專題33閱讀理解與新定義題（31題）

一、單選題

1．（2024·四川眉山·中考真題）定義運算：aba2bab，例如4342343，則函數(shù)

yx12的最小值為（）

A．21B．9C．7D．5

【答案】B

【分析】本題考查二次函數(shù)求最值，根據(jù)新定義，得到二次函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最

值即可．

【詳解】解：由題意得，yx12x122x12x5x1，

2

即yx24x5x29，

當(dāng)x2時，函數(shù)yx12的最小值為9．

故選：B．

2．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）定義新運算：

①在平面直角坐標(biāo)系中，a,b表示動點從原點出發(fā)，沿著x軸正方向（a0）或負(fù)方向（a0）．平移a

個單位長度，再沿著y軸正方向（b0）或負(fù)方向（b0）平移b個單位長度．例如，動點從原點出發(fā)，

沿著x軸負(fù)方向平移2個單位長度，再沿著y軸正方向平移1個單位長度，記作2,1．

②加法運算法則：a,bc,dac,bd，其中a，b，c，d為實數(shù)．

若3,5m,n1,2，則下列結(jié)論正確的是（）

A．m2，n7B．m4，n3

C．m4，n3D．m4，n3

【答案】B

【分析】本題考查了新定義運算，平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)新定義得出3m1,5n2，即可求解．

【詳解】解：∵a,bc,dac,bd，3,5m,n1,2

∴3m1,5n2

解得：m4，n3

故選：B．

3．（2024·廣東深圳·中考真題）二十四節(jié)氣，它基本概括了一年中四季交替的準(zhǔn)確時間以及大自然中一些

物候等自然現(xiàn)象發(fā)生的規(guī)律，二十四個節(jié)氣分別為：春季（立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨），夏

季（立夏、小滿、芒種、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立

冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若從二十四個節(jié)氣中選一個節(jié)氣，則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為

（）

1111

A．B．C．D．

21264

【答案】D

【分析】本題考查了概率公式．根據(jù)概率公式直接得出答案．

【詳解】解：二十四個節(jié)氣中選一個節(jié)氣，抽到的節(jié)氣在夏季的有六個，

61

則抽到的節(jié)氣在夏季的概率為，

244

故選：D．

4．（2024·甘肅·中考真題）如圖1，“燕幾”即宴幾，是世界上最早的一套組合桌，由北宋進(jìn)士黃伯思設(shè)計．全

套“燕幾”一共有七張桌子，包括兩張長桌、兩張中桌和三張小桌，每張桌面的寬都相等．七張桌面分開可

組合成不同的圖形．如圖2給出了《燕幾圖》中名稱為“回文”的桌面拼合方式，若設(shè)每張桌面的寬為x尺，

長桌的長為y尺，則y與x的關(guān)系可以表示為（）

A．y3xB．y4xC．y=3x+1D．y4x1

【答案】B

【分析】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式，觀察可知，小桌的長是小桌寬的兩倍，則小桌的長是2x，再根據(jù)

長桌的長等于小桌的長加上2倍的小桌的寬列出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式即可．

【詳解】解：由題意可得，小桌的長是小桌寬的兩倍，則小桌的長是2x，

∴yxx2x4x，

故選：B．

5．（2024·甘肅·中考真題）敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術(shù)瑰寶，其中敦煌《算經(jīng)》中出現(xiàn)的《田積

表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準(zhǔn)確地查出邊長10步到60步的

矩形田地面積，極大地提高了農(nóng)田面積的測量效率．如圖2是復(fù)原的部分《田積表》，表中對田地的長和

寬都用步來表示，A區(qū)域表示的是長15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數(shù)對記為15,16，那么有

序數(shù)對記為12,17對應(yīng)的田地面積為（）

A．一畝八十步B．一畝二十步C．半畝七十八步D．半畝八十四步

【答案】D

【分析】根據(jù)15,16可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，解答即可．

本題考查了坐標(biāo)與位置的應(yīng)用，熟練掌握坐標(biāo)與位置的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

