PAGEPAGE1考點38干脆證明與間接證明1．（河北省衡水市第十三中學2025屆高三質檢四）利用反證法證明：若，則，假設為()A．都不為0 B．不都為0C．都不為0，且 D．至少有一個為0【答案】B【解析】的否定為，即，不都為0，選B.2．（四川省涼山州2025屆中學畢業班第一次診斷性檢測）十七世紀法國數學家費馬提出猜想：“當整數時，關于的方程沒有正整數解”.經驗三百多年，于二十世紀九十年中期由英國數學家安德魯懷爾斯證明白費馬猜想，使它終成費馬大定理，則下面說法正確的是（）A．存在至少一組正整數組使方程有解B．關于的方程有正有理數解C．關于的方程沒有正有理數解D．當整數時，關于的方程沒有正實數解【答案】C【解析】由于B,C兩個命題是對立的，故正確選項是這兩個選項中的一個.假設關于的方程有正有理數解，故可寫成整數比值的形式，不妨設，其中為互質的正整數，為互質的正整數.代入方程得，兩邊乘以得，由于都是正整數，這與費馬大定理沖突，故假設不成立，所以關于的方程沒有正有理數解.故選C.3．（湖北省黃岡、華師附中等八校2025屆高三上學期第一次聯考數學理）已知各項均為正數的兩個無窮數列和滿意：，且是等比數列，給定以下四個結論：①數列的全部項都不大于；②數列的全部項都大于；③數列的公比等于；④數列肯定是等比數列。其中正確結論的序號是____________．【答案】①③④【解析】因為，所以①，下證等比數列的公比.若，則，則當時，，此時，與①沖突；若，則，則當時，此時，與①沖突.故，故.下證，若，則，于是，由得，所以中至少有兩項相同，沖突.所以，所以，所以正確的序號是①③④.4．（北京市昌平區2025屆高三5月綜合練習二模理）對于集合，，,.集合中的元素個數記為.規定：若集合滿意，則稱集合具有性質．（I）已知集合，，寫出，的值；（II）已知集合，為等比數列，，且公比為，證明：具有性質；（III）已知均有性質，且，求的最小值.【答案】（I）；（II）見解析；（III）.【解析】（I）由題意可得：，,故（II）要證具有性質，只需證明，若，則.假設上式結論不成立，即若，則.即，即，，.因為上式的右邊為的倍數，而上式的左邊為的倍數，所以上式不成立.故假設不成立，原命題成立.（III）由題意，集合具有性質，等價于隨意兩個元素之和均不相同.如，對于隨意的，有，等價于，即隨意兩個不同元素之差的肯定值均不相同.令，所以具有性質.因為集合均有性質，且，所以，當且僅當時等號成立.所以的最小值為.5．（上海市浦東新區2025屆高三下學期期中教學質量檢測二模）已知函數的定義域，值域為.（1）下列哪個函數滿意值域為，且單調遞增？（不必說明理由）①，②.（2）已知函數的值域，試求出滿意條件的函數一個定義域；（3）若，且對隨意的，有，證明：.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】（1）滿意.不滿意.（2）因為，所以即，所以所以滿意條件的（答案不唯一）.（3）假設存在使得又有，所以，結合兩式：，所以，故.由于知：.又.類似地，由于，得.所以，與沖突，所以原命題成立.6．（北京市大興區2025屆高三4月一模數學理）已知集合，其中，．假如集合滿意：對于隨意的，都有，那么稱集合具有性質．（Ⅰ）寫出一個具有性質的集合；（Ⅱ）證明：對隨意具有性質的集合，；（Ⅲ）求具有性質的集合的個數．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.【解析】解：（Ⅰ）（Ⅱ）證明：假設存在，使得，明顯，取，則，由題意，而為集合中元素的最大值，所以，，沖突，假設不成立，所以，不存在，使得．（Ⅲ）設為使得的最大正整數，則．若，則存在正整數，使得，所以．同（Ⅱ）不行能屬于集合．于是，由題意知，所以，，集合中大于2000的元素至多有19個，所以．下面證明不行能成立．假設，則存在正整數，使得，明顯，所以存在正整數使得．而與為使得的最大正整數沖突，所以不行能成立．即成立．當時，對于隨意的滿意明顯有成立．若，則，即，所以，，其中均為符合題意的集合．而可能取的值為981，982，…，1000，故符合條件的集合個數為．因此，滿意條件的集合的個數為．7．（江蘇省2025屆高三其次學期聯合調研測試）已知數列的前項和為，.（1）若，求證：，，必可以被分為1組或2組，使得每組全部數的和小于1；（2）若，求證：，，…，必可以被分為組（），使得每組全部數的和小于1．