2024～2025學年第二學期階段性學習評價Ⅰ八年級數學學科一．選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共計30分，在每小題所給出的四個選項中恰有一項符合題目要求．）1.在研究數學的過程中有許多優美圖形，我們用曲線感受數學的形狀，下列數學曲線既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.2.下列采用的調查方式中，不合適的是（）A.了解澧水河的水質，采用抽樣調查．B.了解一批燈泡的使用壽命，采用全面調查．C了解張家界市中學生睡眠時間，采用抽樣調查．D.了解某班同學的數學成績，采用全面調查．3.下列成語故事中，是確定事件的是（）A.水中撈月 B.一箭雙雕 C.大海撈針 D.守株待兔4.為了解我區八年級500名學生期中數學考試成績，從中抽取了100名學生的數學成績進行統計．下列判斷正確的是（）A.被抽取的100名學生的數學成績是總體B.該區八年級每個學生的數學成績是個體C.被抽取的100名學生是總體的一個樣本D.樣本容量是5005.考查50名學生的年齡，列頻數分布表時，這些學生的年齡落在5個小組中，第一、二、三、五組的數據個數分別是2，8，15，5，則第四組的頻率是（）A.20 B. C. D.306.平行四邊形中，，則等于（）A. B. C. D.7.用反證法證明“同旁內角不互補的兩條直線不平行”時，應先提出的假設是（）A.同旁內角互補的兩條直線平行 B.同旁內角互補的兩條直線不平行C.同旁內角不互補的兩條直線平行 D.同旁內角不互補的兩條直線不平行8.某小組做“當試驗次數很大時，用頻率估計概率”的試驗時，統計了某一結果出現的頻率，表格如下，則符合這一結果的試驗最有可能是（）次數1002003004005006007008009001000頻率0.640.590.630.630.620.600.620.610.610.61A.拋擲圖釘，頂尖不著地B.擲一枚一元的硬幣，正面朝上C.不透明的袋子里有2個紅球和3個黃球，除顏色外都相同，從中任取一球是紅球D.擲一個質地均勻的骰子，向上的面點數是“6”9.如圖，在平面直角坐標系中，邊長為的正方形的邊在軸上，的中點是坐標原點，固定點，把正方形向左偏移，使點落在軸正半軸上點處，則點的對應點的坐標為（）A. B. C. D.10.直線與直線之間距離是（）A.2 B.4 C. D.二．填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共計18分）11.在下列四個關系：①，②，③，④中，選出兩個關系作為條件，可以推出四邊形是平行四邊形的條件可以是________．（寫出一種即可，填序號）12.某校為了了解八年級學生身高的范圍和整體分布情況，抽樣調查了八年級50名學生的身高，其中身高最高的是，最矮的是，若以為組距，應把這些數據分成________組．13.甲、乙、丙三個事件發生的概率分別為0.5、0.1、0.9．對其中一個事件的描述是“發生的可能性很大，但不一定發生”．該事件是

