山東省青島市2021年中考數學真題一、單選題1．剪紙是我國古老的民間藝術，下列四個剪紙圖案為軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．下列各數為負分數的是（）A．－1 B．?12 C．0 3．如圖所示的幾何體，其左視圖是（） A． B． C． D．4．2021年3月5日，李克強總理在政府工作報告中指出，我國脫貧攻堅成果舉世矚目，5575萬農村貧困人口實現脫貧.5575萬＝55750000，用科學記數法將55750000表示為（）A．5575×104 B．55.75×1055．如圖，將線段AB先繞原點O按逆時針方向旋轉90°，再向下平移4個單位，得到線段A'B'，則點AA．(1，?6) B．(?1，6) C． 第5題圖 第6題圖6．如圖，AB是⊙O的直徑，點E，C在⊙O上，點A是EC的中點，過點A畫⊙O的切線，交BC的延長線于點D，連接EC．若∠ADB=58.5°，則A．29.5° B．31.5° C．7．如圖，在四邊形紙片ABCD中，AD//BC，AB=10，∠B=60°．將紙片折疊，使點B落在AD邊上的點G處，折痕為EF．若∠BFE=45°，則 A．5 B．35 C．53 D．8．已知反比例函數y=bx的圖象如圖所示，則一次函數y=cx+a和二次函數 A． B． C． D．二、填空題9．計算：(8+10．在一個不透明的袋中裝有若干個紅球和4個黑球，每個球除顏色外完全相同．搖勻后從中摸出一個球，記下顏色后再放回袋中．不斷重復這一過程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估計袋中紅球的個數是．11．列車從甲地駛往乙地．行完全程所需的時間t(?)與行駛的平均速度v(km/?)之間的反比例函數關系如圖所示．若列車要在2.5?內到達，則速度至少需要提高到 第11題圖 第12題圖12．已知甲、乙兩隊員射擊的成績如圖，設甲、乙兩隊員射擊成績的方差分別為S甲2、S乙2，則S甲2S乙13．如圖，正方形ABCD內接于⊙O，PA，PD分別與⊙O相切于點A和點D，PD的延長線與BC的延長線交于點E．已知AB=2，則圖中陰影部分的面積為．14．已知正方形ABCD的邊長為3，E為CD上一點，連接AE并延長，交BC的延長線于點F，過點D作DG⊥AF，交AF于點H，交BF于點G，N為EF的中點，M為BD上一動點，分別連接MC，MN．若S△DCGS△FCE=1三、解答題15．已知：∠O及其一邊上的兩點A，B．求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且點C在∠O內部，∠BAC=∠O．16．（1）計算：(x+2x+1x)÷x2?1x17．為踐行青島市中小學生“十個一”行動，某校舉行文藝表演，小靜和小麗想合唱一首歌．小靜想唱《紅旗飄飄》，而小麗想唱《大海啊，故鄉》．她們想通過做游戲的方式來決定合唱哪一首歌，于是一起設計了一個游戲：下面是兩個可以自由轉動的轉盤，每個轉盤被分成面積相等的幾個扇形．同時轉動兩個轉盤，若兩個指針指向的數字之積小于4，則合唱《大海啊，故鄉》，否則合唱《紅旗飄飄》；若指針剛好落在分割線上，則需要重新轉動轉盤．請用列表或畫樹狀圖的方法說明這個游戲是否公平．18．某校數學社團開展“探索生活中的數學”研學活動，準備測量一棟大樓BC的高度．如圖所示，其中觀景平臺斜坡DE的長是20米，坡角為37°，斜坡DE底部D與大樓底端C的距離CD為74米，與地面CD垂直的路燈AE的高度是3米，從樓頂B測得路燈AE項端A處的俯角是42.6°．試求大樓（參考數據：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈19．在中國共產黨成立一百周年之際，某校舉行了以“童心向黨”為主題的知識競賽活動．發現該校全體學生的競賽成績（百分制）均不低于60分，現從中隨機抽取n名學生的競賽成績進行整理和分析（成績得分用x表示，共分成四組），并繪制成如下的競賽成績分組統計表和扇形統計圖．其中“90≤x≤100”這組的數據如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100. 請根據以上信息，解答下列問題：（1）a=；（2）“90≤x≤100”這組數據的眾數是分；（3）隨機抽取的這n名學生競賽成績的平均分是分；（4）若學生競賽成績達到96分以上（含96分）獲獎，請你估計全校1200名學生中獲獎的人數．