【專題7.1拓展：內(nèi)切球與外接球】總覽題型總覽題型梳理題型題型分類知識講解與常考題型【題型1：內(nèi)切球與棱切球】【知識講解】內(nèi)切球1.定義：與多面體的各個面都相切的球稱為多面體的內(nèi)切球。此時，球心到多面體各個面的距離相等，且這個距離就是內(nèi)切球的半徑。2.性質(zhì)： 對于正多面體，其內(nèi)切球的球心位于正多面體的中心。例如正四面體，球心在正四面體的高上，且將高分為$1:3$的兩段，靠近底面的那段長度就是內(nèi)切球半徑。 一般多面體中，可通過等體積法來確定內(nèi)切球半徑。即把多面體分割成以球心為頂點，以各個面為底面的棱錐，多面體的體積等于這些棱錐體積之和，利用體積關系求解內(nèi)切球半徑。3.解題思路： 首先判斷多面體是否為特殊的正多面體，如果是，可利用正多面體的性質(zhì)直接確定球心位置和半徑與棱長等的關系來求解。 若為一般多面體，通常采用等體積法。例如，對于三棱錐，設其內(nèi)切球半徑為，表面積為，體積為，則有。先求出三棱錐的體積和表面積，再代入公式求解。棱切球1.定義：與多面體的各條棱都相切的球稱為棱切球。此時球心到多面體各條棱的距離相等。2.性質(zhì)： 對于正方體，其棱切球的直徑等于正方體的面對角線長。 在一些特殊的三棱錐中，比如正三棱錐，若底面邊長為，側(cè)棱長為，可通過構建直角三角形，利用勾股定理等關系來確定棱切球半徑與、的關系。3.解題思路： 對于特殊的多面體如正方體，根據(jù)正方體的棱長與面對角線的關系，直接得出棱切球的半徑。若正方體棱長為，則棱切球半徑。 對于一般的多面體，需要找到球心到棱的距離關系。通常是通過找出多面體中的特殊三角形，利用勾股定理、三角函數(shù)等知識來求解棱切球半徑。例如，在一個三棱錐中，找到一個包含棱和球心的截面，該截面是一個直角三角形或可通過其他條件求出邊長的三角形，然后根據(jù)三角形的邊長關系來計算棱切球半徑。例題精選例題精選【例題1】（2324高二下·廣西南寧·階段練習）已知圓錐PO的頂點為P，其三條母線PA，PB，PC兩兩垂直.且母線長為6.則圓錐PO的內(nèi)切球表面積為（

）A． B．C． D．【例題2】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知球內(nèi)切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺的上、下底面半徑分別為，，且，則圓臺的體積與球的體積之比為（

）A． B． C． D．【例題3】（2324高二下·湖南常德·期中）在棱長為2的正四面體中，正四面體的內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．相似練習相似練習【相似題1】（2425高二上·上海·期中）已知一個圓臺有內(nèi)切球，且兩底面半徑分別為1，4，則該圓臺的表面積為.【相似題2】（2425高三上·江蘇·階段練習）與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺的內(nèi)切球，若圓臺的上下底面半徑為，，且，則它的內(nèi)切球的表面積為．【相似題3】（2324高一下·重慶·期末）已知三棱錐三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩互相垂直，且，M為該三棱錐的內(nèi)切球上的動點，則M，P兩點間距離的最小值為.【題型2：正棱錐圓錐模型】【知識講解】例題精選正棱錐的外接球例題精選定義：外接球是指一個正棱錐的各個頂點都在其球面上的球。性質(zhì)：正棱錐的外接球的球心在其高所在直線上。因為正棱錐頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心，而球心到正棱錐各頂點距離相等，所以球心必然在過底面中心且垂直于底面的高所在直線上。