【專題7.1拓展：內(nèi)切球與外接球】總覽題型總覽題型梳理題型題型分類知識(shí)講解與常考題型【題型1：內(nèi)切球與棱切球】【知識(shí)講解】?jī)?nèi)切球1.定義：與多面體的各個(gè)面都相切的球稱為多面體的內(nèi)切球。此時(shí)，球心到多面體各個(gè)面的距離相等，且這個(gè)距離就是內(nèi)切球的半徑。2.性質(zhì)： 對(duì)于正多面體，其內(nèi)切球的球心位于正多面體的中心。例如正四面體，球心在正四面體的高上，且將高分為$1:3$的兩段，靠近底面的那段長(zhǎng)度就是內(nèi)切球半徑。 一般多面體中，可通過(guò)等體積法來(lái)確定內(nèi)切球半徑。即把多面體分割成以球心為頂點(diǎn)，以各個(gè)面為底面的棱錐，多面體的體積等于這些棱錐體積之和，利用體積關(guān)系求解內(nèi)切球半徑。3.解題思路： 首先判斷多面體是否為特殊的正多面體，如果是，可利用正多面體的性質(zhì)直接確定球心位置和半徑與棱長(zhǎng)等的關(guān)系來(lái)求解。 若為一般多面體，通常采用等體積法。例如，對(duì)于三棱錐，設(shè)其內(nèi)切球半徑為，表面積為，體積為，則有。先求出三棱錐的體積和表面積，再代入公式求解。棱切球1.定義：與多面體的各條棱都相切的球稱為棱切球。此時(shí)球心到多面體各條棱的距離相等。2.性質(zhì)： 對(duì)于正方體，其棱切球的直徑等于正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)。 在一些特殊的三棱錐中，比如正三棱錐，若底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，可通過(guò)構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理等關(guān)系來(lái)確定棱切球半徑與、的關(guān)系。3.解題思路： 對(duì)于特殊的多面體如正方體，根據(jù)正方體的棱長(zhǎng)與面對(duì)角線的關(guān)系，直接得出棱切球的半徑。若正方體棱長(zhǎng)為，則棱切球半徑。 對(duì)于一般的多面體，需要找到球心到棱的距離關(guān)系。通常是通過(guò)找出多面體中的特殊三角形，利用勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)來(lái)求解棱切球半徑。例如，在一個(gè)三棱錐中，找到一個(gè)包含棱和球心的截面，該截面是一個(gè)直角三角形或可通過(guò)其他條件求出邊長(zhǎng)的三角形，然后根據(jù)三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系來(lái)計(jì)算棱切球半徑。例題精選例題精選【例題1】（2324高二下·廣西南寧·階段練習(xí)）已知圓錐PO的頂點(diǎn)為P，其三條母線PA，PB，PC兩兩垂直.且母線長(zhǎng)為6.則圓錐PO的內(nèi)切球表面積為（

）A． B．C． D．【例題2】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知球內(nèi)切于圓臺(tái)（即球與該圓臺(tái)的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，，且，則圓臺(tái)的體積與球的體積之比為（

）A． B． C． D．【例題3】（2324高二下·湖南常德·期中）在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，正四面體的內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高二上·上海·期中）已知一個(gè)圓臺(tái)有內(nèi)切球，且兩底面半徑分別為1，4，則該圓臺(tái)的表面積為.【相似題2】（2425高三上·江蘇·階段練習(xí)）與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺(tái)的內(nèi)切球，若圓臺(tái)的上下底面半徑為，，且，則它的內(nèi)切球的表面積為．【相似題3】（2324高一下·重慶·期末）已知三棱錐三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩互相垂直，且，M為該三棱錐的內(nèi)切球上的動(dòng)點(diǎn)，則M，P兩點(diǎn)間距離的最小值為.【題型2：正棱錐圓錐模型】【知識(shí)講解】例題精選正棱錐的外接球例題精選定義：外接球是指一個(gè)正棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在其球面上的球。