20．某超市經銷甲、乙兩種品牌的洗衣液，進貨時發現，甲品牌洗衣液每瓶的進價比乙品牌高6元，用1800元購進甲品牌洗衣液的數量是用1800元購進乙品牌洗衣液數量的45（1）求兩種品牌洗衣液的進價；（2）若超市需要購進甲、乙兩種品牌的洗衣液共120瓶，且購進兩種洗衣液的總成本不超過3120元，超市應購進甲、乙兩種品牌洗衣液各多少瓶，才能在兩種洗衣液完全售出后所獲利潤最大？最大利潤是多少元？21．如圖，在?ABCD中，E為CD邊的中點，連接BE并延長，交AD的延長線于點F，延長ED至點G，使DG=DE，分別連接AE，AG，FG．（1）求證：△BCE?△FDE；（2）當BF平分∠ABC時，四邊形AEFG是什么特殊四邊形？請說明理由．22．科研人員為了研究彈射器的某項性能，利用無人機測量小鋼球豎直向上運動的相關數據．無人機上升到離地面30米處開始保持勻速豎直上升，此時，在地面用彈射器（高度不計）豎直向上彈射一個小鋼球（忽路空氣阻力），在1秒時，它們距離地面都是35米，在6秒時，它們距離地面的高度也相同．其中無人機離地面高度y1（米）與小鋼球運動時間x（秒）之間的函數關系如圖所示；小鋼球離地面高度y2（米）與它的運動時間（1）直接寫出y1與x（2）求出y2與x（3）小鋼球彈射1秒后直至落地時，小鋼球和無人機的高度差最大是多少米？23．問題提出：最長邊長為128的整數邊三角形有多少個？（整數邊三角形是指三邊長度都是整數的三角形．）問題探究：為了探究規律，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的結論．①如表①，最長邊長為1的整數邊三角形，顯然，最短邊長是1，第三邊長也是1.按照（最長邊長，最短邊長，第三邊長）的形式記為(1，1，表①最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式11(111個11×1②如表②，最長邊長為2的整數邊三角形，最短邊長是1或2.根據三角形任意兩邊之和大于第三邊，當最短邊長為1時，第三邊長只能是2，記為(2，1，2)，有1個；當最短邊長為2時，顯然第三邊長也是2，記為表②最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式21(212個11×22(21③下面在表③中總結最長邊長為3的整數邊三角形個數情況：表③最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式31(312個22×22(3，223(31④下面在表④中總結最長邊長為4的整數邊三角形個數情況：表④最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式41(413個22×32(4，223(4，324(41（1）請在表⑤中總結最長邊長為5的整數邊三角形個數情況并填空：表⑤最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式51(512(5，2234(5，425(51（2）問題解決：最長邊長為6的整數邊三角形有個．（3）在整數邊三角形中，設最長邊長為n，總結上述探究過程，當n為奇數或n為偶數時，整數邊三角形個數的規律一樣嗎？請寫出最長邊長為n的整數邊三角形的個數．（4）最長邊長為128的整數邊三角形有個．（5）拓展延伸：在直三棱柱中，若所有棱長均為整數，則最長棱長為9的直三棱柱有個．24．已知：如圖，在矩形ABCD和等腰Rt△ADE中，AB=8cm，AD=AE=6cm，∠DAE=90°．點P從點B出發，沿BA方向勻速運動．速度為1cm/s；同時，點Q從點D出發，沿DB方向勻速運動，速度為1cm/s．過點Q作QM//BE，交AD于點H，交DE于點M，過點Q作QN//BC，交CD于點N．分別連接PQ，解答下列問題：（1）當PQ⊥BD時，求t的值；（2）設五邊形PMDNQ的面積為S(cm2)，求S（3）當PQ=PM時，求t的值；（4）若PM與AD相交于點W，分別連接QW和EW．在運動過程中，是否存在某一時刻t，使∠AWE=∠QWD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、不是軸對稱圖形，本選項不符合題意；B、不是軸對稱圖形，本選項不符合題意；C、是軸對稱圖形，本選項符合題意；D、不是軸對稱圖形，本選項不符合題意．