淺析向量代數在中學數學中的運用目錄TOC\o"1-3"\h\u1．緒論 11.1選題背景 11.2研究意義 21.3研究價值 22．向量基礎 32.1向量的概念 32.2向量的運算 32.3向量的坐標表示 53．向量在中學數學中的幾何運用 53.1向量法與幾何中的共線問題 53.2向量法與幾何中的數量積問題 114.總結 20參考文獻 22摘要：中學數學中的向量既是物理學研究的工具,又是連接幾何、代數和三角函數的橋梁，有著非常豐富的應用背景．在數學的許多分支中都體現了向量的工具性特征．向量考試以基礎知識為載體，以思維方法為基礎，以提升能力為目的，成為近年來高考的熱門話題．向量常用于解決代數和幾何方面的數學問題，理論研究與實際運用相結合，為解決問題提供了新的途徑和便捷的方法，減少一些復雜的思維和推理的過程，降低學習難度，從而開闊學生的視野，促進學生的全面發展．關鍵詞：平面幾何；立體幾何；中學數學；運用1．緒論1.1選題背景向量也稱矢量,最早使用在物理學中,主要是用向量來表示，比如力、位移、速度等．公元前350年左右,亞里士多德首次發現了可以用向量來表示力,并通過實驗得出，計算兩種力的組合可以使用平行四邊形法則．后由科學家牛頓將力學與解析幾何學中的“向量”用有向線段來表示[1].18世紀末，向量知識正式納入數學知識體系中．在一些西方學者的努力下，向量的基本理論在1801年到1900年逐漸被完善．雖然向量的相關知識進入到數學學科比較遲，但是向量的應用價值極其普遍.向量知識在解決部分理科問題中占據一定的地位［2］．教育必須要適應時代的發展，所以將向量代數引入高中教材變成了一種必然趨勢，它是必然的結果．中學數學中的向量不僅僅是物理研究的工具,又是連接幾何、代數和三角函數的橋梁，有著非常豐富的應用背景．在數學的許多分支中都體現出向量的工具性特征，向量的思想在高等數學和解析幾何中滲透的非常廣泛，學習向量代數有利于大學數學與中學數學的銜接．采用向量代數的形式，可以使分析思路和解決問題的步驟變得簡單流暢，同時又不失嚴謹．方法新穎，思路清晰，操作簡單，提高了做題效率．另外，向量在高考中也備受青睞．向量與其他知識點的交集，成為近年來高考的熱門話題．向量考試以基礎知識為載體，以思維方法為基礎，以提升能力為目的．這與向量的重要教育價值密切相關，它體現了中學幾乎所有的思維方法，如數與形的結合、函數與方程的結合、轉化與劃歸、分類與討論等[3].各種研究表明，向量代數教學的現狀已逐步改善，但仍不樂觀．在很多地方，很多學校的教育都停留在向量代數的基礎計算上，學生基礎不扎實，應用意識薄弱．1.2研究意義向量代數在中學數學中的研究意義重點在于它的計算應用．通過總結向量的規律，能更好更快的解決數學問題，使向量代數的理論研究真正地與實際應用相結合，較好的反映了向量的作用．所以，學會用向量代數解決幾何問題，減少復雜的抽象思維，使向量代數的計算與圖形描述能夠完美結合．它有利于鍛煉學生的邏輯思維能力，幫助學生建立解決基礎數學問題的基本框架.在教學中，學生可以利用向量代數解決現實生活和工作中的問題，從而提高他們用理論解決實際問題的能力［1］．向量具備幾何和代數形式,二者相輔相成.若不能超脫坐標情結和方程情結，過于注重它的代數形式而忽略了幾何形式，以至于在用向量法解題時，基本上和代數中解決應用題的方法(設未知數，列方程)一致，把幾何問題轉化成方程求解，其中包括大量運算，自然較為煩瑣．所以，在理解并熟練掌握向量幾何的時候，就可以利用幾何意義列出方程，在其運算過程中不但使用了數字，還使用了圖形，充分體現了數形結合的思想，這就是運用向量法解決問題的標志.而把向量化到相交線段上，實質也是在尋求一對有效的坐標標架．