設正棱錐的底面邊長為，底面外接圓半徑為，正棱錐的高為，外接球半徑為。在由底面中心、頂點和球心構成的直角三角形中，存在關系（可通過勾股定理得到）。對于正邊形，其外接圓半徑可由計算得出（正弦定理）。解題思路：第一步，確定底面正多邊形的相關信息。先求出底面正多邊形的邊長，進而通過公式算出底面外接圓半徑。第二步，找到正棱錐的高。這通常需要根據(jù)已知條件，利用勾股定理等幾何關系來求解。第三步，將和代入這個方程中。展開方程得到，化簡后為，從而解出外接球半徑。圓錐的外接球定義：圓錐的外接球是指圓錐的頂點和底面圓周上所有點都在其球面上的球。性質(zhì)：圓錐外接球的球心在圓錐的軸上。因為圓錐的軸是過頂點和底面圓心的直線，球心到圓錐頂點和底面圓周上各點距離相等，所以球心在軸上。設圓錐的底面半徑為，高為，外接球半徑為。在由圓錐底面圓心、圓錐頂點和球心構成的直角三角形中，同樣滿足勾股定理關系。解題思路：首先，明確圓錐的底面半徑和高，這兩個量一般題目中會直接給出或者可通過簡單計算得出。然后，將和代入。按照正棱錐外接球半徑求解過程中對方程的處理方式，展開并化簡方程，最終解得外接球半徑。【例題1】（2025·陜西商洛·三模）已知正三棱錐的底面邊長為，側(cè)面積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【例題2】（2425高三下·廣東深圳·階段練習）已知圓錐的母線長為6，其外接球表面積為，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．相似練習相似練習【相似題1】（2025·吉林·三模）棱長為2的正方體中，棱的中點為，棱的中點為，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【相似題2】（2025·遼寧·模擬預測）已知正四棱錐的一個側(cè)面的周長為10，則該四棱錐體積的最大值為，此時其外接球表面積為.【題型3：正棱柱模型】【知識講解】定義：正棱柱是底面為正多邊形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱。正棱柱的外接球是指該棱柱的各個頂點都在其球面上的球。性質(zhì)：正棱柱外接球的球心位于上下底面中心連線的中點處。這是因為正棱柱的對稱性，球心到棱柱各個頂點距離相等，上下底面中心連線的中點滿足這一條件。設正棱柱底面邊長為，底面外接圓半徑為，棱柱的高為，外接球半徑為。對于正邊形底面，其外接圓半徑可由（根據(jù)正弦定理推導得出）。在由球心、底面中心和棱柱頂點構成的直角三角形中，存在勾股定理關系。正棱柱外接球解題思路分析確定底面信息：首先要明確正棱柱底面正多邊形的邊數(shù)和邊長。然后根據(jù)公式計算出底面外接圓半徑。例如，對于正六邊形底面（），若邊長，則，。獲取棱柱高:題目中一般會直接給出正棱柱的高，若未直接給出，也可通過其他已知條件，利用幾何關系求解得到。計算外接球半徑:將求得的和已知的代入公式。例題精選例題精選【例題1】（2025·河南焦作·二模）在直三棱柱中，，若該棱柱外接球的表面積為，則側(cè)面繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為（

）A． B． C． D．【例題2】（2425高二下·云南玉溪·開學考試）已知正三棱柱的所有棱長相等，且六個頂點都在球的球面上，記正三棱柱的體積為，球的體積為，則（

）A． B． C． D．【例題3】（2425高二上·貴州畢節(jié)·階段練習）已知一圓柱的底面半徑為2，體積為，若該圓柱的底面圓周都在球的表面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．相似練習相似練習【相似題1】（2025·陜西寶雞·二模）已知直三棱柱中，，則直三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【相似題2】（2425高三上·河北秦皇島·期末）已知圓柱的底面半徑等于球的半徑，圓柱的側(cè)面積與球的表面積之比為，則圓柱外接球的體積與球的體積之比為（

