiàng)，空集是任一非空集合的真子集，B錯(cuò)；C選項(xiàng)，空集只有一個(gè)子集，即是空集本身；C錯(cuò)；D選項(xiàng)，若，則中元素都在中，中沒(méi)有的元素，則中也沒(méi)有；故D正確.故選：D.6.（多選）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由題意得，根據(jù)相等集合和子集的定義即可判斷.【詳解】由題意得，，則且，可得A，C，D正確.故選：ACD.7.若集合是空集，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用空集的意義，結(jié)合一元二次方程根的情況求得答案.【詳解】集合是空集，則關(guān)于的方程無(wú)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，方程為有兩個(gè)不等實(shí)根，不符合要求，當(dāng)時(shí)，，方程無(wú)實(shí)根，所以的取值范圍是.故選：B8.若集合有且僅有1個(gè)子集，則a的值可以為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)子集個(gè)數(shù)確定是空集，然后由方程無(wú)實(shí)數(shù)解得參數(shù)范圍，確定正確選項(xiàng)．【詳解】由集合A有且僅有1個(gè)子集可知，A是，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得．故選：C．9.已知a是實(shí)數(shù)，若集合是任何集合的子集，則a的取值范圍值是.【答案】【分析】根據(jù)題意分析可知方程無(wú)解，結(jié)合判別式分析求解.【詳解】由題意可知：集合是空集，即方程無(wú)解，則，解得，所以a的取值范圍值是.故答案為：.10．已知集合，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)空集的定義，要使集合，則，解之即可求解.【詳解】∵，∴，解得，因此實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故答案為：.【題型6Venn圖表示集合的關(guān)系】1.下列表示集合和的關(guān)系的Venn圖正確的是．A． B．C． D．【答案】B【分析】先用列舉法表示,根據(jù)與的關(guān)系判斷Venn圖即可【詳解】由,即,可知,故選B【點(diǎn)睛】本題考查列舉法表示集合,Venn圖表示集合之間的關(guān)系2．已知集合，則M與N的關(guān)系可用Venn圖表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由集合關(guān)系與Venn圖的關(guān)系判斷．【詳解】由已知，選項(xiàng)D符合．故選：D．3．能正確表示集合和集合的關(guān)系的Venn圖是()A． B．C． D．【答案】B【分析】本題先解出中的一元二次方程，再利用集合間關(guān)系的判斷以及用venn圖表示集合的關(guān)系即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，易得為方程的解集，解可得或，則，而，易得；分析選項(xiàng)可得，B符合；故選：B.4．下列Venn圖能正確表示集合和關(guān)系的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】確定集合，的關(guān)系，然后選擇合適的圖象即可.【詳解】，又，所以，選項(xiàng)B符合，故選：B.【題型7判斷元素與集合，集合與集合的包含關(guān)系】1.下列集合之間關(guān)系正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】化簡(jiǎn)各選項(xiàng)中的集合，利用集合相等和集合的包含關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，故，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，為數(shù)集，為點(diǎn)集，則、無(wú)包含關(guān)系，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，故，D錯(cuò).故選：B.2．下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).故選：D.3．已知集合，則（

）A． B．C．? D．?【答案】C【分析】由集合，即可判斷集合間的關(guān)系.【詳解】由，顯然為奇數(shù)，而，所以?.故選：C4．下列六個(gè)關(guān)系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】①根據(jù)子集的定義判斷；②根據(jù)集合中的元素的特征判斷；③根據(jù)集合中有一個(gè)元素0判斷；④根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷；⑤根據(jù)集合與集合的關(guān)系判斷；⑥根據(jù)空集是任意集合的子集判斷.【詳解】依據(jù)子集定義，任何集合都是自身的子集，①正確；集合中的元素具有無(wú)序性，②正確；集合中有一個(gè)元素0，不是空集，③正確；0是集合中的元素，所以，④正確；空集和集合兩個(gè)集合的關(guān)系為包含關(guān)系不是屬于關(guān)系，⑤錯(cuò)誤；由于空集是任意集合的子集，則，⑥正確；故選：C5．若，則以下正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合間的關(guān)系判斷即可【詳解】對(duì)于A，為元素，為集合，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，為集合，為集合，且，所以，故B正確；對(duì)于C，為集合，是有序數(shù)對(duì)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，為集合，為集合，且，故，故D錯(cuò)誤.