MATRIXTHEORY矩陣理論山東科技大學張子葉線性空間與線性變換第2章

目錄2.1線性空間2.2線性子空間2.3線性變換2.4線性變換的值域、核及不變子空間2.5線性空間的同構2.6內積空間線性空間2.1線性空間線性空間的概念與性質

定義2.1設是一個非空集合,

是一個數域,對中的元素定義以下兩種代數運算(其中

).(1)加法：使得有

(2)數乘：使得和有也就是說,對于加法和數乘運算封閉,且這兩種運算滿足以下8條運算規律.(1)加法交換律：(2)加法結合律：(3)存在零元使(4)存在負元,即對任意存在使稱為

的負元,記為

(5)(6)數乘結合律：線性空間(7)分配律：(8)數因子分配律：此時,稱為數域上的線性空間或向量空間.

線性空間的元素也稱向量.當然,這里所謂的向量比的向量的含義要廣泛得多.實數域上的線性空間簡稱實線性空間,復數域上的線性空間簡稱復線性空間.例2.1維實(復)向量的全體()按通常的向量加法和數乘運算構成線性空間.例2.2維實(復)矩陣的全體()按通常的矩陣加法和數乘運算構成線性空間,稱為矩陣空間.例2.3實數域上所有次數不超過的多項式全體按通常多項式的加法和數乘運算構成線性空間,稱為多項式空間.記為例2.4閉區間上連續函數的全體按通常函數的加法與數乘運算構成線性空間,記為

線性空間例2.5二階齊次線性微分方程解的全體按通常函數的加法與數乘運算構成線性空間..例2.6齊次線性方程組解的全體

在向量的加法和數乘運算下構成線性空間,稱為齊次線性方程組的解空間或矩陣的核空間.例2.7設是所有正實數的集合,在其中定義加法與數乘運算分別為

驗證對上述加法與數乘運算構成實數域上的線性空間.證

對任意

,有;對任意和,有,即對所定義的加法與數乘運算封閉.對任意有以下結論.(1)(2)線性空間(3)稱1是零元.(4)故是的負元.

(5)(6)(7)(8)因此,對這兩種運算構成實線性空間.線性空間具有如下一些基本性質.性質1零元是唯一的.證設和是線性空間的兩個零元,則由是零元得,又由是零元得,故.

線性空間性質2任一元素的負元是唯一的.證設和都是的負元,即于是

性質3

證

因為

所以.又因為

所以.由此可得性質4若,則或.證若,由性質3可得;若,則由性質3可得線性空間向量組的線性相關性

定義2.2設是數域

上的線性空間,是的一個向量組,稱向量

為向量組的一個線性組合.若向量是向量組的一個線性組合,即存在于中一組數使得(2.1)則稱可由線性表示.如果向量組中的每個向量都可由向量組線性表示,即存在

,使得

(2.2)線性空間則稱向量組可由向量組線性表示.如果向量組與向量組可以相互線性表示,則稱向量組與向量組等價.

式(2.1)和式(2.2)可分別記為線性空間定義2.3設是數域上的線性空間,是的一個向量組,若存在不全為零的數,使得

則稱向量組線性相關,否則稱該向量組線性無關.注由定義2.3可知,向量組線性無關的充要條件是,如果有一組數

使得,則例2.8在線性空間中,向量組是線性無關的.解設中有一組數

使得

對上式依次求階導數得線性空間與前一式聯立求解得唯一零解故是線性無關的.例2.9在線性空間中,設是第行第列元素為1、其余元素全為0的矩陣,則向量組線性無關.解以為例：

設,即故是中線性無關的向量組.線性空間類似地,向量空間中成立的一些結論可以照搬到一般的線性空間,并得出相同的結論.這里不再重復這些論證,只敘述如下.

定理2.1向量組線性相關的充要條件是該向量組中至少有一個向量可由其余個向量線性表示.定理2.2設向量組線性無關,而向量組線性相關,則向量可由向量組線性表示,且表示法是唯一的.