故答案為：C．【分析】軸對稱圖形：一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形；據此逐一判斷即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：A、-1是負整數，故本選項不符合題意；B、?1C、0是整數，故本選項不符合題意；D、3是無理數，故本選項不符合題意；故答案為：B．【分析】既是分數又是負數的數，是負分數.3．【答案】A【解析】【解答】解：從左邊看過去，可以看到這個幾何體的兩個面，兩個面都是長方形，兩個長方形是上下兩個長方形，中間的棱可以看到，所以左視圖是：故答案為：A【分析】左視圖：從物體左面所看的平面圖形，注意：看到的棱畫實線，看不到的棱畫虛線，據此判斷即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：55750000=5.故答案為：C．【分析】將一個數表示成a×10的n次冪的形式，其中1≤|a|<10，n為整數，這種記數方法叫科學記數法。根據科學記數法的定義求解即可。5．【答案】D【解析】【解答】解：如圖連接OA，將OA點繞O點逆時針旋轉90°，得到點A''（-1，2），A''向下平移4個單位，得到A'（-1，-2）；故答案為：D．【分析】先求出A點繞O點逆時針旋轉90°的坐標為（-1，2），再求其向下平移4個單位后得到的點的坐標即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：∵AD是⊙O的切線，∴BA⊥AD，∵∠ADB=58.5°，∴∠B=90°-∠ADB=31.5°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°-∠B=58.5°，∵點A是弧EC的中點，∴BA⊥EC，∴∠ACE=90°-∠BAC=31.5°，故答案為：B．【分析】根據切線的性質可得BA⊥AD，利用直角三角形的性質可得∠B=90°-∠ADB=31.5°，跟姐姐圓周角定理可得∠ACB=90°，從而求出∠BAC=90°-∠B=58.5°，根據垂徑定理可得BA⊥EC，繼而求出結論.7．【答案】C【解析】【解答】解：過點A作AH⊥BC于H，由折疊知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，∵∠BFE=45°，∴∠BFG=90°，在Rt△ABH中，AB=10，∠B=60°，AH=sin∵AD//∴∠GAH=∠AHB=90°，∴∠GAH=∠AHB=∠BFG=90°，∴四邊形AHFG是矩形，∴FG=AH=53∴BF=GF=53故答案為：C．【分析】過點A作AH⊥BC于H，由折疊知BF=GF，∠BFE=∠GFE=45°，在Rt△ABH中，可求出AH=sinB×AB=538．【答案】D【解析】【解答】解：∵反比例函數的圖象在二、四象限，∴b＜0，A、∵二次函數圖象開口向上，對稱軸在y軸右側，交y軸的負半軸，∴a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函數圖象應該過第一、二、四象限，A不符合題意；B、∵二次函數圖象開口向下，對稱軸在y軸右側，∴a＜0，b＞0，∴與b＜0矛盾，B不符合題意；C、∵二次函數圖象開口向下，對稱軸在y軸右側，∴a＜0，b＞0，∴與b＜0矛盾，C不符合題意；D、∵二次函數圖象開口向上，對稱軸在y軸右側，交y軸的負半軸，∴a＜0，b＜0，c＜0，∴一次函數圖象應該過第一、二、四象限，D符合題意．故答案為：D．【分析】由反比例函數的圖象在二、四象限可得b＜0，然后逐一分析各選項，根據二次函數圖象與系數的關系，先得出a、b、c的符號，由此觀察一次函數圖象是否與其一致即可.9．【答案】5【解析】【解答】解：(8+110．【答案】6【解析】【解答】解：設袋中紅球的個數是x個，根據題意得：44+x解得：x=6，經檢驗：x=6是分式方程的解，即估計袋中紅球的個數是6個．故答案為：6．【分析】設袋中紅球的個數是x個，利用頻率估計概率可估計出摸到黑球的概率為4010011．【答案】240【解析】【解答】解：由題意設t=把(200，3)∴t=當t=2.5h時，所以列車要在2.5?內到達，則速度至少需要提高到240故答案為：240km/?.