故選：B6.已知集合，，則集合M與N的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解方程確定集合，然后由子集、真子集的定義判斷．【詳解】解方程，得或，則，因?yàn)榍遥遥裕忠驗(yàn)榈裕蔬x：C．7.．，A、B、C之間有什么關(guān)系？【答案】（子集符號(hào)也可以寫(xiě)出真子集）.【分析】根據(jù)包含關(guān)系分析判斷.【詳解】因?yàn)椋芍裕ㄗ蛹?hào)也可以寫(xiě)出真子集）.8．指出下列各對(duì)集合之間的關(guān)系：(1)，；(2)，；(3)為正整數(shù)}，，為正整數(shù)}．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合子集的定義，舉例即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合子集的定義，理解的倍數(shù)一定是的倍數(shù)，的倍數(shù)不一定是的倍數(shù)，即可求解；（3）根據(jù)已知條件，結(jié)合子集的定義，注意奇數(shù)1即可求解．【詳解】（1）解：的唯一元素，又，；（2）解：，，，，的倍數(shù)一定是的倍數(shù)，的倍數(shù)不一定是的倍數(shù)，例如：，；（3）解：為正整數(shù)}正奇數(shù)，，為正整數(shù)}不小于3的正奇數(shù)，．【題型8根據(jù)集合的包含關(guān)系求參】1.已知集合，若，則的值為（

）A．1 B． C． D．2或【答案】A【分析】由集合包含關(guān)系，分，兩類情況討論即可.【詳解】.當(dāng)時(shí)，，則，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，則，即，符合題意.故選：A2．已知集合，，若，則（

）A．0 B． C．1 D．0或1【答案】C【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系，分類討論，即可求解a的值．【詳解】因?yàn)榧希裕曰颍簦瑒t，此時(shí)，滿足題意；若，則，此時(shí)集合不滿足集合元素的互異性，舍去．綜上，．故選：C．3.已知集合，，若，則（

）A．1 B． C．1或0 D．1或【答案】D【分析】由得或求出值，并根據(jù)集合元素互異性檢驗(yàn)得解.【詳解】因?yàn)椋?dāng)，即時(shí)，，，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，，，符合題意．綜上，或．故選：D．4．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合間的包含關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)椋遥裕詫?shí)數(shù)的取值范圍是，故選:D.5.已知，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的基本關(guān)系分類討論計(jì)算求參即可.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)，即時(shí)，，滿足，即；當(dāng)，即時(shí)，，滿足，即；當(dāng)，即時(shí)，由，得，，即；綜上，．故選：C．6.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式求結(jié)論即可.【詳解】因?yàn)椋裕裕蚀鸢笧椋?．已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【分析】由集合包含關(guān)系得到即可求解；【詳解】由題意可知，解得：，故答案為：8.若集合，，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】或0【分析】根據(jù)，可分類討論，，時(shí)的值，從而可求解.【詳解】由題意知，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上，的值為或.9.已知集合.(1)若，求實(shí)數(shù)的取值集合.(2)若的子集有兩個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值集合.(3)若且，求實(shí)數(shù)的取值集合.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)，可得，再分和兩種情況討論即可；（2）由題意可得集合中只有一個(gè)元素，再分和兩種情況討論即可；（3）先根據(jù)求出，進(jìn)而求出集合，再分和兩種情況討論即可.【詳解】（1）因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，則，與題意矛盾，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值集合為；（2）因?yàn)榈淖蛹袃蓚€(gè)，所以集合中只有一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，則，符合題意，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值集合為；（3）因?yàn)椋裕獾茫裕?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋曰颍獾没颍C上所述，實(shí)數(shù)的取值集合為.10.已知集合，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)集合的基本關(guān)系得出不等式組計(jì)算即可.【詳解】由于，在數(shù)軸上表示A，B，如圖，可得解得所以的取值范圍是．11．已知集合，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】．【分析】先將集合化簡(jiǎn)，再分與討論，即可得到結(jié)果.