定理2.3若向量組有部分向量線性相關,則該向量組一定線性相關(部分相關,整體必相關)；等價地,若一個向量組線性無關,則該向量組的任意部分向量一定線性無關(整體無關,部分必無關).定理2.4設向量組線性無關,并可由向量組線性表示,則線性空間基、維數與坐標

線性空間中一般都有無窮多個元素,為了把這無窮多個元素表示出來,引入下面的定義(定義2.4)定義2.4設是線性空間的一個向量組,如果該向量組滿足以下條件：①線性無關；②中任一向量都可由線性表示.那么稱向量組是的一組基,稱為線性空間的維數,記為.維數為的線性空間稱為維線性空間,記為

,此時也稱是有限維線性空間.規定零空間(只含零向量的線性空間)的維數為0.若在中可以找到任意多個線性無關的向量,則稱是無限維線性空間.例如,由所有實系數多項式構成的實線性空間是無限維線性空間.無限維線性空間是一個專門研究的對象,本書只涉及有限維線性空間.

線性空間例2.10是維線性空間.證由例2.8可知,向量組是線性空間的一組線性無關的向量,并且任一次數不超過的多項式可表示為

因此,是的一組基,且例2.11線性空間是維線性空間證由例2.9可知,向量組是該線性空間的一組基,從而

注根據基的定義,可以證明線性空間中任意個線性無關的元素都可以作為它的基.因此,線性空間中的基不是唯一的.例如,4維線性空間的基可取為(2.3)線性空間或

(2.4)定義2.5設是數域上的維線性空間,是的一個基,中任意向量可由基唯一線性表示為

則稱為在基下的坐標,記為例2.12在維線性空間中,如果取基為維單位坐標向量,即

則向量在該基下的坐標為如果取基為線性空間

則有

從而,在該基下的坐標為例2.13在維線性空間中,取基,則中的多項式

在該基下的坐標為若取基則多項式按泰勒公式展開為

因此,在該基下的坐標為線性空間

例2.14在4維線性空間中,求矩陣在如式(2.3)和式(2.4)所示的基下的坐標.解因為所以在如式(2.3)所示的基下的坐標為設

由矩陣相等的定義得

解此方程組得故在如式(2.4)所示的基下的坐標為線性空間基變換與坐標變換

線性空間可以有不同的基,一個向量在不同基下的坐標一般也不相同.下面討論同一向量在不同基下的坐標之間的關系.定義2.6設是數域上的維線性空間,和是的兩個基,且基用基表示為(2.5)

線性空間稱矩陣

為由基到基的過渡矩陣.此時,式(2.5)可記為

(2.6)稱式(2.5)或式(2.6)為從基到基的基變換公式.過渡矩陣反映了線性空間的不同基之間的關系,這是一個很重要的概念.現在進一步討論過渡矩陣的一些性質.定理2.5設是維線性空間中由基到基的過渡矩陣,那么是一個可逆矩陣,且由基到基的過渡矩陣為;反之,任意一個

階可逆矩陣都可以作為中一個基到另一個基的過渡矩陣.線性空間證因為基到基的過渡矩陣為,所以有

設基到基的過渡矩陣為,則有

比較上面兩式有

由于和都是基,則,因此矩陣可逆,且反之,設為任意一個可逆矩陣,任意取定中的一個基,取

則有和因此也是的一個基.線性空間定理2.6設在基下的坐標為在基下的坐標為基到基的過渡矩陣為,則稱或(2.7)為坐標變換公式.證由假設可得

把式(2.6)代入上式得

線性空間因為坐標是唯一的,所以

即或.

定理2.7設是數域上維線性空間的一個基,它們關于基的坐標分別為和設,則有以下結論.(1)在基下的坐標是(2)在基下的坐標是定理2.8設都是維線性空間的基,基到基的過渡矩陣為

基到基的過渡矩陣為

基到基的過渡矩陣為則證由