性質(zhì)：正棱錐的外接球的球心在其高所在直線上。因?yàn)檎忮F頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心，而球心到正棱錐各頂點(diǎn)距離相等，所以球心必然在過(guò)底面中心且垂直于底面的高所在直線上。設(shè)正棱錐的底面邊長(zhǎng)為，底面外接圓半徑為，正棱錐的高為，外接球半徑為。在由底面中心、頂點(diǎn)和球心構(gòu)成的直角三角形中，存在關(guān)系（可通過(guò)勾股定理得到）。對(duì)于正邊形，其外接圓半徑可由計(jì)算得出（正弦定理）。解題思路：第一步，確定底面正多邊形的相關(guān)信息。先求出底面正多邊形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而通過(guò)公式算出底面外接圓半徑。第二步，找到正棱錐的高。這通常需要根據(jù)已知條件，利用勾股定理等幾何關(guān)系來(lái)求解。第三步，將和代入這個(gè)方程中。展開(kāi)方程得到，化簡(jiǎn)后為，從而解出外接球半徑。圓錐的外接球定義：圓錐的外接球是指圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周上所有點(diǎn)都在其球面上的球。性質(zhì)：圓錐外接球的球心在圓錐的軸上。因?yàn)閳A錐的軸是過(guò)頂點(diǎn)和底面圓心的直線，球心到圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上各點(diǎn)距離相等，所以球心在軸上。設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，外接球半徑為。在由圓錐底面圓心、圓錐頂點(diǎn)和球心構(gòu)成的直角三角形中，同樣滿足勾股定理關(guān)系。解題思路：首先，明確圓錐的底面半徑和高，這兩個(gè)量一般題目中會(huì)直接給出或者可通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算得出。然后，將和代入。按照正棱錐外接球半徑求解過(guò)程中對(duì)方程的處理方式，展開(kāi)并化簡(jiǎn)方程，最終解得外接球半徑。【例題1】（2025·陜西商洛·三模）已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【例題2】（2425高三下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知圓錐的母線長(zhǎng)為6，其外接球表面積為，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2025·吉林·三模）棱長(zhǎng)為2的正方體中，棱的中點(diǎn)為，棱的中點(diǎn)為，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【相似題2】（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐的一個(gè)側(cè)面的周長(zhǎng)為10，則該四棱錐體積的最大值為，此時(shí)其外接球表面積為.【題型3：正棱柱模型】【知識(shí)講解】定義：正棱柱是底面為正多邊形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱。正棱柱的外接球是指該棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在其球面上的球。性質(zhì)：正棱柱外接球的球心位于上下底面中心連線的中點(diǎn)處。這是因?yàn)檎庵膶?duì)稱性，球心到棱柱各個(gè)頂點(diǎn)距離相等，上下底面中心連線的中點(diǎn)滿足這一條件。設(shè)正棱柱底面邊長(zhǎng)為，底面外接圓半徑為，棱柱的高為，外接球半徑為。對(duì)于正邊形底面，其外接圓半徑可由（根據(jù)正弦定理推導(dǎo)得出）。在由球心、底面中心和棱柱頂點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形中，存在勾股定理關(guān)系。正棱柱外接球解題思路分析確定底面信息：首先要明確正棱柱底面正多邊形的邊數(shù)和邊長(zhǎng)。然后根據(jù)公式計(jì)算出底面外接圓半徑。例如，對(duì)于正六邊形底面（），若邊長(zhǎng)，則，。獲取棱柱高:題目中一般會(huì)直接給出正棱柱的高，若未直接給出，也可通過(guò)其他已知條件，利用幾何關(guān)系求解得到。計(jì)算外接球半徑:將求得的和已知的代入公式。例題精選例題精選【例題1】（2025·河南焦作·二模）在直三棱柱中，，若該棱柱外接球的表面積為，則側(cè)面繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為（