_______．（填“甲、乙或丙”）14.如圖，在矩形中，對角線、相交于點，若平分交于點E，且，連接，則_______度．15.如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，在重疊部分構成的四邊形中，若，則點A到的距離為________．16.如圖，正方形的邊長為2，點E從點C出發，沿邊的方向向點D移動，同時點F從點D出發，沿邊的方向以相同的速度向點A移動，、相交于點O．點是邊的中點，連接，則的最小值是________．三．解答題（本大題共有10小題，共計72分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）17.如圖，的三個頂點的坐標分別為．（1）畫出繞原點O順時針旋轉的圖形；（2）若以點A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，寫出點D的坐標．18.為配合315活動，對某批籃球的質量檢驗結果如下：抽取的籃球數n1002004006008001000優等品頻數m93194380561b941優等品的頻率m/n0.93a0.950.9350.9450.941（1）此次調查方式為________（填“普查”或“抽樣調查”）；（2）補全表中數據：________；（3）從這批籃球中，任意抽取的一只籃球是優等品的概率的估計值為________（精確到0.01）．19.如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，且、．（1）求的度數；（2）求平行四邊形的面積．20.2025年3月9日，在十四屆全國人大三次會議民生主題記者會上，國家衛生健康委員會主任雷海潮表示，將實施“體重管理年”3年行動，普及健康生活方式．青少年體重指數（）是評價青少年營養狀況、肥胖的一種衡量方式．其中體重指數計算公式：，其中G表示體重（），h表示身高（m）．《國家學生體質健康標準》將學生體重指數（）分成四個等級（如表），為了解學校學生體重指數分布情況，八年級某數學綜合實踐小組開展了一次調查．等級偏瘦（A）標準（B）超重（C）肥胖（D）男女【數據收集】小組成員從本校學生中隨機抽取部分學生進行問卷調查，并收集數據；【數據整理】調查小組根據收集的數據，繪制了兩組不完整的統計圖．【問題解決】根據以上信息，解決下列問題：（1）若一位男生的身高為，體重為，則他的體重指數（）屬于________等級；（填“A”，“B”，“C”，“D”）（2）直接寫出扇形統計圖中表示體重指數（）“A”等級扇形的圓心角的度數________．（3）若該校共有1200名學生，估計全校體重指數為“肥胖”學生的人數約為________．21.口袋里有除顏色外其它都相同的5個紅球和3個白球．（1）先從袋子里取出m（）個白球，再從袋子里隨機摸出一個球，將“摸出紅球”記為事件A．如果事件A是必然事件，則；如果事件A是隨機事件，則；（2）先從袋子中取出m個白球，再放入m個一樣的紅球并搖勻，摸出一個球是紅球的可能性大小是，求m的值．22.已知：如圖，在四邊形中，，對角線的垂直平分線與邊、分別相交于點E、F．求證：（1）；（2）四邊形是菱形．23.如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的角平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F（1）求證：EO=FO；（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．24.如圖，在菱形中，點為上的一點，過點作矩形，使矩形的四個頂點分別在菱形的四邊上．（不用圓規、量角器等工具，只用無刻度的直尺作圖）25.梯形是有一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形，連接梯形兩腰的中點，得到的線段叫做梯形的中位線．如圖①，就是梯形的中位線，梯形的中位線具有什么性質呢？（1）小明聯想到梯形的面積公式與三角形的面積公式，梯形的面積公式是（上底+下底）高2，三角形的面積公式是底高2，比較兩個公式，如果把梯形的上底加下底轉化為三角形的底，問題是否能解決．思考之后小明給出了如下的證明思路：如圖②，連接并延長，交的延長線于點G．先證和全等，再說明是的中位線．…經過你的分析，請寫出梯形的中位線和兩底之間的關系：________、________；（2）受小明的啟發．小聰聯想到梯形的面積公式與矩形的面積公式，梯形的面積公式是（上底+下底）高，矩形的面積公式是底高，比較兩個公式，如果把梯形的上底與下底的和的一半轉化為矩形的底，問題是否也能解決．如果能，請結合圖③給出證明過程，如果不能，請說明理由．26.“綜合與實踐”課上，老師將一張矩形卡紙沿一條對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和（如圖①），已知，然后把這兩張全等的三角形紙片完全重合疊放，其中點B與點E重合（標記為點B），在點B處訂個釘子，將逆時針旋轉．在旋轉的過程中，發現了以下問題，請你幫忙解答：（1）如圖②，若旋轉的角度為時，延長交于點G，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）如圖③，若旋轉的角度為銳角，的延長線交于H，交于K，若為等腰三角形，求的長．