【詳解】由解得，所以，且，當(dāng)時(shí)，符合，則，解得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，要使，則，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.12．已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根對(duì)應(yīng)的取值構(gòu)成集合，集合.(1)求集合；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)判別式求解出結(jié)果；（2）分類討論和，列出不等式組求解出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)橛袑?shí)根，所以，解得，所以.（2）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕獾茫C上所述，的取值范圍是或.13．設(shè)集合．(1)當(dāng)時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)；(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2){或}【分析】（1）先解不等式確定集合A，再由元素個(gè)數(shù)計(jì)算非空真子集即可；（2）根據(jù)集合間的基本關(guān)系，分類討論B是否為空集計(jì)算即可.【詳解】（1）由知，且可得，所以A的非空真子集的個(gè)數(shù)為；（2）因?yàn)椋簦瑒t，可得；若，則，解之得；綜上所述：實(shí)數(shù)m的取值范圍為{或}.【題型9集合關(guān)系的新定義】1.對(duì)于非空集合（，），其所有元素的幾何平均數(shù)記為，即．若非空數(shù)集滿足下列兩個(gè)條件：①?；②，則稱為的一個(gè)“保均值真子集”，則集合的“保均值真子集”的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4C．6 D．8【答案】C【分析】先求出，再結(jié)合“保均值真子集”的概念列舉集合的“保均值真子集”即可得到答案.【詳解】因?yàn)榧希瑒t，所以集合的“保均值真子集”有：,,,,,，共6個(gè)．故選：C2.（多選）已知，記為集合中元素的個(gè)數(shù)，為集合中的最小元素．若非空數(shù)集，且滿足，則稱集合為“階完美集”．記為全部階完美集的個(gè)數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．B．將階完美集的元素全部加1，得到的新集合，是階完美集C．若為階完美集，且，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為D．若為階完美集，且，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為【答案】ABD【分析】通過(guò)對(duì)不同階數(shù)完美集的子集情況進(jìn)行分析來(lái)確定集合個(gè)數(shù)，同時(shí)依據(jù)完美集的性質(zhì)判斷相關(guān)結(jié)論的正確性.【詳解】當(dāng)非空數(shù)集是子集中含個(gè)元素的子集時(shí)，.根據(jù)“n階完美集”的定義，中大于等于的數(shù)有、、、共個(gè)，所以此時(shí)可以是、、、.當(dāng)非空數(shù)集是子集中含個(gè)元素的子集時(shí)，.中大于等于的數(shù)有、、共個(gè)，所以此時(shí)可以是、、.當(dāng)非空數(shù)集是子集中含個(gè)元素的子集時(shí)，.中大于等于的數(shù)有、共個(gè)，不滿足“n階完美集”的定義，所以中個(gè)元素的子集不滿足.同理，中含個(gè)元素的子集也不滿足.綜上，4階完美集有、、、、、、，所以，故A正確.若將“n階完美集”中元素全部加，中元素個(gè)數(shù)不變，但加變大，均不違背“階完美集”的定義，所以得到的新集合是一個(gè)“階完美集”，故B正確.若，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為7，而,C錯(cuò)誤；對(duì)于滿足“階完美集”的所有，不屬于所有，可視為退化為“階完美集”的情況，總個(gè)數(shù)為.又因?yàn)椋詽M足條件的集合要排除掉“階完美集”中只含有個(gè)元素的情形（排除個(gè)單元素集合），因此滿足條件的集合的個(gè)數(shù)均為，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：新定義題型，關(guān)鍵就是讀懂題意，將陌生的概念轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)，再借助舊知解題即可.3.設(shè)集合，對(duì)和，定義：．已知集合是的子集，對(duì)任意，滿足：當(dāng)，時(shí)，為偶數(shù)，否則為奇數(shù)，則中元素個(gè)數(shù)的最大值為．【答案】【分析】先列舉出兩個(gè)元素和的取值，再結(jié)合條件，進(jìn)行分類討論，即可求解.【詳解】集合中任取兩個(gè)元素和對(duì)應(yīng)坐標(biāo)計(jì)算結(jié)果如下表：000010100111因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，為偶數(shù)，所以集合中任一元素含有1的個(gè)數(shù)為0，2或4，分別如下：①；②，，，，，；③，根據(jù)題意，可知集合中至多含以上8個(gè)元素．當(dāng)和不同時(shí)，因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以和的四個(gè)對(duì)應(yīng)位置都為1的恰有1個(gè)或3個(gè)，若中不含第②類元素，則中至多1個(gè)元素，若中含第②類元素，不妨設(shè)，則第①和③類的兩個(gè)元素不在中，對(duì)于第②類元素中，不在中，其余都可以是的元素，所以集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為5，故答案為：.4.