）A． B． C． D．【例題2】（2425高二下·云南玉溪·開(kāi)學(xué)考試）已知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)相等，且六個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，記正三棱柱的體積為，球的體積為，則（

）A． B． C． D．【例題3】（2425高二上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）已知一圓柱的底面半徑為2，體積為，若該圓柱的底面圓周都在球的表面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2025·陜西寶雞·二模）已知直三棱柱中，，則直三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【相似題2】（2425高三上·河北秦皇島·期末）已知圓柱的底面半徑等于球的半徑，圓柱的側(cè)面積與球的表面積之比為，則圓柱外接球的體積與球的體積之比為（

）A． B． C． D．【題型4：圓臺(tái)棱臺(tái)模型】【知識(shí)講解】圓臺(tái)外接球定義：圓臺(tái)外接球是指圓臺(tái)的上下底面圓周上所有點(diǎn)以及圓臺(tái)側(cè)面上的母線延長(zhǎng)線與球的交點(diǎn)都在其球面上的球。性質(zhì)：圓臺(tái)外接球的球心到圓臺(tái)上下底面圓心、的距離、與圓臺(tái)上下底面半徑、以及外接球半徑存在關(guān)系。設(shè)圓臺(tái)高為，在由球心、上底面圓心和上底面圓周上一點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形，以及球心、下底面圓心和下底面圓周上一點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形中，有和，且。若已知圓臺(tái)母線長(zhǎng)，上、下底面半徑差，以及圓臺(tái)高，可以通過(guò)構(gòu)建幾何關(guān)系來(lái)輔助確定外接球半徑。解題思路：第一步，明確圓臺(tái)上下底面半徑、和高。這些數(shù)據(jù)通常在題目條件中直接給出或可通過(guò)簡(jiǎn)單幾何計(jì)算得出。設(shè)球心到上底面的距離為，到下底面的距離為，則。由和，可得到。展開(kāi)等式右邊，與左邊對(duì)比，消去后，得到，從而解出。將代入，即可求出外接球半徑。棱臺(tái)外接球定義：棱臺(tái)外接球是指棱臺(tái)的各個(gè)頂點(diǎn)都在其球面上的球。性質(zhì)：對(duì)于正棱臺(tái)，其外接球的球心在上下底面中心的連線上。設(shè)正棱臺(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為、，上下底面外接圓半徑分別為、（，），棱臺(tái)高為，球心到上下底面的距離分別為、，外接球半徑為。同樣有，以及。棱臺(tái)相對(duì)的側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)與棱臺(tái)外接球的球心以及上下底面中心存在特定的幾何關(guān)系，可利用這些關(guān)系構(gòu)建等式求解外接球半徑。解題思路：首先確定棱臺(tái)的類型（如正棱臺(tái)），然后求出上下底面外接圓半徑、。根據(jù)，計(jì)算，其中、為上下底面邊長(zhǎng)。明確棱臺(tái)的高。設(shè)球心到上底面距離為，則到下底面距離。由和構(gòu)建方程，與圓臺(tái)類似，通過(guò)消元求解出。再將代入，算出外接球半徑。若題目中給出了棱臺(tái)的側(cè)棱等其他條件，還可通過(guò)構(gòu)建更復(fù)雜的幾何圖形，利用相似三角形、勾股定理等知識(shí)聯(lián)立方程求解。例題精選例題精選【例題1】（2425高三下·河北承德·階段練習(xí)）已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2和4，母線與底面所成的角為，則圓臺(tái)的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【例題2】（2025·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知正三棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為，高為，體積為，則該正三棱臺(tái)的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【例題3】（2425高三下·浙江·階段練習(xí)）正四棱臺(tái)側(cè)棱長(zhǎng)為，上下底面邊長(zhǎng)分別為和，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則正四棱臺(tái)的外接球表面積是（