2024～2025學年第二學期階段性學習評價Ⅰ八年級數學學科一．選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共計30分，在每小題所給出的四個選項中恰有一項符合題目要求．）1.在研究數學的過程中有許多優美圖形，我們用曲線感受數學的形狀，下列數學曲線既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的識別，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義判斷即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；C、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；故選：B．2.下列采用的調查方式中，不合適的是（）A.了解澧水河的水質，采用抽樣調查．B.了解一批燈泡的使用壽命，采用全面調查．C.了解張家界市中學生睡眠時間，采用抽樣調查．D.了解某班同學的數學成績，采用全面調查．【答案】B【解析】【分析】根據調查對象的特點，結合普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果接近準確數值，從而可得答案．【詳解】解：了解澧水河的水質，采用普查不太可能做到，所以采用抽樣調查，故A合適，了解一批燈泡的使用壽命，不宜采用全面調查，因為調查帶有破壞性，故B不合適，了解張家界市中學生睡眠時間，工作量大，宜采用抽樣調查，故C合適，了解某班同學的數學成績，采用全面調查．合適，故D合適，故選B．【點睛】本題考查的是抽樣調查和全面調查的區別，選擇普查還是抽樣調查要根據所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行普查、普查的意義或價值不大，應選擇抽樣調查，對于精確度要求高的調查，事關重大的調查往往選用普查．3.下列成語故事中，是確定事件的是（）A.水中撈月 B.一箭雙雕 C.大海撈針 D.守株待兔【答案】A【解析】【分析】本題考查事件分類，根據確定事件是一定條件下，一定會發生或一定不會發生的事件，隨機事件是一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，進行判斷即可．【詳解】解：A、是不可能事件，是確定事件，符合題意；B、是隨機事件，不符合題意；C、是隨機事件，不符合題意；D、是隨機事件，不符合題意；故選A．4.為了解我區八年級500名學生期中數學考試成績，從中抽取了100名學生的數學成績進行統計．下列判斷正確的是（）A.被抽取的100名學生的數學成績是總體B.該區八年級每個學生的數學成績是個體C.被抽取的100名學生是總體的一個樣本D.樣本容量是500【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了總體、個體、樣本、樣本容量，樣本容量是樣本中包含的個體的數目，不能帶單位．總體是指考查的對象的全體，個體是總體中的每一個考查的對象，樣本是總體中所抽取的一部分個體，而樣本容量則是指樣本中個體的數目．我們在區分總體、個體、樣本、樣本容量，這四個概念時，首先找出考查的對象．從而找出總體、個體．再根據被收集數據的這一部分對象找出樣本，最后再根據樣本確定出樣本容量．【詳解】解：A．被抽取100名學生的數學成績是樣本，故A錯誤，不符合題意；B．八年級每名學生的數學成績是個體，故B正確，符合題意；C．被抽取的100名學生的數學成績是總體的一個樣本，故C錯誤，不符合題意；D．樣本容量是100，故D錯誤，不符合題意；故選：B．5.考查50名學生的年齡，列頻數分布表時，這些學生的年齡落在5個小組中，第一、二、三、五組的數據個數分別是2，8，15，5，則第四組的頻率是（）A.20 B. C. D.30【答案】B【解析】【分析】本題考查了根據數據描述求頻率、頻數，因為共50名學生，落在5個小組中，第一、二、三、五組的數據個數分別是2，8，15，5，列式求出第四組的頻數，再運用頻率等于頻數除以總數，即可作答．【詳解】解：依題意，（名），∴，即第四組的頻率是，故選：B．6.在平行四邊形中，，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形的基本性質，先根據平行四邊形的性質得出，再根據，可求出，從而得出最后的結果．【詳解】解：如下圖，∵四邊形是平行四邊形，，，，，故選：D．7.用反證法證明“同旁內角不互補的兩條直線不平行”時，應先提出的假設是（）A.同旁內角互補的兩條直線平行 B.同旁內角互補的兩條直線不平行C.同旁內角不互補的兩條直線平行 D.同旁內角不互補的兩條直線不平行【答案】C【解析】【分析】首先明確什么是反證法，然后根據命題“同旁內角不互補的兩條直線不平行”可以得到應先假設什么，本題得以解決．【詳解】解：由題意可得，反證法證明命題“同旁內角不互補的兩條直線不平行”時，應先假設同旁內角不互補的兩條直線平行，故選：C．【點睛】此題主要考查了反證法的第一步，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立．在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．8.某小組做“當試驗次數很大時，用頻率估計概率”的試驗時，統計了某一結果出現的頻率，表格如下，則符合這一結果的試驗最有可能是（）次數1002003004005006007008009001000頻率0.640.590.630.630.620.600.620.610.610.61A.拋擲圖釘，頂尖不著地B.擲一枚一元的硬幣，正面朝上C.不透明的袋子里有2個紅球和3個黃球，除顏色外都相同，從中任取一球是紅球D.擲一個質地均勻的骰子，向上的面點數是“6”【答案】A【解析】【分析】本題考查利用頻率估算概率，根據表格數據，可知某一結果出現的概率為，分別求出各個選項中的概率進行判斷即可．【詳解】解：根據表格數據，可知某一結果出現的概率為，A、拋擲圖釘，頂尖不著地的概率約為，符合題意；B、擲一枚一元的硬幣，正面朝上的概率為，不符合題意；C、不透明的袋子里有2個紅球和3個黃球，除顏色外都相同，從中任取一球是紅球的概率為：，不符合題意；D、擲一個質地均勻的骰子，向上的面點數是“6”的概率是，不符合題意；故選A．9.如圖，在平面直角坐標系中，邊長為的正方形的邊在軸上，的中點是坐標原點，固定點，把正方形向左偏移，使點落在軸正半軸上點處，則點的對應點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了正方形的性質，勾股定理，菱形的判定和性質，坐標與圖形，由題意可得，，，再由勾股定理求出即可求解，利用勾股定理求出是解題的關鍵．【詳解】解：由題意可得，，，∴，四邊形為菱形，∴軸，∴點的坐標為，故選：．10.直線與直線之間的距離是（）A.2 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了一次函數與坐標軸的交點，等腰三角形的定義，勾股定理等知識，作出兩條直線的圖，作直線與y軸交于點A，直線與y軸交于點C，過線A作，求出兩直線與坐標軸的交點坐標，得到，可得出為等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出結果．【詳解】解：兩條直線如下圖，作直線與y軸交于點A，直線與y軸交于點C，過線A作，在直線上，當時，，點，在直線上，當時，，當時，，，，，，，，設，，即，解得：，（舍去），故選：C．二．填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共計18分）11.在下列四個關系：①，②，③，④中，選出兩個關系作為條件，可以推出四邊形是平行四邊形的條件可以是________．（寫出一種即可，填序號）【答案】①③（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的判定，根據平行四邊形的判定方法兩組對角相等的四邊形是平行四邊形．【詳解】解：四邊形是平行四邊形的條件可以是①③，理由：如圖，∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，故答案為：①③（答案不唯一）．12.某校為了了解八年級學生身高的范圍和整體分布情況，抽樣調查了八年級50名學生的身高，其中身高最高的是，最矮的是，若以為組距，應把這些數據分成________組．【答案】6【解析】【分析】本題考查了頻數分布直方圖中組數的確定方法，組數=極差÷組距，計算最大值與最小值的差，除以組距即可求得．詳解】解：，故答案為：6．13.甲、乙、丙三個事件發生的概率分別為0.5、0.1、0.9．對其中一個事件的描述是“發生的可能性很大，但不一定發生”．該事件是