向量和幾何的相融,已是一種必然趨勢.向量解題在教材中有著別的數學工具無可取代的地位，它可以把數字和圖形結合起來，可以幫助學生建立多維思維去解決數學問題和進一步學習數學知識.但是，從現在向量法在中學教材中所占比重來看，向量法相關問題的解決和講授還很值得研究.同一個數學問題可以有很多解題方法，解題方法有簡單的，有復雜的.簡單高效的解題方法是我們學習數學所追求的.所以，應該教會學生學習更加簡單高效的解題方法［4］．1.3研究價值中學數學中“向量”的引入，主要為解決立體幾何問題提供了一個工具，解決問題時，坐標系的建立很困難，但是坐標系建立后，證明平行和垂直的關系，以及通過向量運算證明立體幾何的角度要方便得多．中學數學引入向量的主要價值體現在以下三方面[3]：第一，利用向量代數知識把幾何問題的交流從定性推進到定量的層面,可以使一些幾何的問題更為簡捷的被解決．用向量解決代數問題，可以使一些問題變得簡單容易．把數轉化成向量,以圖形之間的向量知識關系作為著手點來解決這類問題.把“數”變換為“向量”,用向量的運算或者向量的性質把已經知道的問題轉化為向量的語言.再把這種語言轉換為“代數類語言”,就是“數字—向量—代數”的過程.[5]．第二，在高中的數學課本中已經引入了向量，已經有了“數與形相結合”的思想，還開辟了不一樣的“數與形相結合”的思路．數學思想中比較重要的思想之一就是數與形相結合的思想,向量的運算在數學中是數與形相結合中榜樣般的存在,向量能夠把幾何類型的問題變換成代數類型的問題,也能用代數類型的問題變換成幾何類型的問題,“形”與“數”的轉換為解決問題提供了新的途徑和便捷的方法［6］.可以用向量的相關知識把幾何類型的問題轉化，然后用向量的基本運算求解這類問題,可以將復雜的問題變得簡單進而提高解題的效率［7］．第三，向量本身的豐富內涵可以使學生的智力不斷發展．高中數學課程改革改變了以往的教學內容和教學理念,向量逐漸引起人們關注,形成了一套獨特的運算體系．目前,向量己經成為高中數學教材的一部分,也是數學教學中的一個亮點．用這個知識去解決數學中的問題與傳統的解題相比較在步驟和方法上占有絕對的優勢,解題的步驟在很大程度減少了.學生在學習過程中逐漸意識到向量是一個強大的工具,并牢牢地運用好它、掌握好它［1］．2．向量基礎2.1向量的概念在高中階段,向量是這樣定義的：有大小和方向的量，用一條有方向的線段來表示向量．向量的模（或長度）表示的是向量的大小．記作．向量是不能比較大小的,但是向量的模是可以比較大小的．零向量：模（或長度）為0，方向任意的向量，記作,所以零向量與任何向量共線．單位向量：模為1的向量．方向相同或相反的非零向量是平行向量,記作.方向相同且長度相等的向量叫做相等向量,任何兩個單位向量不一定是相等向量．與向量長度相等且方向相反的向量稱為的相反向量,記作．[8]2.2向量的運算向量求和的平行四邊形法則：已知兩個不共線向量(如圖1),作，,則三點不共線,以為鄰邊作平行四邊形,則對角線上的向量．這個法則叫做兩個向量求和的平行四邊形法則．圖1向量減法：如果把兩個向量的始點放在一起,則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點,被減向量的終點為終點的向量［8］．向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量,的充要條件是存在實數,使．平面向量的數量積：已知兩個非零向量和，則是和的數量積,即.空間向量的數量積(內積)：己知兩個非零向量,則稱為和的數量積,記為,即.向量數量積的交換律：.向量數量積的數乘結合律：．向量數量積的分配律：．