）A． B． C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2025·江蘇南通·一模）已知一幾何體上半部分為圓臺(tái)，下半部分為圓錐，其中圓錐底面的半徑為，高為．圓臺(tái)的兩底面的半徑分別為和，高為．該幾何體內(nèi)接于表面積為的球，則圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【相似題2】（2425高二下·云南·階段練習(xí)）在正四棱臺(tái)中，，，該正四棱臺(tái)的外接球的表面積為，則該正四棱臺(tái)的表面積為.【相似題3】（2025·河北保定·模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)的上底面的半徑為，下底面的半徑為，高為，則該圓臺(tái)的外接球的體積為.【題型5：對(duì)棱相等模型】【知識(shí)講解】1.定義與特征：對(duì)棱相等的三棱錐是指三棱錐的三組對(duì)棱分別相等。這種三棱錐具有一定的對(duì)稱性，它可以通過(guò)一個(gè)長(zhǎng)方體的面對(duì)角線構(gòu)成。2.外接球的性質(zhì)： 由于對(duì)棱相等的三棱錐與長(zhǎng)方體的特殊關(guān)系，其外接球與長(zhǎng)方體的外接球是同一個(gè)球。 設(shè)三棱錐的對(duì)棱分別為，，，那么可以將其補(bǔ)成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑$2R$。解題思路1.補(bǔ)形法： 第一步，根據(jù)三棱錐對(duì)棱相等的條件，將其補(bǔ)成長(zhǎng)方體。設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，。 第二步，由對(duì)棱相等的關(guān)系得到方程組。 第三步，將三個(gè)方程相加，得到，即。 第四步，因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，而外接球直徑，所以，則可求出外接球半徑。2.空間向量法（選學(xué)，適用于部分問(wèn)題）： 第一步，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)三棱錐的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)棱相等的條件列出向量等式。 第二步，利用向量的模長(zhǎng)公式和數(shù)量積公式，結(jié)合外接球的性質(zhì)，即球心到三棱錐各頂點(diǎn)的距離相等，列出關(guān)于球心坐標(biāo)和半徑的方程組。 第三步，解方程組求出球心坐標(biāo)和半徑。空間向量法計(jì)算量相對(duì)較大，一般情況下補(bǔ)形法更為常用和簡(jiǎn)便。但在一些特殊情況下，如已知三棱錐頂點(diǎn)坐標(biāo)或其他與向量相關(guān)條件時(shí)，空間向量法可能會(huì)發(fā)揮作用例題精選例題精選【例題1】（2425高三上·遼寧·期末）已知四面體的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，，，，若，則球體積的最小值為.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高三上·山西呂梁·階段練習(xí)）已知四面體中，，，，則該四面體外接球的表面積為.【相似題2】（2425高三上·全國(guó)·自主招生）如圖，三棱錐中，，，則該三棱錐外接球的表面積為.【題型6：垂面模型】【知識(shí)講解】線面垂直的外接球模型知識(shí)講解模型定義：在一個(gè)幾何體中，存在一條直線垂直于一個(gè)平面，且該直線上的某點(diǎn)（通常為線段端點(diǎn)）與平面內(nèi)的多邊形頂點(diǎn)共同構(gòu)成一個(gè)多面體，圍繞這個(gè)多面體的外接球就是線面垂直的外接球模型所研究的對(duì)象。常見(jiàn)的如三棱錐中，一條側(cè)棱垂直于底面三角形所在平面。關(guān)鍵性質(zhì)：設(shè)垂直于平面的直線為，垂足為，平面內(nèi)有一個(gè)多邊形，其外接圓半徑為，直線上的線段長(zhǎng)度為（從垂足到線段端點(diǎn)的距離），外接球半徑為。