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】解：（1）不妨設假設，則所以所以與沖突，因此,所以必可分成兩組、使得每組全部數的和小于1（2）不妨設，先將，，…，單獨分為一組，再對后面項依次合并分組，使得每組和屬于，最終一組和屬于，不妨設將，，…，分為，，…，，，共組，且其中組，，…，，，最終一組首先必小于等于，否則，與，沖突當時，則所以只需將，，…，分為，，…，，，即可滿意條件；當時，可將與合成一組，且，否則，沖突此時只需將，，…，分為，，…，，，即可滿意條件，所以，，…，必可以被分為m組(1≤m≤k)，使得每組全部數的和小于1．8．（北京市門頭溝區2024年3月高三年級綜合練習數學試卷理）給定數列，若滿意且，對于隨意的n，，都有，則稱數列為“指數型數列”．Ⅰ已知數列，的通項公式分別為，，試推斷，是不是“指數型數列”；Ⅱ若數列滿意：，，推斷數列是否為“指數型數列”，若是給出證明，若不是說明理由；Ⅲ若數列是“指數型數列”，且，證明：數列中隨意三項都不能構成等差數列．【答案】（Ⅰ）不是指數型數列，是指數型數列；（Ⅱ）數列是“指數型數列”；（Ⅲ）詳見解析.【解析】Ⅰ解：對于數列，，所以不是指數型數列．對于數列，對隨意n，，因為，所以是指數型數列．Ⅱ證明：由題意，是“指數型數列”，，，所以數列是等比數列，，，數列是“指數型數列”．Ⅲ證明：因為數列是指數型數列，故對于隨意的n，，有，，假設數列中存在三項，，構成等差數列，不妨設，則由，得，所以，當a為偶數時，是偶數，而是偶數，是奇數，故不能成立；當a為奇數時，是偶數，而是奇數，是偶數，故也不能成立．所以，對隨意，不能成立，即數列的隨意三項都不成構成等差數列．9．（河北省衡水市第十三中學2025屆高三質檢四）已知的內角，，對應的邊分別為，，，三邊互不相等，且滿意.（1）比較與的大小，并證明你的結論；（2）求證：不行能是鈍角.【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】解：（1）大小關系為.證明如下：要證，只需證，由題意知，只需證，（已知條件）故所得大小關系正確.（2）證明：假設是鈍角，則，而，這與沖突，故假設不成立.所以不行能是鈍角.10．（浙江省余姚中學2025屆高三選考科目模擬卷二）設,對于，有.（1）證明：（2）令,證明：（I）當時，（II）當時，【答案】（1）見解析;（2）（I）見解析;（II）見解析.【解析】（1）若，則只需證只需證成立只須要證成立，而該不等式在時恒成立…故只須要驗證時成馬上可，而當時，均滿意該不等式。綜上所得不等式成立。（2）、（I）當時，用數學歸納法很明顯可證當時，有;下證：,只須要證,只需證只需證,只需證,只需證.由（1）可知，我們只須要證,只需證,只需證.當時該不等式恒成立當時，，故該不等式恒成立綜上所得，上述不等式成立（II）、當時，用數學歸納法很明顯可證當時，有下證：只需證:,只需證：只需證：,只需證：只需證：,……同理由（2）及數學歸納法，可得該不等式成立。綜上所述，不等式成立11．（四川省成都市2024級中學畢業班摸底測試數學理）設函數，.(Ⅰ)探討函數的單調性；(Ⅱ)當時，函數恰有兩個零點，證明：【答案】(1)當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.(2)證明見解析.【解析】(Ⅰ).∵，∴由，得，即.若，當改變時，，的改變狀況如下表單調遞減微小值單調遞增若，當改變時，，的改變狀況如下表：+0-單調遞增極大值單調遞減綜上，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.(Ⅱ)∵當時，函數恰有兩個零點，，則，即.兩式相減，得∵，∴，∴，∴.∴要證，即證，即證即證令，則即證.設，即證在恒成立..∵在恒成立.∴在單調遞增.∵在是連續函數，∴當時，∴當時，有.12．（）（1）求證：；（2）已知函數，用反證法證明方程沒有負數根.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】（1）要證，只需證，只需證，即證，只需證，只需證，即證.上式明顯成立，命題得證.（2）設存在，使，則.由于得，解得，與已知沖突，因此方程沒有負數根.13．（浙江省臺州中學2025屆高三模擬考試）已知正項數列滿意，且，設（1）求證：；（2）求證：；（3）設為數列的前項和，求證：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【解析】（1）∵，，∴，∴（2）猜想要證，只需證，∵，只需證，只需證，又∵，且，∴，∴累乘法可得，∴∴（3）∵，∴，而∴.14．