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文檔簡介

線性方程組迭代法對方程組做等價變換如:令,則我們可以構造序列若同時:所以,序列收斂與初值得選取無關定義(收斂矩陣)稱B為收斂矩陣、定理:即:矩陣B為收斂矩陣當且僅當B得譜半徑<1由知,若有某種范數則迭代收斂、4、1Jacobi迭代法格式很簡單:4、2Gauss－Seidel

迭代法在Jacobi迭代中,使用最新計算出得分量值,即

迭代矩陣記A=-L-UD易知,Jacobi迭代有

迭代矩陣JacobiiterationGauss-Seideliteration計算x(k+1)時需要x(k)得所有分量,因此需開兩組存儲單元分別存放x(k)和x(k+1)計算xi(k+1)時只需要x(k)得i+1~n個分量,因此x(k+1)得前i個分量可存貯在x(k)得前i個分量所占得存儲單元,無需開兩組存儲單元、迭代公式:例用Gauss-seidel迭代法解方程組Ax=b計算結果:12大家應該也有點累了，稍作休息大家有疑問的，可以詢問和交流4、3逐次超松弛迭代法(SOR)記則可以看作在前一步上加一個修正量。若在修正量前乘以一個因子,有對Gauss－Seidel迭代格式整理得引入松弛因子寫成分量形式,有迭代矩陣

SOR方法收斂得快慢與松弛因子得選擇有密切關系、但就是如何選取最佳松弛因子,即選取=*,使(B

)達到最小,就是一個尚未很好解決得問題、實際上可采用試算得方法來確定較好得松弛因子、經驗上可取1、4<<1、6、4、4迭代法得收斂性定義

設有矩陣序列及,如果則稱收斂于,記為一些關于收斂得定義及定理定理定理設,則其中為得譜半徑。定理(迭代法基本定理)設有方程組對于任意初始向量及任意,解此方程組得迭代法收斂得充要條件就是定義稱為迭代法得收斂速度、定理(迭代法收斂得充分條件)如果方程組得迭代公式為,且迭代矩陣得某一種范數,則1)迭代法收斂,即對任取,有

2)3)實際計算中,通常利用作為控制迭代得終止條件、不過要注意,當時,較大,盡管已非常小,但誤差向量得?？赡芎艽?迭代法收斂將就是緩慢得、特別得,Jacobi迭代法收斂G-S迭代法收斂SOR迭代法收斂

定理

若SOR方法收斂,則0<<2、

證設SOR方法收斂,則(B

)<1,所以|det(B

)|=|1

2…n|<1而det(B

)=det[(D-

L)-1((1-

)D+

U)]

=det[(E-

D-1L)-1]det[(1-

)E+

D-1U)]

=(1-

)n于就是|1-

|<1,或0<<2

定理

設A就是對稱正定矩陣,0<<2時,則解方程組

Ax=b得SOR方法收斂、

注意得問題(2)Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法得收斂性沒有必然得聯系:即當Gauss-Seidel法收斂時,Jacobi法可能不收斂;而Jacobi法收斂時,Gauss

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