）A． B． C． D．【題型4：圓臺棱臺模型】【知識講解】圓臺外接球定義：圓臺外接球是指圓臺的上下底面圓周上所有點以及圓臺側(cè)面上的母線延長線與球的交點都在其球面上的球。性質(zhì)：圓臺外接球的球心到圓臺上下底面圓心、的距離、與圓臺上下底面半徑、以及外接球半徑存在關系。設圓臺高為，在由球心、上底面圓心和上底面圓周上一點構成的直角三角形，以及球心、下底面圓心和下底面圓周上一點構成的直角三角形中，有和，且。若已知圓臺母線長，上、下底面半徑差，以及圓臺高，可以通過構建幾何關系來輔助確定外接球半徑。解題思路：第一步，明確圓臺上下底面半徑、和高。這些數(shù)據(jù)通常在題目條件中直接給出或可通過簡單幾何計算得出。設球心到上底面的距離為，到下底面的距離為，則。由和，可得到。展開等式右邊，與左邊對比，消去后，得到，從而解出。將代入，即可求出外接球半徑。棱臺外接球定義：棱臺外接球是指棱臺的各個頂點都在其球面上的球。性質(zhì)：對于正棱臺，其外接球的球心在上下底面中心的連線上。設正棱臺上下底面邊長分別為、，上下底面外接圓半徑分別為、（，），棱臺高為，球心到上下底面的距離分別為、，外接球半徑為。同樣有，以及。棱臺相對的側(cè)棱延長后相交于一點，該點與棱臺外接球的球心以及上下底面中心存在特定的幾何關系，可利用這些關系構建等式求解外接球半徑。解題思路：首先確定棱臺的類型（如正棱臺），然后求出上下底面外接圓半徑、。根據(jù)，計算，其中、為上下底面邊長。明確棱臺的高。設球心到上底面距離為，則到下底面距離。由和構建方程，與圓臺類似，通過消元求解出。再將代入，算出外接球半徑。若題目中給出了棱臺的側(cè)棱等其他條件，還可通過構建更復雜的幾何圖形，利用相似三角形、勾股定理等知識聯(lián)立方程求解。例題精選例題精選【例題1】（2425高三下·河北承德·階段練習）已知圓臺的上、下底面半徑分別為2和4，母線與底面所成的角為，則圓臺的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【例題2】（2025·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知正三棱臺的上底面邊長為，高為，體積為，則該正三棱臺的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【例題3】（2425高三下·浙江·階段練習）正四棱臺側(cè)棱長為，上下底面邊長分別為和，所有頂點在同一球面上，則正四棱臺的外接球表面積是（

）A． B． C． D．相似練習相似練習【相似題1】（2025·江蘇南通·一模）已知一幾何體上半部分為圓臺，下半部分為圓錐，其中圓錐底面的半徑為，高為．圓臺的兩底面的半徑分別為和，高為．該幾何體內(nèi)接于表面積為的球，則圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【相似題2】（2425高二下·云南·階段練習）在正四棱臺中，，，該正四棱臺的外接球的表面積為，則該正四棱臺的表面積為.【相似題3】（2025·河北保定·模擬預測）已知圓臺的上底面的半徑為，下底面的半徑為，高為，則該圓臺的外接球的體積為.【題型5：對棱相等模型】【知識講解】1.定義與特征：對棱相等的三棱錐是指三棱錐的三組對棱分別相等。這種三棱錐具有一定的對稱性，它可以通過一個長方體的面對角線構成。2.外接球的性質(zhì)： 由于對棱相等的三棱錐與長方體的特殊關系，其外接球與長方體的外接球是同一個球。 設三棱錐的對棱分別為，，，那么可以將其補成長方體，長方體的體對角線就是外接球的直徑$2R$。