【分析】由題意設t=kv，把(20012．【答案】＞【解析】【解答】解：甲射擊的成績為：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10，乙射擊的成績為：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，則x甲=110x乙=110∴S甲2=110×[（6-8）2+3×（7-8）2+2×（8-8）2+3×（9-8）2+（10-8）2=110=1.4；S乙2=110×[（6-8）2+2×（7-8）2+4×（8-8）2+2×（9-8）2+（10-8）2=110=1.2；∵1.4＞1.2，∴S甲2＞S乙2，故答案為：＞．【分析】根據方差公式分別計算出方差，再比較即可.13．【答案】5-π【解析】【解答】解：連接AC，OD，∵四邊形BCD是正方形，∴∠B=90°，∴AC是⊙O的直徑，∠AOD=90°，∵PA，PD分別與⊙O相切于點A和點D，∴∠PAO=∠PDO=90°，∴四邊形AODP是矩形，∵OA=OD，∴矩形AODP是正方形，∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，∴∠E=∠ACB=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∵AB=2，∴AC=2AO=22，DE=2CD=22，∴AP=PD=AO=2，∴PE=32，∴圖中陰影部分的面積=故答案為：5-π．【分析】連接AC，OD，由正方形的性質知∠B=90°，可得AC是⊙O的直徑，∠AOD=90°，由切線的性質可得∠PAO=∠PDO=90°，可證矩形AODP是正方形，從而得出△CDE是等腰直角三角形，可求出AC=2AB=2OA=22，DE=2CD=22，繼而得出PE=32，根據圖中陰影部分的面積=梯形ACEP的面積-半圓⊙O的面積計算即可.14．【答案】2【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴A點與C點關于BD對稱，∴CM=AM，∴MN+CM=MN+AM≥AN，∴當A、M、N三點共線時，MN+CM的值最小，∵AD∥CF，∴∠DAE=∠F，∵∠DAE+∠DEH=90°，∵DG⊥AF，∴∠CDG+∠DEH=90°，∴∠DAE=∠CDG，∴∠CDG=∠F，∴△DCG~△FCE，∵S△DCG∴CDCF∵正方形邊長為3，∴CF=6，∵AD∥CF，ADCF∴DE=1，CE=2，在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，∴EF=2∵N是EF的中點，EN=10在Rt△ADE中，EA2=AD2+DE2，∴AE=3∴AN=210∴MN+MC的最小值為210故答案為：210【分析】由正方形的性質可得當A、M、N三點共線時，MN+CM的值最小，最小值為AN的長，先證明△DCG~△FCE，由S△DCGS△FCE=14可得CDCF15．【答案】解：如圖，Rt△ABC為所作．【解析】【分析】利用尺規作圖在∠O內部作出∠BAD=∠O，再過點B作AD的垂線交AD于一點即為點C.16．【答案】（1）解：原式===x+1（2）解：解不等式①得：x≥?1，解不等式②得：x<2，∴不等式組的解集為?1≤x<2.∴不等式組的整數解為-1，0，1.【解析】【分析】（1）將括號內通分并利用同分母分式加法法則計算，再將除法轉化為乘法，進行約分即可化簡；

（2）先求出不等式組的解集，再求其整數解即可.17．【答案】解：根據題意畫樹狀圖如下：∵共有12種等可能的結果，其中數字之積小于4的有5種結果，∴合唱《大海啊，故鄉》的概率是512∴合唱《紅旗飄飄》的概率是712∵512∴游戲不公平．【解析】【分析】利用樹狀圖列舉出共有12種等可能的結果，其中數字之積小于4的有5種結果，數字之積不小于4的有7種結果，分別求出概率，然后比較，若相等概率即公平，否則不公平.18．【答案】解：延長AE交CD于點M，過點A作AN⊥BC，交BC于點N，由題意得，∠AMC=∠NCM=∠ANC=90°，∴四邊形AMCN為矩形，∴NC=AM，NA=CM.