在由球心、垂足和平面內(nèi)多邊形外接圓上一點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形中，存在勾股定理關(guān)系（當(dāng)線段端點(diǎn)為外接球直徑的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)）。若線段端點(diǎn)不是外接球直徑端點(diǎn)，則設(shè)球心到垂足的距離為，有，同時(shí)根據(jù)線面垂直和線段長(zhǎng)度關(guān)系確定與的聯(lián)系。對(duì)于平面內(nèi)的多邊形，若為三角形，可根據(jù)正弦定理求其外接圓半徑。設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角為、、，對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)為、、，則。線面垂直的外接球模型解題思路分析確定線面垂直關(guān)系及相關(guān)線段：仔細(xì)分析題目所給的幾何體，準(zhǔn)確找出垂直于平面的直線以及該直線在平面上的垂足。明確直線上與外接球相關(guān)的線段長(zhǎng)度。例如在三棱錐中，若平面$ABC$，則$PA$就是垂直于平面$ABC$的直線，為垂足，要確定$PA$的長(zhǎng)度。求解平面內(nèi)多邊形的外接圓半徑:如果平面內(nèi)的多邊形是三角形，使用正弦定理。如已知中，，則。若平面內(nèi)多邊形不是三角形，可通過(guò)其特殊性質(zhì)（如正多邊形的幾何性質(zhì)）來(lái)求外接圓半徑。例如正六邊形，其外接圓半徑等于邊長(zhǎng)。計(jì)算外接球半徑:若垂直直線上的線段端點(diǎn)為外接球直徑的一個(gè)端點(diǎn)，直接將和代入求解。例如，，則，。若線段端點(diǎn)不是外接球直徑端點(diǎn)，設(shè)球心到垂足的距離為，根據(jù)已知條件確定與的關(guān)系，再代入求解。比如已知球心在直線上且位于垂足和線段端點(diǎn)之間，且，球心到垂足的距離，，則，。例題精選例題精選【例題1】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）三棱錐P?ABC的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面ABC，若，，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A．是鈍角三角形 B．此球的表面積等于6πC．平面PAC D．三棱錐A?PBC的體積為【例題2】（2025·安徽黃山·一模）已知三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形，平面，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高二上·上海長(zhǎng)寧·期末）在三棱錐中，平面，，若點(diǎn)A，B，C，D均在球O的表面上，且，則球O的表面積為.【相似題2】（2425高三下·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）在三棱錐平面，則此三棱錐的外接球的表面積為．【題型7：二面角模型“雙距離單交線”】【知識(shí)講解】二面角模型的外接球知識(shí)講解模型定義：在一個(gè)空間幾何圖形中，存在一個(gè)二面角，該二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)分別有一些點(diǎn)，這些點(diǎn)共同構(gòu)成一個(gè)多面體，圍繞此多面體的外接球就是二面角模型的外接球。常見(jiàn)的是三棱錐中，兩個(gè)面所成的二面角已知，且這兩個(gè)面內(nèi)的棱與頂點(diǎn)關(guān)系明確。關(guān)鍵性質(zhì)：設(shè)二面角的大小為，在二面角的兩個(gè)半平面、內(nèi)分別找到兩個(gè)三角形、（以三棱錐為例），這兩個(gè)三角形的外接圓半徑分別為、。設(shè)球心到兩個(gè)半平面、的距離分別為、，外接球半徑為。若能找到二面角的平面角與球心位置的關(guān)系，可通過(guò)一些幾何關(guān)系構(gòu)建等式。例如，在由球心、兩個(gè)三角形外接圓圓心以及二面角棱上一點(diǎn)構(gòu)成的圖形中，利用三角函數(shù)等知識(shí)建立聯(lián)系。同時(shí)，根據(jù)球心到兩個(gè)三角形各頂點(diǎn)距離相等，有和。并且，、與二面角之間存在一定的空間幾何關(guān)系，比如在一些特殊情況下，可通過(guò)作垂線等方式，利用直角三角形中的三角函數(shù)關(guān)系表示、的關(guān)系。