（北京市海淀區2025屆高三其次學期期末其次次模擬考試數學理）已知函數（Ⅰ）求的極值；（Ⅱ）當時，設，求證：曲線存在兩條斜率為且不重合的切線.【答案】（Ⅰ）微小值；（Ⅱ）證明見解析.【解析】（Ⅰ），令，得．①當時，與符號相同，當改變時，，的改變狀況如下表：↘微小↗②當時，與符號相反，當改變時，，的改變狀況如下表：↘微小↗綜上，在處取得微小值.（Ⅱ），故．留意到，，，所以，，，使得．因此，曲線在點，處的切線斜率均為.下面，只需證明曲線在點，處的切線不重合.曲線在點（）處的切線方程為，即．假設曲線在點（）處的切線重合，則．令，則，且.由（Ⅰ）知，當時，，故．所以，在區間上單調遞減，于是有沖突.因此，曲線在點()處的切線不重合．15．（上海市松江、閔行區2025屆高三下學期質量監控二模）無窮數列，若存在正整數，使得該數列由個互不相同的實數組成，且對于隨意的正整數，中至少有一個等于，則稱數列具有性質.集合.（1）若，，推斷數列是否具有性質；（2）數列具有性質，且，求的值；（3）數列具有性質，對于中的隨意元素，為第個滿意的項，記，證明：“數列具有性質”的充要條件為“數列是周期為的周期數列，且每個周期均包含個不同實數”.【答案】(1)具有；(2)2；(3)答案見解析.【解析】（1）因為，，是由2個不同元素組成的無窮數列，且是周期為2的周期數列，故，是周期為2的周期數列，對于隨意的正整數，，滿意性質的條件，故數列具有性質.（2）.由條件可知，考慮后面連續三項，若，由及性質知中必有一數等于2，于是中有兩項為2，故必有1或3不在其中，不妨設為，考慮中最終一個等于的項，則該項的后三項均不等于，故不滿意性質中條件，沖突，于是.同理.（3）充分性：由數列是周期為的周期數列，每個周期均包含中個不同元素.對于中的隨意元素，為第個滿意的項，故由周期性得，于是，數列為常數列，明顯滿意性質.必要性：取足夠大的使包含中全部個互不相同的元素，考慮后的連續項，對于中隨意元素，必等于中的某一個，否則考慮中最終一個等于的項，該項不滿意性質中條件，沖突.由的隨意性知這個元素恰好等于中個互不相同的元素，再由數列性質中的條件得，，于是對于中的隨意元素，存在，有，即數列為常數列，而數列滿意性質，故為常數列，從而是周期數列，故數列是周期為的周期數列，且每個周期均包含個不同實數.16．（北京市朝陽區2024年高三一模數學理）已知集合是集合的一個含有個元素的子集.（Ⅰ）當時,設（i）寫出方程的解；（ii）若方程至少有三組不同的解,寫出的全部可能取值.（Ⅱ）證明:對隨意一個,存在正整數使得方程至少有三組不同的解.【答案】（Ⅰ）（）,（）；（Ⅱ）證明見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）（）利用列舉法可得方程的解有:；（）列出集合的從小到大個數中相鄰兩數的差，中間隔一數的兩數差，中間相隔二數的兩數差，…中間隔一數的兩數差,可發覺只有出現次,出現次,其余都不超過次,從而可得結果；（Ⅱ）不妨設記,,共個差數，假設不存在滿意條件的，依據的取值范圍可推出沖突，假設不成立，從而可得結論.假設不存在滿意條件的,則這個數中至多兩個、兩個、兩個、兩個、兩個、兩個,.試題解析：（Ⅰ）（）方程的解有:（）以下規定兩數的差均為正,則:列出集合的從小到大個數中相鄰兩數的差:;中間隔一數的兩數差（即上一列差數中相鄰兩數和）:4,5,6,6,5,4;中間相隔二數的兩數差:;中間相隔三數的兩數差:;中間相隔四數的兩數差:;中間相隔五數的兩數差:;中間隔一數的兩數差:.這個差數中,只有出現次,出現次,其余都不超過次,所以的可能取值有.（Ⅱ）證明:不妨設記,,共個差數.假設不存在滿意條件的,則這個數中至多兩個、兩個、兩個、兩個、兩個、兩個,從而又這與沖突,所以結論成立.17．（江蘇省南京師范高校附屬中學、天一、海門、淮陰四校2025屆高三聯考）設數列的首項為1，前n項和為，若對隨意的，均有（k是常數且）成立，則稱數列為“數列”．（1）若數列為“數列”，求數列的通項公式；（2）是否存在數列既是“數列”，也是“數列”？若存在，求出符合條件的數列的通項公式及對應的k的值；若不存在，請說明理由；（3）若數列為“數列”，，設，證明：．【答案】（1）；（2）不存在；（3）證明見解析.【解析】（1）因為數列為“數列”，則故，兩式相減得：，又時，，所以，故對隨意的恒成立，即（常數），故數列為等比數列，其通項公式為.（2）假設存在這樣的數列，則有，故有兩式相