向量數量積的性質：，及其變形．2.3向量的坐標表示坐標相同的向量是相等的向量．空間向量運算的坐標表示：設，，則；；；；.，.3．向量在中學數學中的幾何運用3.1向量法與幾何中的共線問題3.1.1平面中的三點共線問題利用向量共線的充要條件解決平面中的三點共線問題，最簡潔的辦法是利用向量去代替題目中出現的條件，把幾何問題轉換成向量問題，然后經過計算得出最后的結果．例題1如圖2，已知兩邊和的中點分別是和，在延長線上取點，使得，在延長線上取點，使得，求證三點共線．圖2證明1是的中點又，同理可得又是公共點．證明2在中，為的中位線同理可得又,有公共點．此題用兩種方法來解決，解法1是綜合法，解法2是向量法．通過對比可以看出向量法步驟明顯比綜合法的簡單，更直觀，更容易理解，削弱了解題技巧，減少很多復雜的步驟，與傳統的綜合法相比，它將是自然和簡單的．向量方法的優勢更加明顯．3.1.2平面中的線線平行問題在運用平間向量解決線線平行問題時，也可采用兩種解題思路：第一種思路是運用向量共線的充分必要條件：對于空間任意兩個向量,的充分必要條件是存在實數,使；第二種思路是先計算出兩條直線的方向向量，然后在證明方向向量共線．例題2設是內一點．過作平行于的直線，與和分別交于和．過做直線平行于，與的延長線交于．求證：．證明1如圖3，延長交于點.因為任何三角形可以由等腰直角三角形經仿射變換而得,因此,不妨設是等腰直角三角形,圖形的其余部分則在保持共線三點的單比不變,接合性不變的要求下構畫而成.這時，．再過點作，，．即有．圖3證明2設,，則于是即．本題中用綜合法來解決時需要通過復雜的作圖過程，但是用向量法來解決則不需要，直接利用向量共線的充要條件公式，就把題給解出來了學生更容易理解．在做這一類題型的時候用向量法來解決問題，可以簡化一些復雜的運算和產生一些趣味性的深刻思考．3.1.3空間中的線線平行問題例題3如圖4，為三棱柱，記平面和平面的交線為.試判斷直線和的位置關系，并證明．圖4解．證明如下證明１在三棱柱中，,，．證明２設又設，可得，由于，，不共面所以，，；，所以．此題用兩種方法來解決空間中的線線平行問題，通過上述的解答過程可以看出，向量法是以計算代替了證明，降低了對邏輯思維需求，與傳統的幾何綜合法相比，向量法的優越性體現的更加的明顯.3.1.４空間中的線面平行問題當使用空間中的向量來證明線和面平行時，應建立兩種解決問題的思想方法:一種是根據直線和平面平行的判定定理來得出結論，并證明直線的方向向量平行于平面中直線的方向向量；另外一種是根據直線的方向向量和平面的法向量是相互垂直的，進一步得出結論．位置關系的辨析可以通過空間向量來解答．例如，根據“垂直于平面的向量垂直于不在平面上的直線的方向向量”定理用來證明一條直線與該平面是否平行有關．像這樣，就可以將直線和平面之間的位置關系轉換為向量與向量之間垂直的相關問題．要證明直線與平面平行的關系，首先要找到2個在平面上不共線的向量，然后在一條直線上找到找到一個向量，進一步來證明該直線與該平面平行．例題4如圖5，在四棱錐中，底面是正方形，側棱，,是的中點，作交于．試判斷直線和平面的位置關系，并證明．（2004年天津高考試題改編）圖5解，證明如下證明1連接，交于，連接底面是正方形點是的中點，在中，是中位線所以，而，且所以．證明2，而，故．例題４用兩種方法來解決，通過對比可以看出，向量法以計算代替證明，降低了對邏輯思維和空間能力的需求，與傳統的幾何綜合法相比，向量法會更自然、簡單、易懂．總而言之，立體幾何中空間向量的應用，體現了知識與思維的創新，找到了解決問題的捷徑．3.1.5空間中的面面平行問題空間向量不同于平面向量，它們在本質上有著很大的區別.