_______．（填“甲、乙或丙”）【答案】丙【解析】【分析】根據概率意義，概率公式，即可解答．【詳解】解：甲、乙、丙三個事件發生的概率分別為0.5、0.1、0.9．對其中一個事件的描述是“發生的可能性很大，但不一定發生”．該事件是丙，故答案為：丙．【點睛】本題考查了概率的意義，概率公式，熟練掌握概率的意義是解題的關鍵．14.如圖，在矩形中，對角線、相交于點，若平分交于點E，且，連接，則_______度．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了三角形的內角和定理，矩形的性質，等邊三角形的性質和判定，平行線的性質，角平分線的性質，等腰三角形的判定等知識點，解此題的關鍵是證明是等邊三角形．由矩形，得到，根據平分，得到等邊三角形，，求出，根據三角形的內角和定理求出即可由求出答案．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，，平分，，，，是等邊三角形，，，∵，．∴．故答案為：45．15.如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，在重疊部分構成的四邊形中，若，則點A到的距離為________．【答案】【解析】【分析】本題考查菱形的判定和性質，作，設交于點，證明四邊形為菱形，利用菱形的性質和勾股定理求出的長，等積法求出的長即可，解題的關鍵是證明四邊形為菱形．【詳解】解：作，設交于點，由題意，得：，，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∴四邊形為菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，即：點A到的距離為；故答案為：．16.如圖，正方形的邊長為2，點E從點C出發，沿邊的方向向點D移動，同時點F從點D出發，沿邊的方向以相同的速度向點A移動，、相交于點O．點是邊的中點，連接，則的最小值是________．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查了正方形的性質，勾股定理，三角形全等的判定和性質，直角三角形的性質，證明，得出，求出，得出，取的中點N，連接，，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出，根據勾股定理求出，根據三角形三邊關系可知：，即可得出答案．【詳解】解：∵點E從點C出發，沿邊的方向向點D移動，同時點F從點D出發，沿邊的方向以相同的速度向點A移動，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，取的中點N，連接，，則，∵M為的中點，∴，∵，，∴，根據三角形三邊關系可知：，∴的最小值為．故答案為：．三．解答題（本大題共有10小題，共計72分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）17.如圖，的三個頂點的坐標分別為．（1）畫出繞原點O順時針旋轉的圖形；（2）若以點A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，寫出點D的坐標．【答案】（1）圖見解析（2）或或【解析】【分析】本題考查坐標與旋轉，平行四邊形的性質，熟練掌握旋轉的性質，平行四邊形的性質，是解題的關鍵：（1）根據旋轉的性質，畫出即可；（2）利用平移思想，畫出點位置，確定點坐標即可．【小問1詳解】解：如圖，即為所求；【小問2詳解】如上圖，由圖可知：或或．18.為配合315活動，對某批籃球的質量檢驗結果如下：抽取的籃球數n1002004006008001000優等品的頻數m93194380561b941優等品的頻率m/n0.93a0.950.9350.9450.941（1）此次調查方式為________（填“普查”或“抽樣調查”）；（2）補全表中數據：________；（3）從這批籃球中，任意抽取的一只籃球是優等品的概率的估計值為________（精確到0.01）．【答案】（1）抽樣調查（2）756（3）0.94【解析】【分析】本題主要考查利用頻率估計概率，調查方式，求頻數，熟練掌握相關定義為解題關鍵．（1）根據抽樣調查的概念可得答案；（2）根據頻率頻數總數計算即可；（3）利用頻率估計概率求解即可．【小問1詳解】解：此調查方式為抽樣調查，故答案為：抽樣調查；小問2詳解】，故答案為：756；【小問3詳解】這批籃球中，任意抽取的一只籃球是優等品的概率的估計值為0.94，故答案為：0.94．19.