高級中學名校試題PAGEPAGE1甘肅省張掖市某校2025屆高三下學期二月檢測數(shù)學試卷一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，又，．故選：C.2.已知兩條不同的直線l，m，兩個不同的平面α，β，則下列條件能推出的是（）A.且 B.且C.且 D.且【答案】C【解析】對于選項A，若，且，此時可能相交，如圖所示，當，都與n平行時，相交，故選項A錯誤；對于選項B，若，且，此時可能相交，如圖所示，當，都與n平行時，相交，故選項B錯誤;對于選項C，由，得，因為，所以，故選項C正確;對于選項D，若，且，此時可能相交，如圖所示，當，都與n平行時，相交，故選項D錯誤.故選：C.3.某企業(yè)為降低生產(chǎn)成本、推動生產(chǎn)創(chuàng)新，計劃在保障質(zhì)量的前提下對某產(chǎn)品進行優(yōu)化，研究發(fā)現(xiàn)，第次優(yōu)化后每個產(chǎn)品的成本滿足函數(shù)模型，其中為優(yōu)化前每個產(chǎn)品的成本（單位：元）．假設優(yōu)化前每個產(chǎn)品的成本為元，若要使每個產(chǎn)品的成本不超過元，則優(yōu)化的次數(shù)至少為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，當時，，即，代入化簡得，解得，所以，要使每個產(chǎn)品的成本不超過元，即，則，化簡得，即，故有，解得，故若要使得每個產(chǎn)品的成本不超過元，則優(yōu)化的次數(shù)至少為次．故選：B.4.已知角為銳角，角為鈍角，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為為銳角，，所以，因為為鈍角，所以.若，則，不符合題意，所以，而，又，所以，所以.故選：D.5.若復數(shù)且，則滿足的復數(shù)的個數(shù)為（）A.0 B.2 C.1 D.4【答案】A【解析】因為，所以，又，所以，即復數(shù)對應的點在圓心為，半徑為的圓上，又可以變形為，即其幾何意義為復數(shù)在復平面內(nèi)的點到直線的距離為，又圓心到直線的距離為，而，所以滿足條件的不存在.故選：A.6.在同一平面直角坐標系內(nèi)，函數(shù)及其導函數(shù)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個公共點，其坐標為，則（）A.函數(shù)的最大值為1 B.函數(shù)的最小值為1C.函數(shù)的最大值為1 D.函數(shù)的最小值為1【答案】B【解析】由圖可知，兩個函數(shù)圖象都在軸上方，所以，單調(diào)遞增，所以實線為的圖象，虛線為的圖象，，對A，，單調(diào)遞增，無最大值，A錯誤；對B，，，由圖可知，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值，B正確；對C，，由圖可知，所以在上單調(diào)遞增，無最大值，C錯誤；對D，，由圖可知，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)取得最大值，D錯誤.故選：B7.已知函數(shù)，若函數(shù)有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以取得最大值；取得最小值.令，則可化為有兩個零點，，且.當時，即時，則需，即，解得；當時，，滿足題意當時，，即當4時，，滿足題意；當時，，不滿足題意，綜上所述，取值范圍為.故選：A.8.已知正三棱柱的所有棱長均為，且該棱柱的所有頂點均在球的表面上，點在球的表面上，點在棱柱的表面上，點在棱柱的底面上，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得點為三棱柱上、下底面的外接圓圓心連線的中點．易得兩個底面的外接圓半徑，所以球的半徑，所以的最大值為，的最小值為，所以的最大值為．故選：A．二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究，設為整數(shù)，若和被除得余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為，如9和21除以6所得的余數(shù)都是3，則記為921（mod6），若，，則的值可以是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】因為，又，所以被除得余數(shù)為，又，且和被除得余數(shù)為，故選：BD.10.已知函數(shù)的最大值為2，其部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數(shù)為偶函數(shù)C.滿足條件的正實數(shù)存在且唯一D.是周期函數(shù)，且最小正周期為【答案】ACD【解析】由函數(shù)，且，因為函數(shù)的最大值為，可得，解得，又因為，所以，所以A正確；因為，且函數(shù)在的附近單調(diào)遞減，所以，所以，又因為，可得，所以，解得，所以，此時，其最小正周期為，所以C、D正確；設，，所以為奇函數(shù)，即函數(shù)為奇函數(shù)，所以B不正確.故選：ACD.11.數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則前n項和為 B.C.數(shù)列的前n項和為 D.數(shù)列最大項為第10項【答案】ACD【解析】由，可得，又，所以是首項為1公差為2的等差數(shù)列，，對于A，，則前n項和為，A選項正確；對于B，由等差數(shù)列性質(zhì)可得，B選項錯誤；對于C，，數(shù)列的前n項和為，為奇數(shù)時，；為偶數(shù)時，，所以數(shù)列的前n項和為，C選項正確；對于D，設，則，，當時，即，解得，由，則有，即數(shù)列最大項為第10項，D選項正確.故選：ACD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.（易錯題）12.已知向量，，若與的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是____.【答案】【解析】因為向量，的夾角為銳角，所以，且，不同向共線.