二面角模型的外接球解題思路分析明確二面角及相關(guān)幾何元素：仔細(xì)讀題，確定二面角的兩個(gè)半平面以及二面角的大小。例如，在三棱錐中，面$PAB$與面$ABC$所成二面角為，這就是要重點(diǎn)關(guān)注的二面角。找出二面角兩個(gè)半平面內(nèi)與外接球相關(guān)的三角形，明確這些三角形的邊長(zhǎng)、角度等信息。比如在面$ABC$中，已知的三邊長(zhǎng)度分別為、、。計(jì)算兩個(gè)半平面內(nèi)三角形的外接圓半徑：對(duì)于在半平面內(nèi)的三角形，若為一般三角形，使用正弦定理求其外接圓半徑。如中，已知，，根據(jù)，可得。同理，計(jì)算半平面內(nèi)三角形的外接圓半徑。若該三角形有特殊性質(zhì)，如為正三角形，其外接圓半徑可直接根據(jù)正三角形的性質(zhì)求得（設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為，則）。確定球心到兩個(gè)半平面的距離關(guān)系：通過(guò)作輔助線，構(gòu)建與二面角相關(guān)的空間圖形。比如過(guò)球心分別作兩個(gè)半平面、的垂線，垂足分別為、，連接、以及二面角棱上一點(diǎn)，形成直角三角形等幾何圖形。利用二面角以及已有的幾何關(guān)系，找出、的關(guān)系。若二面角，且在構(gòu)建的直角三角形中，可能存在（具體關(guān)系根據(jù)實(shí)際圖形確定）。計(jì)算外接球半徑：由和得到。將前面得到的、以及與的關(guān)系代入上式，解出或的值（設(shè)解出）。最后將和代入，求出外接球半徑。例如，解出，則，。二：雙距離單交線公式模型概述：雙距離單交線模型是指在空間中有兩個(gè)相交平面，設(shè)交線為。在這兩個(gè)平面內(nèi)分別有一個(gè)點(diǎn)（或三角形等幾何圖形，通常重點(diǎn)關(guān)注與外接球相關(guān)的點(diǎn)），存在兩個(gè)關(guān)鍵距離，一是其中一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)到交線的距離，二是另一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)到交線的距離，以及這兩個(gè)平面所成二面角，通過(guò)這些元素來(lái)確定外接球半徑。適用范圍：適用于已知上述特定幾何關(guān)系，求解外接球半徑或與外接球相關(guān)的問(wèn)題，常見(jiàn)于三棱錐等多面體中，其中兩個(gè)面的二面角以及面上點(diǎn)到交線的距離可求。二、公式推導(dǎo)（利用余弦定理）構(gòu)建幾何圖形：設(shè)兩相交平面、，交線為。在平面內(nèi)有點(diǎn)，到的距離為；在平面內(nèi)有點(diǎn)，到的距離為。設(shè)球心為，過(guò)作于，過(guò)作于。設(shè)（可由已知條件間接確定，若、在交線上投影重合，則）。設(shè)球心到平面的距離為，到平面的距離為，且與二面角以及、存在幾何聯(lián)系。在相關(guān)三角形中運(yùn)用余弦定理：連接$AB$，設(shè)。在中，與二面角相等或互補(bǔ)，設(shè)（若互補(bǔ)則后續(xù)取負(fù)值）。根據(jù)余弦定理，在中，，即。設(shè)球心在平面上的投影為，在平面上的投影為。由勾股定理可知，在以球心、和構(gòu)成的直角三角形中，（為所在平面內(nèi)以為頂點(diǎn)的三角形外接圓半徑，若只考慮點(diǎn)，可看作相關(guān)的一種特殊情況），同理。又因?yàn)椤⑴c、以及存在如下關(guān)系：設(shè)到的距離為，到的距離為，通過(guò)構(gòu)建輔助線和直角三角形，利用三角函數(shù)關(guān)系可得，，且、、、與相關(guān)。經(jīng)過(guò)一系列復(fù)雜的幾何關(guān)系推導(dǎo)（如在多個(gè)直角三角形中運(yùn)用勾股定理和三角函數(shù)關(guān)系），最終可得雙距離單交線外接球半徑公式：其中為、兩點(diǎn)間距離（若已知其他幾何關(guān)系，可通過(guò)轉(zhuǎn)化用、、、等表示）。三、解題思路分析題目條件：確定兩個(gè)相交平面以及交線。找出平面內(nèi)相關(guān)點(diǎn)到交線的距離和。明確兩個(gè)平面所成二面角的大小或能通過(guò)已知條件求出。若涉及兩點(diǎn)距離，看能否由已知條件得出或通過(guò)、、、等計(jì)算得出。選擇合適公式形式：若已知兩點(diǎn)距離，直接代入上述完整公式。若未直接給出，但知道其他幾何關(guān)系，先嘗試根據(jù)余弦定理求出，再代入公式。