如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，且、．（1）求的度數；（2）求平行四邊形的面積．【答案】（1）（2）24【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質與勾股定理的逆定理，熟練掌握相關性質定理為解題關鍵．（1）根據平行四邊形的性質得出，再由勾股定理逆定理確定是直角三角形，得出；（2）利用平行四邊形面積公式求面積即可．【小問1詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】平行四邊形的面積．20.2025年3月9日，在十四屆全國人大三次會議民生主題記者會上，國家衛生健康委員會主任雷海潮表示，將實施“體重管理年”3年行動，普及健康生活方式．青少年體重指數（）是評價青少年營養狀況、肥胖的一種衡量方式．其中體重指數計算公式：，其中G表示體重（），h表示身高（m）．《國家學生體質健康標準》將學生體重指數（）分成四個等級（如表），為了解學校學生體重指數分布情況，八年級某數學綜合實踐小組開展了一次調查．等級偏瘦（A）標準（B）超重（C）肥胖（D）男女【數據收集】小組成員從本校學生中隨機抽取部分學生進行問卷調查，并收集數據；【數據整理】調查小組根據收集的數據，繪制了兩組不完整的統計圖．【問題解決】根據以上信息，解決下列問題：（1）若一位男生的身高為，體重為，則他的體重指數（）屬于________等級；（填“A”，“B”，“C”，“D”）（2）直接寫出扇形統計圖中表示體重指數（）“A”等級的扇形的圓心角的度數________．（3）若該校共有1200名學生，估計全校體重指數為“肥胖”學生的人數約為________．【答案】（1）B（2）（3）72名【解析】【分析】本題考查扇形圖和條形圖的綜合應用，從統計圖中有效的獲取信息，是解題的關鍵：（1）根據公式求出該男生的，進行判斷即可；（2）用C等級的人數除以所占的比例求出調查的總人數，再用360度乘以A等級的人數所占的比例求出圓心角的度數即可；（3）利用樣本估計總體的思想進行求解即可．【小問1詳解】解：由題意，該男生的，∵，∴他的體重指數（）屬于B等級；故答案為：B；【小問2詳解】由圖可知，調查的總人數為：；；故答案為：；【小問3詳解】（名）；故答案為：72名．21.口袋里有除顏色外其它都相同的5個紅球和3個白球．（1）先從袋子里取出m（）個白球，再從袋子里隨機摸出一個球，將“摸出紅球”記為事件A．如果事件A是必然事件，則；如果事件A是隨機事件，則；（2）先從袋子中取出m個白球，再放入m個一樣的紅球并搖勻，摸出一個球是紅球的可能性大小是，求m的值．【答案】（1）3，1或2（2）1【解析】【分析】本題考查事件的分類，利用概率求數量．（1）根據必然事件是在一定條件下一定會發生的事件，隨機事件是一定條件下可能發生也可能不發生的事件進行求解即可；（2）根據概率公式進行計算即可．【小問1詳解】解：如果事件A是必然事件，則袋子里全是紅球，∴；如果事件A是隨機事件，則袋子里還剩余白球，∴或2；故答案為：3，1或2；【小問2詳解】由題意，得：，解得：．22.已知：如圖，在四邊形中，，對角線的垂直平分線與邊、分別相交于點E、F．求證：（1）；（2）四邊形是菱形．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查了菱形的判定，三角形全等的判定和性質．（1）根據得出，，再利用垂直平分線的定義進一步證明即可；（2）根據得出，證明四邊形是平行四邊形，再根據證明四邊形是菱形即可．【小問1詳解】證明：∵，∴，，∵是對角線的垂直平分線，∴，，在和中，∴；【小問2詳解】解：∵，∴，∵∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形．23.如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的角平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F（1）求證：EO=FO；（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．【答案】(1)見解析；(2)當O運動到OA=OC處，四邊形AECF是矩形.理由見解析.【解析】【分析】（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行線的性質有∠1=∠3，等量代換有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF；