解題思路1.補形法： 第一步，根據(jù)三棱錐對棱相等的條件，將其補成長方體。設長方體的長、寬、高分別為，，。 第二步，由對棱相等的關系得到方程組。 第三步，將三個方程相加，得到，即。 第四步，因為長方體的體對角線長，而外接球直徑，所以，則可求出外接球半徑。2.空間向量法（選學，適用于部分問題）： 第一步，建立空間直角坐標系，設三棱錐的頂點坐標，根據(jù)對棱相等的條件列出向量等式。 第二步，利用向量的模長公式和數(shù)量積公式，結合外接球的性質(zhì)，即球心到三棱錐各頂點的距離相等，列出關于球心坐標和半徑的方程組。 第三步，解方程組求出球心坐標和半徑。空間向量法計算量相對較大，一般情況下補形法更為常用和簡便。但在一些特殊情況下，如已知三棱錐頂點坐標或其他與向量相關條件時，空間向量法可能會發(fā)揮作用例題精選例題精選【例題1】（2425高三上·遼寧·期末）已知四面體的四個頂點均在球的球面上，，，，若，則球體積的最小值為.相似練習相似練習【相似題1】（2425高三上·山西呂梁·階段練習）已知四面體中，，，，則該四面體外接球的表面積為.【相似題2】（2425高三上·全國·自主招生）如圖，三棱錐中，，，則該三棱錐外接球的表面積為.【題型6：垂面模型】【知識講解】線面垂直的外接球模型知識講解模型定義：在一個幾何體中，存在一條直線垂直于一個平面，且該直線上的某點（通常為線段端點）與平面內(nèi)的多邊形頂點共同構成一個多面體，圍繞這個多面體的外接球就是線面垂直的外接球模型所研究的對象。常見的如三棱錐中，一條側(cè)棱垂直于底面三角形所在平面。關鍵性質(zhì)：設垂直于平面的直線為，垂足為，平面內(nèi)有一個多邊形，其外接圓半徑為，直線上的線段長度為（從垂足到線段端點的距離），外接球半徑為。在由球心、垂足和平面內(nèi)多邊形外接圓上一點構成的直角三角形中，存在勾股定理關系（當線段端點為外接球直徑的一個端點時）。若線段端點不是外接球直徑端點，則設球心到垂足的距離為，有，同時根據(jù)線面垂直和線段長度關系確定與的聯(lián)系。對于平面內(nèi)的多邊形，若為三角形，可根據(jù)正弦定理求其外接圓半徑。設三角形的三個內(nèi)角為、、，對應的邊長為、、，則。線面垂直的外接球模型解題思路分析確定線面垂直關系及相關線段：仔細分析題目所給的幾何體，準確找出垂直于平面的直線以及該直線在平面上的垂足。明確直線上與外接球相關的線段長度。例如在三棱錐中，若平面$ABC$，則$PA$就是垂直于平面$ABC$的直線，為垂足，要確定$PA$的長度。求解平面內(nèi)多邊形的外接圓半徑:如果平面內(nèi)的多邊形是三角形，使用正弦定理。如已知中，，則。若平面內(nèi)多邊形不是三角形，可通過其特殊性質(zhì)（如正多邊形的幾何性質(zhì)）來求外接圓半徑。例如正六邊形，其外接圓半徑等于邊長。計算外接球半徑:若垂直直線上的線段端點為外接球直徑的一個端點，直接將和代入求解。例如，，則，。若線段端點不是外接球直徑端點，設球心到垂足的距離為，根據(jù)已知條件確定與的關系，再代入求解。比如已知球心在直線上且位于垂足和線段端點之間，且，球心到垂足的距離，，則，。例題精選例題精選【例題1】（2025高三·全國·專題練習）三棱錐P?ABC的各頂點都在同一球面上，底面ABC，若，，且，則下列說法正確的是（）A．是鈍角三角形 B．此球的表面積等于6πC．平面PAC D．三棱錐A?PBC的體積為【例題2】（2025·安徽黃山·一模）已知三棱錐的四個面均為直角三角形，平面，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．相似練習相似練習【相似題1】（2425高二上·上海長寧·期末）在三棱錐中，平面，，若點A，B，C，D均在球O的表面上，且，則球O的表面積為.【相似題2】（2425高三下·四川成都·開學考試）在三棱錐平面，則此三棱錐的外接球的表面積為．