空間向量用于處理三維立體圖形的一些相關數學問題．三維立體圖形和平面圖形不同，如果使用傳統的方法來處理問題時，速度就會變得很慢．但是，空間向量的應用可以簡化空間中平面和平面之間的繁雜關系，并處理在立體幾何中的一些平行問題．將空間向量逐漸引入到立體幾何中的相關數學問題．通過使用向量的線性計算可以將立體幾何問題轉化成為數字符號的計算問題，使學生更方便地使用．例題5如圖6，在正方體中，求證：．圖6證明1為正方體，又，，是平行四邊形又同理可得，．證明2建立如圖7所示的空間直角坐標系，設棱長為，則,,,,則,即直線因此同理可得，故．圖7因為該題中的三種平行關系是可以相互轉換的，所以本題可以用邏輯推理來證明．使用向量法可以將邏輯問題轉化為用算術法來計算，建立空間直角坐標系是使用向量法必不可少的一步．對于法１則是完全采用幾何證明，需要嚴密的邏輯思維．所以說相較于法1而言，法2學生更容易接受，理解起來也更容易.3.2向量法與幾何中的數量積問題3.2.1平面中的線線垂直問題例題6如圖8，以的邊和分別為一邊，向形內作正方形和．求證且．（1985年揚州競賽試題）圖8證明1因為四邊形和是正方形所以，，所以，即所以所以又可看作繞點，順時針方向旋轉得到，從而．證明2且．此題用兩種方法來解決，通過對比可以看出向量法步驟明顯比綜合法的簡潔，直觀，不需要太多復雜的步驟.與傳統的綜合法相比，它將是自然和簡單的．3.2.2空間中的線線垂直問題在空間立體幾何中可以用定理直接證明線線垂直也可以運用向量法求出線段的方向向量的數量積為零.例題7如圖9，已知直三棱柱中，，，，，是中點，證明：．圖9證明1，為直三棱柱又由三垂線定理知，．證明2以為坐標原點，設，，，，，，，，有．這個例題利用向量法把幾何問題轉化為純粹的向量運算問題，證明過程簡單明了，通俗易懂．相比綜合法復雜的證明過程顯然向量法學生更容易接受，體現了用向量解決幾何問題的優越性.3.2.3空間中的線面垂直問題當我們在計算幾何題時，可以用兩種方法來證明線面垂直問題．第一種就是我們常規想到的把線面問題轉換為線線問題，第二種就是建立直角坐標系求出直線的方向向量和平面的法向量平行．例題8如圖10，在四棱錐中，底面是正方形，側棱，,是的中點，作交于．試判斷直線和平面的位置關系，并證明．（2004年天津高考試題改編）圖10解,證明如下證明1且可知是等腰直角三角形，而是斜邊的中線=1\*GB3①同樣由，得底面是正方形，有．而=2\*GB3②由=1\*GB3①和=2\*GB3②推得．而又且，所以．證明2，所以．例題8用兩種方法來解決，通過對比可以看出，向量法以計算代替證明，降低了對邏輯思維和空間能力的需求，與傳統的幾何綜合法相比，向量法會顯得自然、簡單、易懂．總而言之，空間向量在立體幾何中的應用，體現了知識與思維的創新，找到了解決問題的捷徑．3.2.4空間中的面面垂直問題當我們在面對線面垂直時有兩種證明方法，同樣的在面對面面垂直時我們也有兩種方法．第一種是可以通過把面面垂直問題轉換為線線問題或線面問題然后根據判定定理來證明，第二種則是運用向量證明兩個平面的法向量數量積為零．例題9(2008年高考陜西卷)三棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體如圖11所示，截面為，，，，，為的中點，證明：．圖11證明1又，，為的中點又．證明2建立如圖12所示的空間直角坐標系，則，，，，為的中點，，，，,又而．圖12對于向量法來說建立恰當空間直角坐標系，這樣便于計算所要求的點的坐標，然后準確算出對應的向量，然后對兩個向量做點乘即可．3.2.5利用空間向量解決空間距離的問題在學習空間幾何時，我們把點到面的距離看作是點到平面的正交投影的距離．