對(duì)非空數(shù)集及實(shí)數(shù)，定義，，已知．(1)當(dāng)時(shí)，若集合為單元素集，求；(2)當(dāng)時(shí)，若集合，求的所有取值構(gòu)成的集合；(3)若中有3個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)(3)【分析】（1）代入，根據(jù)列出方程求解出的值，則結(jié)果可知；（2）代入，根據(jù)列出方程組，化簡(jiǎn)方程組結(jié)合韋達(dá)定理求解出結(jié)果；（3）根據(jù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合方程組解的情況進(jìn)行分類討論，由此求解出結(jié)果.【詳解】（1）時(shí)，設(shè)，由，得，所以，即，得或1，故或.（2）時(shí)，，由，得，得或，即或，當(dāng)時(shí)，是方程的兩根，故，當(dāng)時(shí)，兩式相減得，由集合中元素的互異性得，所以，故，即，同理，故是方程的兩根，所以，故ab的所有取值構(gòu)成的集合為.（3）設(shè)，由，得，①若，故是方程的三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，而此方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不可能有三個(gè)實(shí)數(shù)根，故不成立；②若，當(dāng)時(shí)，，令，得，對(duì)，，兩式相減得，因?yàn)椋裕耄茫恚蕿榉匠痰膬蓚€(gè)不相等的實(shí)根，令，得，當(dāng)時(shí)，與均有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且這兩個(gè)方程的根不完全相同，故符合題意；③若，則，由得，則，，，得，因?yàn)椋裕?則由上式得,，，所以，即此種情況下，綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題屬于集合中的新定義問(wèn)題，解答問(wèn)題的關(guān)鍵在于對(duì)定義的理解；前兩問(wèn)通過(guò)將新定義的集合中元素關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題進(jìn)行直接求解；第三問(wèn)需要對(duì)可能成立的方程組進(jìn)行是否有解的分析與判斷，注意元素的不同對(duì)應(yīng)關(guān)系.5.對(duì)于給定的集合，若存在滿足如下條件的集合：①，若，則；②，若，則，則稱為的共軛集合．(1)若，求的存在共軛集合；(2)若，，存在恰有個(gè)元素的共軛集合，求證：；(3)若集合存在共軛集合，且，求集合中的元素個(gè)數(shù)的最大值．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)詳解；(3)4.【分析】（1）根據(jù)共軛集合的定義，以及，可知，再說(shuō)明集合中沒(méi)有第4個(gè)元素即可得解；（2）設(shè)，假設(shè)，由條件①結(jié)合條件②推出矛盾，假設(shè)不成立，即可得證；（3）由題意設(shè)，由條件①和條件②逐步分析得即可由得解.【詳解】（1）因?yàn)椋深}意可得：，即，此時(shí)，滿足題意；假設(shè)集合中還有第4個(gè)元素，則由題意知：若，即或，此時(shí)，故不成立，若，則，所以或4或8，這與元素的互異性矛盾，綜上所述，集合中沒(méi)有第4個(gè)元素，所以的共軛集合.（2）不妨設(shè)，恰有個(gè)元素的共軛集合為，假設(shè)，即，則，，且，由條件②，因?yàn)椋视校矗裕瑒t.因?yàn)榧嫌?個(gè)元素，故設(shè)，若，則或，此時(shí)，矛盾.若，則，所以或或，即或或，這與集合元素的互異性矛盾.故假設(shè)不成立，即.（3）不妨設(shè)，的共軛集合為，.所以，，又因?yàn)椋?同理.若，由（2）可知：，從而.對(duì)于任意的，有，即，所以，解得.若，即，，故，所以，故，從而，對(duì)任意的，必有，即，所以，解得.綜上所述，的最大值為4.當(dāng)時(shí)，，符合題意.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在理解相關(guān)新概念、新定義時(shí)，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過(guò)推理、運(yùn)算等解決問(wèn)題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì)，主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì)，此題的落腳點(diǎn)仍然是集合中元素的互異性，確定性，無(wú)序性.鞏固練習(xí)【選擇題】1.設(shè)集合，，則B的非空子集個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】根據(jù)集合的含義得到集合的元素，然后求非空子集個(gè)數(shù)即可【詳解】要使，，則，故B中含有三個(gè)元素，所以B的非空子集有，，，，，，共7個(gè)．故選：C.2.下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用集合與集合的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，集合中的元素在集合中，，A正確；對(duì)于B，集合與集合中的元素相同，，B正確；對(duì)于C，集合中的元素都在集合中，，C正確；對(duì)于D，集合中的元素不是空集，不正確，D錯(cuò)誤.故選：D3.已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合選項(xiàng)逐項(xiàng)分析即可.【詳解】由題意可得：，所以，，，，即不是集合M的子集，故B正確，ACD錯(cuò)誤.