【題型7：二面角模型“雙距離單交線”】【知識講解】二面角模型的外接球知識講解模型定義：在一個空間幾何圖形中，存在一個二面角，該二面角的兩個半平面內(nèi)分別有一些點，這些點共同構成一個多面體，圍繞此多面體的外接球就是二面角模型的外接球。常見的是三棱錐中，兩個面所成的二面角已知，且這兩個面內(nèi)的棱與頂點關系明確。關鍵性質(zhì)：設二面角的大小為，在二面角的兩個半平面、內(nèi)分別找到兩個三角形、（以三棱錐為例），這兩個三角形的外接圓半徑分別為、。設球心到兩個半平面、的距離分別為、，外接球半徑為。若能找到二面角的平面角與球心位置的關系，可通過一些幾何關系構建等式。例如，在由球心、兩個三角形外接圓圓心以及二面角棱上一點構成的圖形中，利用三角函數(shù)等知識建立聯(lián)系。同時，根據(jù)球心到兩個三角形各頂點距離相等，有和。并且，、與二面角之間存在一定的空間幾何關系，比如在一些特殊情況下，可通過作垂線等方式，利用直角三角形中的三角函數(shù)關系表示、的關系。二面角模型的外接球解題思路分析明確二面角及相關幾何元素：仔細讀題，確定二面角的兩個半平面以及二面角的大小。例如，在三棱錐中，面$PAB$與面$ABC$所成二面角為，這就是要重點關注的二面角。找出二面角兩個半平面內(nèi)與外接球相關的三角形，明確這些三角形的邊長、角度等信息。比如在面$ABC$中，已知的三邊長度分別為、、。計算兩個半平面內(nèi)三角形的外接圓半徑：對于在半平面內(nèi)的三角形，若為一般三角形，使用正弦定理求其外接圓半徑。如中，已知，，根據(jù)，可得。同理，計算半平面內(nèi)三角形的外接圓半徑。若該三角形有特殊性質(zhì)，如為正三角形，其外接圓半徑可直接根據(jù)正三角形的性質(zhì)求得（設正三角形邊長為，則）。確定球心到兩個半平面的距離關系：通過作輔助線，構建與二面角相關的空間圖形。比如過球心分別作兩個半平面、的垂線，垂足分別為、，連接、以及二面角棱上一點，形成直角三角形等幾何圖形。利用二面角以及已有的幾何關系，找出、的關系。若二面角，且在構建的直角三角形中，可能存在（具體關系根據(jù)實際圖形確定）。計算外接球半徑：由和得到。將前面得到的、以及與的關系代入上式，解出或的值（設解出）。最后將和代入，求出外接球半徑。例如，解出，則，。二：雙距離單交線公式模型概述：雙距離單交線模型是指在空間中有兩個相交平面，設交線為。在這兩個平面內(nèi)分別有一個點（或三角形等幾何圖形，通常重點關注與外接球相關的點），存在兩個關鍵距離，一是其中一個平面內(nèi)的點到交線的距離，二是另一個平面內(nèi)的點到交線的距離，以及這兩個平面所成二面角，通過這些元素來確定外接球半徑。適用范圍：適用于已知上述特定幾何關系，求解外接球半徑或與外接球相關的問題，常見于三棱錐等多面體中，其中兩個面的二面角以及面上點到交線的距離可求。二、公式推導（利用余弦定理）構建幾何圖形：設兩相交平面、，交線為。在平面內(nèi)有點，到的距離為；在平面內(nèi)有點，到的距離為。設球心為，過作于，過作于。設（可由已知條件間接確定，若、在交線上投影重合，則）。設球心到平面的距離為，到平面的距離為，且與二面角以及、存在幾何聯(lián)系。在相關三角形中運用余弦定理：連接$AB$，設。在中，與二面角相等或互補，設（若互補則后續(xù)取負值）。根據(jù)余弦定理，在中，，即。設球心在平面上的投影為，在平面上的投影為。由勾股定理可知，在以球心、和構成的直角三角形中，（為所在平面內(nèi)以為頂點的三角形外接圓半徑，若只考慮點，可看作相關的一種特殊情況），同理。又因為、與、以及存在如下關系：設到的距離為，到的距離為，通過構建輔助線和直角三角形，利用三角函數(shù)關系可得，，且、、、與相關。