矩陣函數5.2矩陣函數矩陣函數的定義根據定理5.12,只要方陣的所有特征值都在冪級數的收斂圓內,矩陣冪級數就絕對收斂,它的和仍然是一個矩陣.現在給出矩陣函數的解析定義.矩陣函數的概念與通常函數的概念類似,不同的是,這里的自變量和因變量都是階方陣.定義5.13設冪級數的收斂半徑為且當時,冪級數收斂于函數即

若則稱收斂的矩陣冪級數的和為矩陣函數,記為即特殊地,當時,對任意矩陣函數根據這個定義,我們可以形式地得到與微積分中的一些函數類似的矩陣函數.已知

矩陣函數在各自的收斂域內均收斂,因此,對于有

其中,、、分別稱為矩陣指數函數、矩陣正弦函數、矩陣余弦函數,它們均絕對收斂.矩陣函數若將矩陣函數中的變量換成為參數,則相應地變為

在理論與工程應用中,經常用到以上含參數的矩陣函數.值得注意的是,在微積分中,指數函數具有的運算規律在矩陣分析中,一般不再成立.例如,令則從而

因此又由可得進而得到

由此容易推出

可見,互不相等.矩陣函數矩陣函數如果和可交換,則有事實上

因為所以同理可證特殊地,其中,是整數.矩陣函數對于下面再列出一些常見的矩陣指數函數及矩陣三角函數的性質.(1)

(2)

(3)

(4)

(5)當時,有

矩陣函數矩陣函數的計算矩陣的計算本來就很復雜,根據定義計算矩陣函數顯然更加復雜.因此,需要尋求計算矩陣函數的其他方法.本節主要介紹計算矩陣函數的兩種主要方法.方法1利用矩陣的Jordan標準型計算矩陣函數引理5.1設是對角線元素為的階Jordan塊,冪級數其收斂半徑為則當時,矩陣冪級數收斂,且其和為矩陣矩陣函數證令則容易算得

其中,若則因此矩陣函數矩陣函數因為的收斂半徑為且所以

收斂,且

因此矩陣函數定理5.14(Lagrange-Sylvester定理)

設冪級數其收斂半徑為矩陣的Jordan標準型為其中,其相似變換矩陣為即若則矩陣冪級數收斂,其和為矩陣函數其中

根據引理5.1即可得證.矩陣函數根據定理5.14,將利用Jordan標準型計算矩陣函數的步驟總結如下.第一步：求的Jordan標準形及相似變換矩陣和第二步：求第三步：計算例5.10證明證設是的Jordan標準型,是的特征值,則存在非奇異矩陣使得

因此

例5.11已知矩陣計算解的Jordan標準型為矩陣函數其相似變換矩陣和分別為

且

從而矩陣函數當時,從而

當時,從而

當時,從而矩陣函數定理5.14提供了計算矩陣函數的一種方法.用這種方法必須先計算出Jordan標準型和相似變換矩陣從例5.11中可以看出,其計算過程還是比較繁瑣的.下面介紹的待定系數法相比較而言要簡單一些.但這種方法的理論推導非常復雜,因此這里只將方法和結果介紹給讀者.方法2待定系數法設其最小多項式為

其中,為的互異特征值；為了計算矩陣函數記將形式地寫為

其中,為含有參數的的表達式,為含有參數的次數不超過的的多項式,即矩陣函數因為是最小多項式,所以

因此,只要求出便可得到注意到

對式(5.1)兩端關于求導,并利用式(5.2),可得

由式(5.3)即可得到以為未知量的線性方程組.解之,即得.矩陣函數綜合以上分析,現將用待定系數法計算矩陣函數或的步驟總結如下.第一步：求矩陣的最小多項式第二步：設根據

或者

列方程組,求解第三步：計算(或)需要指出的是,如果第一步求出的是特征多項式,那么也可以按此步驟繼續計算下去,只是計算量稍微大一些.矩陣函數例5.12已知矩陣計算解容易求得的最小多項式為因此可設由

得

解得因此,再由矩陣函數解得因此注需要指出的是,矩陣函數的計算不僅僅局限于以上兩種方法.針對矩陣的不同特點,可以有不同的計算方法.例5.13設求

解根據Cayley-Hamilton定理,因此,

即有遞推公式矩陣函數所以

例5.14設其特征值為求解因