在Rt△EMD中，∠EMD=90°，∴sin∠EDM=EMED∴sin37°=EM20∴EM=20?sin∴DM=20?cos在Rt△BNA中，∠BNA=90°，∴tan∠BAN=∴tan42∴BN=90tan∴BC=BN+AE+EM=81+3+12=96.答：大樓BC的高度約為96米.【解析】【分析】延長AE交CD于點M，過點A作AN⊥BC，交BC于點N，可證四邊形AMCN為矩形，可得NC=AM，NA=CM.在Rt△EMD中，由sin∠EDM=EMED，cos∠EDM=DM19．【答案】（1）12（2）96（3）82.6（4）解：由4組成績可得96分及96分以上的學生有5人，所以全校1200名學生中獲獎的人數為：1200×5【解析】【解答】解：（1）由扇形圖可得：1組頻數為8人，占比16所以總人數為：8÷16%由2組占24所以：a=50×24%故答案為：12（2）由90≤x≤100這一組的數據為：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100.出現次數最多的是：96分，所以這一組的眾數為：96分，故答案為：96（3）由扇形圖可得：3組占：1?20所以b=50×40%所以隨機抽取的這50名學生競賽成績的平均分：150故答案為：82【分析】（1）根據第1組的頻數除以其百分比求出抽取的總數，利用抽取總數乘以第2組的百分比即得a值；

（2）根據眾數的定義即可求解；

（3）先求出第3組的頻數，再根據平均數的意義即可求解；

（4）先求出樣本中競賽成績達到96分以上學生所占百分比，再乘以全校人數即得結論.20．【答案】（1）解：設甲品牌洗衣液進價為x元/瓶，則乙品牌洗衣液進價為(x?6)元/瓶，由題意可得，1800x解得x=30，經檢驗x=30是原方程的解.答：甲品牌洗衣液進價為30元/瓶，乙品牌洗衣液進價為24元/瓶.（2）解：設利潤為y元，購進甲品牌洗衣液m瓶，則購進乙品牌洗衣液(120?m)瓶，由題意可得，30m+24(120?m)≤3120，解得m≤40，由題意可得，y=(36?30)m+(28?24)(120?m)=2m+480，∵k=2>0，∴y隨m的增大而增大，∴當m=40時，y取最大值，y最大值答：購進甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶時所獲利潤最大，最大利潤是560元．【解析】【分析】（1）設甲品牌洗衣液進價為x元/瓶，則乙品牌洗衣液進價為(x?6)元/瓶，根據“用1800元購進甲品牌洗衣液的數量是用1800元購進乙品牌洗衣液數量的45”列出方程并解之即可；

（2）設利潤為y元，購進甲品牌洗衣液m瓶，則購進乙品牌洗衣液(120?m)瓶，根據“購進兩種洗衣液的總成本不超過3120元”列出不等式求出m的范圍，再根據總利潤=甲的總利潤+乙的總利潤列出函數關系式，然后利用一次函數的性質求出最大值即可.21．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，又∵E為CD邊的中點，∴DE=CE∵∠FED=∠BEC，∠DFE=∠CBE，DE=CE，∴△BCE?△FDE（2）解：四邊形AEFG是矩形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∵△FDE?△BCE，∴BC=FD，FE=EB，∴FD=AD，∵GD=DE，∴四邊形AEFG是平行四邊形.∵BF平分∠ABC，∴∠CBF=∠ABF.又∵∠AFB=∠FBC，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF又∵FE=EB，∴AE⊥FE，∴∠AEF=90°，∴?AEFG是矩形【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質可得AD∥BC，利用平行線的性質可得∠DFE=∠CBE，由線段的中點可得DE=CE，根據AAS可證△BCE?△FDE；

（2）矩形.理由：根據對角線平分可證四邊形AEFG是平行四邊形，由角平分線的定義可得∠CBF=∠ABF，結合∠DFE=∠CBE即得∠ABF=∠AFB，利用等角對等邊可得AB=AF，根據等腰三角形三線合一的性質可得AE⊥FE，根據矩形的判定即證結論.