故選：B.4.下列四個(gè)命題：①空集沒(méi)有子集；②空集是任何一個(gè)集合的真子集；③?＝{0}；④任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)空集的定義和性質(zhì)判斷即可.【詳解】因?yàn)榭占瞧浔旧淼淖蛹盛馘e(cuò)誤；空集只有本身一個(gè)子集，故②④錯(cuò)誤；空集沒(méi)有元素，而集合{0}含有一個(gè)元素0，故③錯(cuò)誤．故正確命題個(gè)數(shù)為0.答案：A.5.已知空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次方程無(wú)解等價(jià)于判別式小于0計(jì)算即可.【詳解】由題意，二次方程無(wú)解，故，解得.故選：D6.設(shè)集合，，且，則（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1或2【答案】B【分析】利用集合間的包含關(guān)系列出方程，求解檢驗(yàn)即得.【詳解】由題意，，則有或，解得或，顯然當(dāng)時(shí)，集合中的元素出現(xiàn)重復(fù)，與集合元素的互異性矛盾，而時(shí)，，，滿足.故選：B.7.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】由題意，因?yàn)椋醇鲜羌系淖蛹?故選：D.8.（多選）下列關(guān)于空集的說(shuō)法中，正確的有（

）A． B．? C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)空集的定義以及元素與集合、集合與集合之間的基本關(guān)系逐一判斷即可求得結(jié)果.【詳解】不含有任何元素的集合是空集，所以A錯(cuò)誤；任一集合是它自身的子集，即，所以B錯(cuò)誤；集合有一個(gè)元素為，即，所以C正確；空集任何集合的子集，所以，即D正確.故選：CD【填空題】1.集合的非空子集的個(gè)數(shù)為.【答案】7【分析】利用集合中的元素個(gè)數(shù)即可求得對(duì)應(yīng)集合的子集個(gè)數(shù)，再去除空集即可得出結(jié)果.【詳解】易知集合中有3個(gè)元素，根據(jù)元素個(gè)數(shù)與子集個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可得，集合的非空子集的個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：7.2.下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的實(shí)數(shù)解組成的集合.其中，是空集的所有序號(hào)為.【答案】②④⑥【分析】根據(jù)空集的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】①集合中含有一個(gè)元素，故不是空集；②因?yàn)椋适强占虎奂现泻幸粋€(gè)元素，故不是空集；④是空集；⑤集合中含有一個(gè)元素，故不是空集；⑥因?yàn)榉匠虥](méi)有實(shí)數(shù)解，故是空集；故答案為：②④⑥.3.已知集合的所有非空子集的所有元素之和為10，則．【答案】5【分析】寫(xiě)出集合的所有非空子集，然后根據(jù)題意列出等式，化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】集合的非空子集有，依題意,所以故答案為：5.4.集合的子集有；其中真子集有．【答案】【分析】根據(jù)子集和真子集的定義求解即可.【詳解】集合{a，b，c}的子集有：；真子集有：.故答案為：；5．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式求結(jié)論即可.【詳解】因?yàn)椋裕裕蚀鸢笧椋?．已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【分析】由集合包含關(guān)系得到即可求解；【詳解】由題意可知，解得：，故答案為：【解答題】1.已知集合．(1)若，寫(xiě)出集合A的所有子集；(2)若集合A中僅含有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】(1)(2)0或【分析】（1）求出集合A，進(jìn)而求出其子集即得.（2）按a的值是否為0，分類求解即得.【詳解】（1）若，則，所以集合A的所有子集是：，（2）當(dāng)時(shí)，方程，符合題意，因此，當(dāng)時(shí)，集合A中僅含有一個(gè)元素，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為0或.2.已知集合，.(1)若是的真子集，求的取值范圍；(2)若是的子集，求的取值范圍；(3)若，求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由真子集的定義，確定的取值范圍；（2）由子集的定義，確定的取值范圍；（3）由集合相等求出的值.【詳解】（1）

若是的真子集，則由圖知，，故的取值范圍為.（2）

若是的子集，已知，則，則由圖知，，故的取值范圍為.（3）若，則.3.集合，，若，求的值．【答案】6【分析】根據(jù)集合相等的定義，由根與系數(shù)關(guān)系求解．【詳解】由題意，，則，所以，解得．4.若由一元二次方程的實(shí)數(shù)根組成的集合是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】【分析】利用根的判別式可解.【詳解】依題意，一元二次方程無(wú)實(shí)根，則，即，解得.5.已知集合，其中是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.(1)若，求出實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)得到，結(jié)合方程的兩根得到方程，求出；（2），故，結(jié)合方程的兩根得到不等式，求出.【詳解】（1）因?yàn)椋剩值膬筛?/p>