高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1福建省泉州市2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)（三）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】滿(mǎn)足的正整數(shù)只有，所以.故選：A2.已知向量滿(mǎn)足，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，而，則，，而，所以與的夾角.故選：C3.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，又，所以，解得或（舍去），所以，則，所以，.故選：D4.已知圓柱的底面半徑與球的半徑均為1，且圓柱的側(cè)面積等于球的表面積，則該圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)等于（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】設(shè)圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)為，則，解得.故選：B.5.已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為0，則的值為（）A B. C.640 D.1280【答案】A【解析】依題意，展開(kāi)式中項(xiàng)為，其系數(shù)為，展開(kāi)式中項(xiàng)，其系數(shù)為，由展開(kāi)式中的系數(shù)為0，得，所以.故選：A6.已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，點(diǎn)在上，以為圓心的圓與和軸都相切，則該圓被軸截得的弦長(zhǎng)等于（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，不妨取點(diǎn)在第一象限，設(shè)以為圓心的圓的半徑為，因?yàn)橐詾閳A心的圓與和軸都相切，所以，將代入拋物線(xiàn)方程得，解得，則到軸的距離為1，該圓被軸截得的弦長(zhǎng)為.故選：D.7.已知函數(shù)，若，則的值可以是（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】由題意得，，整理得，因?yàn)椋瑒t，.故選：B.8.如圖，已知是圓錐的軸截面，分別為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的平面截圓錐，截口曲線(xiàn)是拋物線(xiàn)的一部分．若在上，則的最大值為（）A B.1 C. D.【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)作，交底面圓于兩點(diǎn)，連接，，，設(shè)，則，所以當(dāng)最大時(shí)，最大，由圓錐的性質(zhì)得底面，因?yàn)榈酌?，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，則，因?yàn)?，平面，所以平面，則平面為截面，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以平面，因平面，所以，所以，則當(dāng)最大時(shí)，最大，如圖為截面的平面圖，以為原點(diǎn)，為軸，過(guò)點(diǎn)垂直向上的方向?yàn)檩S正方向建系，，，，則拋物線(xiàn)方程為，設(shè)，，則，所以，則此時(shí)，.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，現(xiàn)加入兩個(gè)正整數(shù)，構(gòu)成新樣本數(shù)據(jù)，與原樣本數(shù)據(jù)比較，下列說(shuō)法正確的是（）A.若平均數(shù)不變，則 B.若極差不變，則C.若，則中位數(shù)不變 D.若，則方差不變【答案】AC【解析】若平均數(shù)不變，則，解得，故A正確；當(dāng)時(shí)，極差不變，但，故B錯(cuò)；若，則為或或，每一種情況對(duì)應(yīng)的中位數(shù)都是3，故C正確；原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，原數(shù)據(jù)的方差為，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，新數(shù)據(jù)的方差為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以方差有可能改變，故D錯(cuò).故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C.在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn) D.在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，的最小正周期為，的最小正周期為，兩者的最小公倍數(shù)為，故的最小正周期為，A正確；B選項(xiàng)，，故曲線(xiàn)不關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，令得，故或，因?yàn)椋缘慕鉃?，，，，，的解為，，，綜上，在區(qū)間上有5個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，即，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，D正確故選：AD11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若是等差數(shù)列，則 B.若不是遞增數(shù)列，則C.若，則 D.若的最小值為3，則【答案】ABD【解析】若等差數(shù)列，則，所以，解得，，故A正確；，則，，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椴皇沁f增數(shù)列，所以或，則，故B正確；若，則，整理得，又，所以，故C錯(cuò)；因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以恒成立，即，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，，則，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.等比數(shù)列中，，則的前4項(xiàng)和等于______．【答案】5【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解得，因此，所以的前4項(xiàng)和等于5.故答案為：513.如圖，假定兩點(diǎn)以相同的初速度運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)沿射線(xiàn)做勻速運(yùn)動(dòng)，；點(diǎn)沿線(xiàn)段（長(zhǎng)度為單位）運(yùn)動(dòng)，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過(guò)的距離．令與同時(shí)分別從出發(fā)，則數(shù)學(xué)家納皮爾定義為的對(duì)數(shù)中，與的對(duì)應(yīng)關(guān)系就是，其中e為自然對(duì)數(shù)的底．若點(diǎn)從線(xiàn)段的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到靠近的四等分點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)從運(yùn)動(dòng)到，則______．【答案】【解析】令，則，整理得，即，令，則，整理得，即，所以.故答案為：.14.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，線(xiàn)段交軸于點(diǎn)．