高級中學名校試題PAGEPAGE1甘肅省張掖市某校2025屆高三下學期二輪復習聯(lián)考（一）數(shù)學試題（B）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，所以，則，因此.故選：B.2.方程組的解集是（）A.，或 B.C. D.【答案】D【解析】由方程組，解得，所以該方程組的解集為，而.故選：D.3.已知非零向量，，滿足：，，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，兩邊平方得，即，∵，∴，∴，∴向量與的夾角為.故選：C4.目前新能源汽車越來越受到人們的關注與喜愛，其中新能源汽車所配備電池的充電量及正常使用年限是人們購車時所要考慮的重要因素之一.某廠家生產的某一型號的新能源汽車配備了兩組電池，且兩組電池能否正常使用相互獨立.電池的正常使用年限（單位：年）服從正態(tài)分布，，，則這兩組電池在20年內都能正常使用的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，∴，∴正態(tài)曲線的對稱軸為，則，即一組電池在20年內能正常使用的概率為，∴這兩組電池在20年內都能正常使用的概率為.故選：D5.某中學從高一學生中抽取了50名男生，50名女生調查高一學生身高的情況.已知所有這100名學生身高的方差為48，其中50名男生身高的平均數(shù)為，方差為16，50名女生身高的平均數(shù)為，則50名女生身高的方差為（）A.15 B.24 C.30 D.36【答案】C【解析】設男生身高的平均數(shù)和方差分別是，女生身高的平均數(shù)和方差分別是，則，，可得所有100名學生身高的平均數(shù).所有100名學生身高的方差，即，解得.故選：C.6.已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，則邊上的高（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，，，∴由余弦定理得，即，解得或（舍去），又，∴，由三角形的面積公式可得，即.故答案為：.7.已知函數(shù)，則函數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知：的定義域為..設，則.當時，，在上單調遞減，所以，，即，故當時，，在單調遞增；當時，，在上單調遞減.所以，.故選：A.8.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，對于任意的，都有，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設，由函數(shù)是上的奇函數(shù)，得的定義域為，且，函數(shù)也是上的奇函數(shù)，對于任意的，都有，得，即，函數(shù)在上單調遞增，又為奇函數(shù)，因此在上單調遞增，由，得，由不等式，則，解得，所以不等式的解集為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若，則B.命題“，都有”的否定是“，使得”C.“”是“”的必要不充分條件D.關于的不等式的解集為，則【答案】ACD【解析】對于A，，故A正確；對于B，“，都有”的否定是“，使得”，故B不正確；對于C，由，可得，所以，所以，所以，解得或“”是“”的必要不充分條件，故C正確；對于D，由題意知和1是關于的方程的兩個根，，解得，，故D正確.故選：ACD.10.如圖，已知底面為矩形的四棱錐的頂點的位置不確定，點在棱上，且，平面平面，則下列結論正確的是（）A.B.平面平面C.若，則直線與平面所成角為D.存在某個位置，使平面與平面的交線與底面平行【答案】ABC【解析】對于A，平面平面，平面平面平面平面，又平面，故A正確；對于B，由A知平面，又平面平面平面，故B正確；對于C，由A知平面，在矩形中，，直線與平面所成的角為，在中，，故C正確；對于D，設平面平面，假設底面，平面平面，平面平面，，則與重合，則，顯然不成立，則假設不成立，故D錯誤.故選：ABC11.已知橢圓的左、右焦點分別為、，直線與橢圓交于、兩點，且，是橢圓上與、不重合的點.下列說法正確的是（）A.若（其中），則橢圓的離心率B.若，則的最大值為C.若，，則D.若，直線、的斜率之積為，則【答案】AC【解析】如下圖所示：因為，所以，，則.對于A，因為，所以，，又，所以，，等式兩邊同時除以可得，即，解得（負值舍去），故A正確；對于B，因為，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，但點不可能在軸上，等號無法取得，故B錯誤；對于C，因為，，所以，，則，故C正確；對于D，設直線、的斜率分別為、，則，設、，則，因為，所以，，兩式相減得，所以，，而，則，故D不正確.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中的系數(shù)為__________.