經(jīng)過一系列復雜的幾何關系推導（如在多個直角三角形中運用勾股定理和三角函數(shù)關系），最終可得雙距離單交線外接球半徑公式：其中為、兩點間距離（若已知其他幾何關系，可通過轉(zhuǎn)化用、、、等表示）。三、解題思路分析題目條件：確定兩個相交平面以及交線。找出平面內(nèi)相關點到交線的距離和。明確兩個平面所成二面角的大小或能通過已知條件求出。若涉及兩點距離，看能否由已知條件得出或通過、、、等計算得出。選擇合適公式形式：若已知兩點距離，直接代入上述完整公式。若未直接給出，但知道其他幾何關系，先嘗試根據(jù)余弦定理求出，再代入公式。例題精選例題精選【例題1】（2025高一·全國·專題練習）已知二面角的大小為，且，，若四點，，，都在同一個球面上，當該球體積取最小值時，等于.【例題2】（2025高三·全國·專題練習）在邊長為6的菱形中，，現(xiàn)將沿折起，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為．【例題3】（2425高二上·江西撫州·期末）在平面凸四邊形中，，，且，，將四邊形沿對角線折起，使點A到達點的位置.若二面角的大小范圍是，則三棱錐的外接球表面積的取值范圍是.相似練習相似練習【相似題1】（2223高二上·四川德陽·期末）在邊長為6的菱形中，，沿對角線將折起，使得二面角的大小為，連接，則四面體的外接球的表面積為．【相似題2】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知四面體的各頂點都在同一球面上，若，二面角的平面角為，則該球的表面積是【題型8：外接球中的最值范圍問題】【知識講解】分析最值與范圍的方法建立函數(shù)關系：將外接球的半徑或相關量表示為某個變量的函數(shù)，然后通過分析函數(shù)的性質(zhì)來確定最值或范圍。例如，在一個三棱錐中，如果底面三角形的邊長固定，而側(cè)棱長可以變化，那么可以將外接球半徑表示為側(cè)棱長的函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)來求解最值。利用幾何性質(zhì)：根據(jù)幾何體的幾何性質(zhì)來確定外接球半徑的取值范圍。例如，在一個三棱錐中，如果三條側(cè)棱兩兩垂直，那么其外接球的直徑就是以這三條側(cè)棱為棱長的長方體的體對角線，此時外接球半徑（、、為三條側(cè)棱的長度），根據(jù)均值不等式，當且僅當時等號成立，可得出外接球半徑的最小值。考慮極端情況：通過分析幾何體的極端情況來確定外接球半徑的最值或范圍。例如，當一個三棱錐的某個面逐漸縮小到一個點時，或者當三棱錐的三條側(cè)棱共面時，外接球的半徑會趨近于某個極限值，通過分析這些極限情況，可以確定外接球半徑的取值范圍。例題精選例題精選【例題1】（2024·云南·一模）已知正四棱錐的高為，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的最大值是（

）A． B． C． D．【例題2】（2425高三上·河北·期中）在直三棱柱中，底面滿足，，若三棱柱的體積為，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【例題3】（2425高三上·重慶·階段練習）已知正三棱錐的高為，且各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，則三棱錐體積的最大值是（

）A． B． C． D．相似練習相似練習【相似題1】（2425高二上·浙江溫州·期中）如圖所示，在四棱錐中，平面平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，為等腰直角三角形，且，點在線段AD上，則三棱錐外接球的表面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．【相似題2】（2024高三·全國·專題練習）如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，，若，則三棱錐外接球體積的最小值為．