例題精選例題精選【例題1】（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知二面角的大小為，且，，若四點(diǎn)，，，都在同一個(gè)球面上，當(dāng)該球體積取最小值時(shí)，等于.【例題2】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為6的菱形中，，現(xiàn)將沿折起，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為．【例題3】（2425高二上·江西撫州·期末）在平面凸四邊形中，，，且，，將四邊形沿對(duì)角線折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置.若二面角的大小范圍是，則三棱錐的外接球表面積的取值范圍是.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2223高二上·四川德陽(yáng)·期末）在邊長(zhǎng)為6的菱形中，，沿對(duì)角線將折起，使得二面角的大小為，連接，則四面體的外接球的表面積為．【相似題2】（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知四面體的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，二面角的平面角為，則該球的表面積是【題型8：外接球中的最值范圍問(wèn)題】【知識(shí)講解】分析最值與范圍的方法建立函數(shù)關(guān)系：將外接球的半徑或相關(guān)量表示為某個(gè)變量的函數(shù)，然后通過(guò)分析函數(shù)的性質(zhì)來(lái)確定最值或范圍。例如，在一個(gè)三棱錐中，如果底面三角形的邊長(zhǎng)固定，而側(cè)棱長(zhǎng)可以變化，那么可以將外接球半徑表示為側(cè)棱長(zhǎng)的函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)來(lái)求解最值。利用幾何性質(zhì)：根據(jù)幾何體的幾何性質(zhì)來(lái)確定外接球半徑的取值范圍。例如，在一個(gè)三棱錐中，如果三條側(cè)棱兩兩垂直，那么其外接球的直徑就是以這三條側(cè)棱為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，此時(shí)外接球半徑（、、為三條側(cè)棱的長(zhǎng)度），根據(jù)均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，可得出外接球半徑的最小值。考慮極端情況：通過(guò)分析幾何體的極端情況來(lái)確定外接球半徑的最值或范圍。例如，當(dāng)一個(gè)三棱錐的某個(gè)面逐漸縮小到一個(gè)點(diǎn)時(shí)，或者當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱共面時(shí)，外接球的半徑會(huì)趨近于某個(gè)極限值，通過(guò)分析這些極限情況，可以確定外接球半徑的取值范圍。例題精選例題精選【例題1】（2024·云南·一模）已知正四棱錐的高為，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的最大值是（

）A． B． C． D．【例題2】（2425高三上·河北·期中）在直三棱柱中，底面滿足，，若三棱柱的體積為，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【例題3】（2425高三上·重慶·階段練習(xí)）已知正三棱錐的高為，且各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，則三棱錐體積的最大值是（

）A． B． C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高二上·浙江溫州·期中）如圖所示，在四棱錐中，平面平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，為等腰直角三角形，且，點(diǎn)在線段AD上，則三棱錐外接球的表面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．【相似題2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，，若，則三棱錐外接球體積的最小值為．