22．【答案】（1）解：y1與x之間的函數關系式為y（2）解：∵x=6時，y1∵y2∴設y2∴點(1，35)，(6，∴a+b=3536a+6b=60，即a+b=35解得a=?5b=40∴y2答：y2與x的函數關系式為y（3）解：設小鋼球和無人機的高度差為y米，由?5x2+40x=0得x①1<x≤6時，y==?5=?5=?5(x?∵a=?5<0，∴拋物線開口向下，又∵1<x≤6，∴當x=72時，y的最大值為②6<x≤8時，y==5x+30+5=5=5(x?∵a=5>0，∴拋物線開口向上，又∵對稱軸是直線x=7∴當x>72時，y隨∵6<x≤8，∴當x=8時，y的最大值為70．∵1254∴高度差的最大值為70米．答：高度差的最大值為70米．【解析】【解答】解：（1）設y1與x之間的函數關系式為y1=kx+b'，∵函數圖象過點（0，30）和（1，35），則k+b'解得k=5b∴y1與x之間的函數關系式為y1【分析】（1）由于y1函數圖象過點（0，30）和（1，35），利用待定系數法求出y1與x之間的函數關系式即可；

（2）將x=6代入（1）解析式求出y=60，由于y2的圖象是過原點的拋物線，可設y2=ax2+bx，然后將(1，35)，(6，60)代入解析式中求出a、b值即可；

（3）設小鋼球和無人機的高度差為y米，①1<x≤6時，y=23．【答案】（1）解：最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數邊三角形個數計算方法算式53(5，3，3)33個33×3（2）12（3）解：由（1）得：最長邊長為1的三角形有：1×1=1最長邊長為3的三角形有：2×2=2最長邊長為5的三角形有：3×3=3???所以當n為奇數時，整數邊三角形個數為(n+1最長邊長為2的三角形有：1×2=2最長邊長為4的三角形有：2×3=4最長邊長為6的三角形有：3×4=6???所以當n為偶數時，整數邊三角形個數為n(（4）4160（5）295【解析】【解答】解：問題解決：（1）最長邊長為1的三角形有：1×1個，最長邊長為2的三角形有：1×2個，最長邊長為3的三角形有：2×2個，最長邊長為4的三角形有：2×3個，最長邊長為5的三角形有：3×3個，所以最長邊長為6的三角形有：3×4=12個，故答案為：12（3）當最長邊長n=128時，n為偶數，可得此時的三角形個數為：n故答案為：4160拓展延伸：當9是底邊的棱長時，最長邊長為9的三角形個數有：(n+1而直三棱柱的高分別為：1，2，3，4，5，6，7，8，9，所以這樣的直三棱柱共有：25×9=225個，當9是側棱長時，底邊三角形的最長邊可以為1，2，3，4，5，6，7，8，底邊三角形共有：1+2+4+6+9+12+16+20=70個，所以這樣的直三棱柱共有：70個，綜上，滿足條件的直三棱柱共有225+70=295個.