【題型9：一般外接球問題】【知識講解】確定球心位置根據(jù)幾何體的特征找球心 對于具有對稱性質(zhì)的規(guī)則幾何體，如正方體、長方體，球心位于其體對角線的中點。正棱柱的球心在上下底面中心連線的中點；正棱錐的球心在頂點與底面中心連線上。 對于一般的三棱錐，若有一條側(cè)棱垂直于底面，那么底面三角形的外心與這條側(cè)棱中點的連線的中點就是球心；若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可將其補成長方體，長方體的體對角線交點即為球心。利用面面垂直關系確定球心：如果幾何體中存在面面垂直的情況，可在其中一個面的外接圓圓心作垂直于該面的直線，這條直線與另一個面的外接圓圓心所確定的平面與兩個垂直面的交線垂直，球心就在這條交線上，再通過一些幾何關系確定球心的具體位置。計算球的半徑公式法：對于一些特殊的幾何體，有特定的公式計算外接球半徑。如正方體棱長為，其外接球半徑；正四面體棱長為，外接球半徑。構造直角三角形法：這是最常用的方法。找到一個包含球心、幾何體的某個頂點以及底面外心（或其他關鍵中點）的直角三角形。例如，在三棱錐中，設底面的外心為，外接圓半徑為，球心為，點到平面$ABC$的距離為，則由勾股定理可得外接球半徑。其中可通過正弦定理（為的一邊，為所對的角）等方法求出，則根據(jù)已知條件通過幾何關系計算。向量法：建立空間直角坐標系，設出球心坐標以及幾何體頂點坐標，根據(jù)球心到各頂點距離相等，即（、、等為幾何體頂點），列出方程組求解，得到球心坐標和半徑。這種方法適用于幾何體的頂點坐標容易表示的情況。例題精選例題精選【例題1】（2425高二上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習）如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點在同一個平面內(nèi)，如果是邊長為12的正方形，則這個八面體的外接球的體積為（

）

A． B． C． D．【例題2】（2024·湖北·模擬預測）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【例題3】（2425高二上·湖南·階段練習）從球外一點作球表面的三條不同的切線，切點分別為，令，，.若，，，則球的表面積為.相似練習相似練習【相似題1】（2425高二上·河北邢臺·階段練習）在三棱錐中建立空間直角坐標系后，得到，則三棱錐的體積為，三棱錐外接球的表面積為.【相似題2】（2425高二上·貴州遵義·階段練習）已知，，，四點都在球的球面上，且，，三點所在平面經(jīng)過球心，，，則點到平面的距離的最大值為，球的表面積為.【相似題3】（2324高三上·四川雅安·期中）已知四面體的頂點都在球的球面上，且，，，，，則球O的表面積為．【題型10：外接球中的截面問題】【知識講解】截面的定義與性質(zhì)：用一個平面去截一個球，得到的平面圖形是圓面。若平面過球心，則得到的圓是大圓，其半徑等于球的半徑；若平面不過球心，得到的圓是小圓，小圓半徑、球心到截面的距離與球半徑滿足勾股定理。球的截面圓的圓心：對于球的截面圓，其圓心與球心的連線垂直于截面圓所在平面。與幾何體的關系：當涉及到幾何體的外接球截面時，需要結合幾何體的特征來分析。例如，正方體的外接球，其截面可能會與正方體的面、棱等有特定的位置關系；正三棱錐的外接球截面可能會與底面三角形、側(cè)棱等相關。解題思路分析確定球心與截面的位置關系：首先要明確球心到截面的距離。這可能需要根據(jù)題目所給的幾何體的條件，通過幾何關系來求解。例如，若已知幾何體的棱長、高、角度等信息，可利用勾股定理、三角函數(shù)等知識求出。計