因為當時，，同向共線，所以，解得且，所以實數(shù)λ的取值范圍是.故答案為：.13.已知橢圓：，過左焦點作直線與圓：相切于點，與橢圓在第一象限的交點為，且，則橢圓離心率為______.【答案】【解析】設橢圓右焦點為，連接，如下圖所示：由圓：可知圓心，半徑；顯然，且，因此可得，所以，可得；即可得，又易知；由余弦定理可得，解得，再由橢圓定義可得，即，因此離心率故答案為：14.甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為，則______，的數(shù)學期望______.（用表示）【答案】①.②.【解析】經(jīng)過第一次操作得：，，經(jīng)過第二次操作得：；.根據(jù)全概率公式可知：，，兩式相加可得，則：，時，，所以，，因為，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以.故答案為：①；②.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角所對的邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊上一點，，求.解：（1），則，所以，因為，所以.（2）法①：由（1）得，，因為，所以，如圖在中，由余弦定理，即，在中由正弦定理，即，所以，因為，故，在中.法②：同解法①，中由正弦定理，即，所以，又因為，即，所以.法③同上，在直角中，所以，由（1）問知，所以，即，得即，所以，.法④如圖由（1）知，則，因為，所以，即，解得，所以，即，在中，由正弦定理，即，解得.16.為了解某中學高一年級學生身體素質(zhì)情況，對高一年級的1班~8班進行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機各抽10名學生進行身體素質(zhì)監(jiān)測.經(jīng)統(tǒng)計，每班10名學生中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)散點圖如下（x軸表示對應的班號，y軸表示對應的優(yōu)秀人數(shù)）：（1）若用散點圖預測高一年級學生身體素質(zhì)情況，從高一年級學生中任意抽測1人，試估計該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的概率；（2）若從高一2班抽測的10人中隨機抽取1人，從高一5班抽測的10人中隨機抽取1人，設X表示這2人中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（3）假設每個班學生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機抽到的10名學生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機抽取1名同學，用“”表示第k班抽到的這名同學身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第k班抽到的這名同學身體素質(zhì)不是優(yōu)秀.直接寫出方差，，，的大小關(guān)系（無需過程）.解：（1）依題意，從高一年級的（1）班~（8）班抽測共80人，其中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的共有，所以估計該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達到優(yōu)秀的概率為.（2）依題意，高一2班抽測的10人中優(yōu)秀的有6人，高一5班抽測的10人中優(yōu)秀的有7人，則可取，，，，則的分布列為：012的數(shù)學期望.（3）依題意，，服從兩點分布，則，，服從兩點分布，則，，服從兩點分布，則，，服從兩點分布，則，所以.17.如圖，在以為頂點的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，對的中點.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成角的正弦值；（3）設點是內(nèi)一動點，，當線段的長最小時，求直線與直線所成角的余弦值.（1）證明：取的中點，連結(jié)，由已知得，是邊長為2的等邊三角形，是以為腰的等腰三角形，則，故,故平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：以為坐標原點，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設平面的法向量為，則，即，取，則，設平面的一個法向量為，由，取，得，所以，因為，故平面與平面所成角的正弦值為.（3）解：點是內(nèi)一動點且，則點在以為直徑的圓上，當線段的長最小時，點在與圓的交點處，此時，，設直線與直線所成角為，所以，所以直線與直線所成角得余弦值為.18.已知雙曲線的左?右焦點分別為的一條漸近線方程為，過且與軸垂直的直線與交于，兩點，且的周長為16.（1）求的方程；（2）為雙曲線右支上兩個不同的點，線段的中垂線過點，求的取值范圍.解：（1）將代入，得，所以，所以，所以由題得，，所以雙曲線的方程為.（2）由題意可知直線斜率存在且，設，,設的中點為.由消去y并整理得，，則，即，，，，于是點為，，.由中垂線知，所以，解得：.所以由在雙曲線的右支上可得：，且，且或，綜上即，又，所以.因，所以，故，所以，所以.所以.19.已知函數(shù)，，當?shù)闹的苁乖趨^(qū)間上取得最大值時，我們就稱函數(shù)為“關(guān)于的界函數(shù)”.（1）若為“關(guān)于的界函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍;（2）在數(shù)列中，已知，且，，判斷當時，是不是“關(guān)于的界函數(shù)”？若是，請證明：當時，，的值不小于“關(guān)于的界函數(shù)”；若不是，請說明理由；（3）在（2）的條件下，求證：.（1）解：由=x-t1+x得ft因為，所以當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，無最值，不符合題意；當時，且當時，，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以