【題型9：一般外接球問(wèn)題】【知識(shí)講解】確定球心位置根據(jù)幾何體的特征找球心 對(duì)于具有對(duì)稱性質(zhì)的規(guī)則幾何體，如正方體、長(zhǎng)方體，球心位于其體對(duì)角線的中點(diǎn)。正棱柱的球心在上下底面中心連線的中點(diǎn)；正棱錐的球心在頂點(diǎn)與底面中心連線上。 對(duì)于一般的三棱錐，若有一條側(cè)棱垂直于底面，那么底面三角形的外心與這條側(cè)棱中點(diǎn)的連線的中點(diǎn)就是球心；若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可將其補(bǔ)成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線交點(diǎn)即為球心。利用面面垂直關(guān)系確定球心：如果幾何體中存在面面垂直的情況，可在其中一個(gè)面的外接圓圓心作垂直于該面的直線，這條直線與另一個(gè)面的外接圓圓心所確定的平面與兩個(gè)垂直面的交線垂直，球心就在這條交線上，再通過(guò)一些幾何關(guān)系確定球心的具體位置。計(jì)算球的半徑公式法：對(duì)于一些特殊的幾何體，有特定的公式計(jì)算外接球半徑。如正方體棱長(zhǎng)為，其外接球半徑；正四面體棱長(zhǎng)為，外接球半徑。構(gòu)造直角三角形法：這是最常用的方法。找到一個(gè)包含球心、幾何體的某個(gè)頂點(diǎn)以及底面外心（或其他關(guān)鍵中點(diǎn)）的直角三角形。例如，在三棱錐中，設(shè)底面的外心為，外接圓半徑為，球心為，點(diǎn)到平面$ABC$的距離為，則由勾股定理可得外接球半徑。其中可通過(guò)正弦定理（為的一邊，為所對(duì)的角）等方法求出，則根據(jù)已知條件通過(guò)幾何關(guān)系計(jì)算。向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出球心坐標(biāo)以及幾何體頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)距離相等，即（、、等為幾何體頂點(diǎn)），列出方程組求解，得到球心坐標(biāo)和半徑。這種方法適用于幾何體的頂點(diǎn)坐標(biāo)容易表示的情況。例題精選例題精選【例題1】（2425高二上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）如圖，八面體的每一個(gè)面都是正三角形，并且4個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，如果是邊長(zhǎng)為12的正方形，則這個(gè)八面體的外接球的體積為（

）

A． B． C． D．【例題2】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【例題3】（2425高二上·湖南·階段練習(xí)）從球外一點(diǎn)作球表面的三條不同的切線，切點(diǎn)分別為，令，，.若，，，則球的表面積為.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高二上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）在三棱錐中建立空間直角坐標(biāo)系后，得到，則三棱錐的體積為，三棱錐外接球的表面積為.【相似題2】（2425高二上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知，，，四點(diǎn)都在球的球面上，且，，三點(diǎn)所在平面經(jīng)過(guò)球心，，，則點(diǎn)到平面的距離的最大值為，球的表面積為.【相似題3】（2324高三上·四川雅安·期中）已知四面體的頂點(diǎn)都在球的球面上，且，，，，，則球O的表面積為．【題型10：外接球中的截面問(wèn)題】【知識(shí)講解】截面的定義與性質(zhì)：用一個(gè)平面去截一個(gè)球，得到的平面圖形是圓面。若平面過(guò)球心，則得到的圓是大圓，其半徑等于球的半徑；若平面不過(guò)球心，得到的圓是小圓，小圓半徑、球心到截面的距離與球半徑滿足勾股定理。球的截面圓的圓心：對(duì)于球的截面圓，其圓心與球心的連線垂直于截面圓所在平面。與幾何體的關(guān)系：當(dāng)涉及到幾何體的外接球截面時(shí)，需要結(jié)合幾何體的特征來(lái)分析。例如，正方體的外接球，其截面可能會(huì)與正方體的面、棱等有特定的位置關(guān)系；正三棱錐的外接球截面可能會(huì)與底面三角形、側(cè)棱等相關(guān)。解題思路分析確定球心與截面的位置關(guān)系：首先要明確球心到截面的距離。這可能需要根據(jù)題目所給的幾何體的條件，通過(guò)幾何關(guān)系來(lái)求解。例如，若已知幾何體的棱長(zhǎng)、高、角度等信息，可利用勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)求出。計(jì)