若，且，則的離心率等于______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以直線(xiàn)的斜率為或，不妨取，則如圖，設(shè)，過(guò)作軸于點(diǎn)，由∽，，，可得，即，故，代入橢圓方程可得：，即，解得，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.四邊形中，．（1）求；（2）若，求四邊形的面積．解：（1）解法一：在中，，由，即，整理得，得或（舍）又，由，即解得．解法二：在，由，得，故，（2）方法一：因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理，得，故，在中，由，即，整理得，解得（舍去）或，在中，由可得，，故四邊形的面積為．方法二：因?yàn)?，所以，由?）可得，在中，由，即，整理得，解得（舍去）或，在中，邊上的高為，故四邊形的面積為．16.如圖，四棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，，．（1）證明：平面；（2）證明：平面；（3）若該四棱臺(tái)的體積等于，且，求直線(xiàn)到平面的距離．解：（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，由四棱臺(tái)，得平面平面，又平面平面，平面面，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，故，又平面平面，所以平面．（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由四棱臺(tái)得，，，，所以四邊形為平行四邊形，，則，所以，所以，由（1），知，又，所以，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面．?）解法一：菱形的面積，由四棱臺(tái)且，可得，四棱臺(tái)的體積，從而，解得，因?yàn)?，所以，故，從而，所以，所以，取的中點(diǎn)，則兩兩垂直，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面即平面的法向量，則即整理，得令，得，從而點(diǎn)到平面的距離，所以直線(xiàn)到平面的距離為．解法二：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，，則的中點(diǎn)均為，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面，過(guò)點(diǎn)作于，且平面平面平面，所以平面，故為點(diǎn)到平面的距離即為直線(xiàn)到平面的距離，因?yàn)?，所以點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離，又中，，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，所以，解得，所以直線(xiàn)到平面的距離為．17.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，又，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為．（2），由題意得，恒成立．令，則，且在單調(diào)遞增，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增；所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，故．（3）解法一：因?yàn)椋灶}意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，．即，整理，得，因?yàn)?，所以，故題意等價(jià)于．設(shè)，的導(dǎo)函數(shù)，化簡(jiǎn)得，考察函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；故在時(shí)，取到最小值，即，即，所以，所以當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；所以的最小值為，故．解法二：先考察，由（2）分析可得，情況1：當(dāng)，即，此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，故，即，符合題意；情況2：若，則，注意到，且，故對(duì)進(jìn)一步討論．①當(dāng)時(shí)，即且由（2）分析知：當(dāng)單調(diào)遞減，故當(dāng)，即單調(diào)遞減，故恒有，不符合題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，注意到在區(qū)間單調(diào)遞減，且，又，故在區(qū)間存在唯一的滿(mǎn)足；同理在區(qū)間單調(diào)遞增，且，故在區(qū)間存在唯一的滿(mǎn)足；故可得+0-0+極大值極小值所以當(dāng)，符合題意；故題意等價(jià)于，即．又因?yàn)椋?，化?jiǎn)，得所以，整理得．注意到，所以，故解得，由之前分析得即考察函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；故在時(shí)，取到最小值，即，即，所以恒成立，故，又注意到情況（2）討論范圍為，所以也符合題意．綜上①②本題所求的取值范圍為．方法三：先探究必要性，由題意知當(dāng)時(shí)，是的最小值，則必要地，即得到必要條件為；下證的充分性，即證：當(dāng)時(shí)，．證明：由（2）可知當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，故的最小值為，符合題意；故只需要證明時(shí)，．由（2）分析知時(shí)，+0-0+極大值極小值其中．注意到，據(jù)此可得更精確的范圍是；所以等價(jià)于證明，又因?yàn)?，即，可得，只需證明，等價(jià)于證明，注意到，即，故若①當(dāng)，此時(shí)顯然成立；若②當(dāng)，只要證明，此時(shí)，且所以，故得證．綜上必要性，充分性的分析，本題所求的取值范圍為．18.已知雙曲線(xiàn)，點(diǎn)在上，過(guò)分別作軸和軸的垂線(xiàn)，垂足分別為和，記線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）過(guò)的直線(xiàn)與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)．證明：（?。?；（ⅱ）．解：（1）設(shè)，則．又線(xiàn)段的中點(diǎn)為，所以即①將①代入，得．所以的方程為．（2）①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，直線(xiàn)為軸，顯然；同時(shí)由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，也易得．②（?。┊?dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，則．由消去，可得，所以，化簡(jiǎn)，得．將代入，得，，又，所以，解得．又，所以，故．（ⅱ）設(shè)．由消去，可得，當(dāng)時(shí)，由韋達(dá)定理，得，即．所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，即．綜合①②，；．19.編號(hào)為的個(gè)球依次被等可能地涂成黑色或白色，設(shè)編號(hào)為奇數(shù)的黑色球的個(gè)數(shù)為，編號(hào)為偶數(shù)的白色球的個(gè)數(shù)為，記事件“”為．（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，求；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，證明：．解：（1）記事件“編號(hào)為的球被涂黑色”為，則，且相互獨(dú)立，所以，同理，可得，所以事件，所以，