【答案】【解析】的展開式通項為，的展開式通項為，所以，的展開式通項為，由，可得或或或，故展開式中含的系數(shù)為.故答案為：.13.已知函數(shù)，且函數(shù)圖象過點，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為______.【答案】【解析】由題意得，，∵函數(shù)圖象過點，∴，∵，∴，∴，解得，∴.∵，∴，結合在單調遞減，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.故答案為：.14.如圖，圓，為直線上一動點，過點向圓引兩條切線、，切點分別為、，則線段長度的最小值為__________.【答案】【解析】由切線長定理可得，又因為，，則，所以，，所以，，則四邊形的面積為，所以.在中，，代入整理得，要使線段的長度最小，只需使線段的長度最小，而是圓心到直線上任意一點的距離，故當且僅當時，即為圓心到直線的距離時，最小，此時，則.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的公差，其前項和為，且，，成等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，且前項和為，求證：.（1）解：由題意，得，解得.又∵，，成等比數(shù)列，∴，即，解得或（舍去，），∴，故數(shù)列的通項公式為.（2）證明：由（1）知，又，則，則，∴∵，∴.16.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)在上是否存在極值點.若存在極值點，求出極值；若不存在極值點，說明理由.（2）若函數(shù)有三個極值點，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）∵，，∴，∴在上恒成立，當且僅當時，取得等號，∴在上單調遞增，故函數(shù)在上不存在極值點.（2）∵，函數(shù)有三個極值點，∴有三個互不相等的正實數(shù)根.由，得，令，則問題轉化為與的圖象有三個交點，而.令，得或，則當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，又∵當時，；當時，，且，，∴，即實數(shù)的取值范圍為.17.某農科所正在試驗培育甲、乙兩個品種的雜交水稻，水稻成熟后對每一株的米粒稱重，重量達到規(guī)定的標準后，則該株水稻達標.在水稻收獲后，通過科研人員的統(tǒng)計，甲品種的雜交水稻有不達標，乙品種的雜交水稻有不達標.（1）若假設甲、乙兩個品種的雜交水稻株數(shù)相等，一科研人員隨機選取了一株水稻，稱重后發(fā)現(xiàn)不達標，求該株水稻來自甲品種和乙品種的概率分別是多少；（2）科研人員選取了8株水稻，其中甲品種5株，乙品種3株，再從中隨機選取3株進行分析研究，這3株中來自乙品種水稻的有株，求的數(shù)學期望.解：（1）從甲、乙兩個品種的雜交水稻中任取一株，設事件A為“該株水稻來自甲品種”，事件B為“該株水稻不達標”，則，，，，∴，，，該株水稻來自甲品種和乙品種的概率分別是，.（2）依題意的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，∴的數(shù)學期望.18.如圖，直三棱柱中，分別為棱，上的點，為的中點，且.（1）求證：平面；（2）當三棱錐的體積最大時，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：如圖，連接，設，連接.四邊形為平行四邊形，.為的中點，即.又平面平面，平面.（2）解：，而，當時，取最大值2，即當時，三棱錐的體積最大.又三棱柱為直三棱柱，.當時，以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系.則.設平面的法向量為，則，令，則.又平面的一個法向量為，設平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為.19.已知平行四邊形（O為坐標原點）的面積，其中所在直線為，所在直線為，動點的軌跡為雙曲線，且雙曲線與軸沒有交點.（1）求雙曲線的方程；（2）設點，，，直線，與雙曲線分別交于點（其中不與點重合），為直線上一點，且，求的最大值.解：（1）設點，則點到直線的距離，由得，，∴直線的方程為，整理得.由得，，∴，∴平行四邊形的面積，整理得.∵動點的軌跡為雙曲線，且雙曲線與軸沒有交點，∴雙曲線的焦點在軸上，即雙曲線的方程為.（2）由（1）得，點為雙曲線的右焦點，雙曲線漸近線方程為.當直線斜率不存在時，可得直線關于軸對稱，即直線關于軸對稱，不妨設點在點上方，此時，，直線與雙曲線的一條漸近線平行，直線與雙曲線只有一個交點，不合題意，故直線的斜率存在.設直線：，，，由方程組得，則①，，②.∵，