（2）OA=OC，那么可證四邊形AECF是平行四邊形，又CE、CF分別是∠BCA及其外角的角平分線，易證∠ECF是90°，從而可證四邊形AECF是矩形．【詳解】解：（1）如圖所示，

∵CE平分∠BCA，

∴∠1=∠2，

又∵MN∥BC，

∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，

∴EO=CO，

同理，FO=CO，

∴EO=FO；

（2）當O運動到OA=OC處，四邊形AECF是矩形，理由如下：∵OA=OC，EO=FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵CF是∠BCA的外角平分線，

∴∠4=∠5，

又∵∠1=∠2，

∴∠1+∠5=∠2+∠4，

又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，

∴∠2+∠4=90°，

∴平行四邊形AECF是矩形．【點睛】本題考查平行線的性質、矩形的判定和角平分線的定義，解題的關鍵是掌握平行線的性質、矩形的判定和角平分線的定義．24.如圖，在菱形中，點為上的一點，過點作矩形，使矩形的四個頂點分別在菱形的四邊上．（不用圓規、量角器等工具，只用無刻度的直尺作圖）【答案】畫圖見解析【解析】【分析】本題考查了菱形的性質，矩形的判定，連接，相交于點，連接并延長交于點，連接，分別交于點，再連接，延長線分別交于點，連接，得四邊形，由菱形的對稱性可得，，又易證，即可得，進而得，即可證，，得到，，即得四邊形是平行四邊形，又由易證，即可得四邊形為矩形，掌握菱形的性質和矩形的判定是解題的關鍵．【詳解】解：如圖所示，四邊形即為所求．25.梯形是有