在點到面的距離的基礎上，我們還可以探究兩平面的距離、空間中兩直線的距離、線到面的距離等.由于點到面的距離可以計算，那在空間幾何中不管是什么樣的距離都是可以計算的．又因為在空間幾何中“點到平面的距離相等”這一觀點，空間幾何中的距離問題都可以根據點到平面的距離來進行解決．由此可以看出空間距離問題是可以通過向量計算的．例題10如圖13，已知長方體，是邊長為的正方形，，點為的中點，求點到平面的距離．圖13解法1設為平面的法向量，由得；由得；所以，，即點到平面的距離為．解法2以為坐標原點建立坐標系，設，，，，，，，設面的一個法向量為，則有，，得，．令得，，即，面取一點，故在法向量上得射影得長度為，即點到平面的距離為．兩種解法本質一致，解法寫法上顯得簡略．若利用體積計算則更簡明:容易求出四面體的體積為，正三角形面積為，故點到平面的距離為．注意是的中點，故點和到平面的距離相等，就更容易解決了．3.2.6利用空間向量解決空間角的問題向量在立體幾何中應用廣泛，可以求二面角的大小.如果學生在處理立體幾何問題時能靈活運用向量，那么不僅能使學生學習難度降低，還能幫助學生從新的視角出發使復雜的立體幾何問題變得簡單且易解.立體幾何問題在高考中也是必考問題，如果學生能熟練掌握且運用向量，那學生就能在高考中快速、準確地解題.在的立體幾何中距離問題和角度問題是非常重要的，這兩類問題也是高考的常客.可見在高中的教學過程中對空間角度和距離的教學是必不可少的，同時也說明教師要培養學生運用空間向量或代數方法解決立體幾何問題的能力.其中空間向量為代數方法提供輔助，同時在解題過程中空間向量可以簡化復雜的推理論證過程，使解題變得更快捷.向量在立體幾何中應用廣泛，可以求二面角的大小.若掌握用向量的方法解決立體幾何問題，不僅會降低學習難度，而且增強了可操作性，為學生提供嶄新的視角，消除學生學習立體幾何的畏懼感，有利于學生在高考中快速、準確地解題.在立體幾何中，尋找空間角度和距離是一類重要的問題，此類題型一直出現在高考中，這使得空間角度成為立體幾何教學的重點內容．在解決空間角度問題的過程中，可以合理使用空間向量，空間向量的引入可以為代數方法解決立體幾何問題提供有效的工具．在解題中，可以用定量計算代替定性分析，可以簡化復雜的推理和論證過程，有助于加快解題速度，提高解題效率［9］．例題11如圖14，長方體的底面是正方形，點在棱上，．（2019全國二卷理科17題）證明：；若,求二面角的正弦值．圖14解（1）由已知得，,，故．又,所以．（2）解法1由（1）知．由題設知，所以，故,．以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖15所示的空間直角坐標系，則,,,,,,．圖15設平面的法向量為，則即所以可?。O平面的法向量為，則即所以可取．于是，所以，二面角的正弦值為．解法2如圖16所示，連接．設，不妨設，則，，．圖16,解得，則．連接，，相交于點，連接由題意可知,,,即．在長方形中，，．連接，有又，則．．取的中點，連接，，則．．設,連接,則為二面角的平面角，且設,易得．又．易知又為的中點．,,則，故．此題的第二問用兩種方法來解決這個問題，解法1是向量法，解法2是綜合法．通過對比可以看出，向量法以計算代替證明，可操作性強，削弱了解題技巧，降低了邏輯思維和空間能力的需要，與傳統的幾何綜合法相比，向量法會顯得自然簡單．尤其是坐標系容易建立的前提下，向量法的優越性更加明顯．在立體幾何中，向量方法的應用不僅降低了推理的難度，而且還簡單易懂，合理避免了綜合法中繁瑣的定性分析．4.總結本文主要從幾何方面探究了向量在解決數學問題中的應用，逐步展開分析，層