【詳解】根據(jù)15,16可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，

故12,17對應(yīng)的是半畝八十四步，

故選D．

二、填空題

6．（2024·甘肅·中考真題）定義一種新運算*，規(guī)定運算法則為：m*nmnmn（m，n均為整數(shù)，且m0）．例：

2*323232，則(2)*2．

【答案】8

2

【分析】根據(jù)定義，得(2)*22228，解得即可．

本題考查了新定義計算，正確理解定義的運算法則是解題的關(guān)鍵．

2

【詳解】根據(jù)定義，得(2)*22228，

故答案為：8．

7．（2024·四川廣元·中考真題）2023年10月諾貝爾物理學(xué)獎授予三位“追光”科學(xué)家，以表彰他們“為研究

物質(zhì)中的電子動力學(xué)而產(chǎn)生阿秒光脈沖的實驗方法”．什么是阿秒？1阿秒是1018秒，也就是十億分之一秒

的十億分之一．目前世界上最短的單個阿秒光學(xué)脈沖是43阿秒．將43阿秒用科學(xué)記數(shù)法表示為秒．

【答案】4.31017

【分析】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a10n，解題的關(guān)鍵是熟知1a10．根

據(jù)題意可知，43阿秒431018秒，再根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法表示出來即可．

【詳解】解：根據(jù)題意1阿秒是1018秒可知，

43阿秒4310184.31017秒，

故答案為：4.31017．

8．（2024·甘肅·中考真題）甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術(shù)，是第一批國家級非物質(zhì)文化

遺產(chǎn)．如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設(shè)計圖如圖2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同

的圓心O，且圓心角O100，若OA120cm，OB60cm，則陰影部分的面積是cm2．（結(jié)果

用π表示）

【答案】3000

【分析】根據(jù)扇形面積公式計算即可．本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．

【詳解】∵圓心角O100，OA120cm，OB60cm，

1001202100602

∴陰影部分的面積是

360360

3000cm2

故答案為：3000．

9．（2024·四川瀘州·中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個圖形先向上平移aa0個單位，再

繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度，這樣的圖形運動叫做圖形的a,變換．如：點A2,0按照1,90變

換后得到點A的坐標(biāo)為(-1,2)，則點B3,1按照2,105變換后得到點B的坐標(biāo)為．

【答案】2,2

【分析】本題考查了解直角三角形，坐標(biāo)與圖形．根據(jù)題意，點B3,1向上平移2個單位，得到點C3,1，

再根據(jù)題意將點C3,1繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)105，得到OBOC2，BOD45，據(jù)此求解即

可．

【詳解】解：根據(jù)題意，點B3,1向上平移2個單位，得到點C3,1，

∴CE1，OE3，

2CE1

∴OC1232，sinCOE，

OC2

∴COE30，

根據(jù)題意，將點C3,1繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)105，

∴BOE10530135，

作BDx軸于點D，

∴OBOC2，BOD18013545，

∴BDODOBsin452，

∴點B的坐標(biāo)為2,2，

故答案為：2,2．

10．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）對于實數(shù)a，b定義運算“※”為a※ba3b，例如5※253211，

則關(guān)于x的不等式x※m2有且只有一個正整數(shù)解時，m的取值范圍是．

1

【答案】0m

3

【分析】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，解一元一次不等式組，根據(jù)新定義和正整數(shù)解列出關(guān)于m

的不等式組是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義列出不等式，解關(guān)于x的不等式，再由不等式的解集有且只有一個

正整數(shù)解得出關(guān)于m的不等式組求解可得．

【詳解】解：根據(jù)題意可知，x※mx3m2

解得：x23m

x※m2有且只有一個正整數(shù)解

23m1①

23m2②

1

解不等式①，得：m

3

解不等式②，得：m0

1

0m

3

1

故答案為：0m．

3

11．（2024·湖北武漢·中考真題）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點，享有“天下江山第一樓”的美譽(yù)．在一次

綜合實踐活動中，某數(shù)學(xué)小組用無人機(jī)測量黃鶴樓AB的高度，具體過程如下：如圖，將無人機(jī)垂直上升

至距水平地面102m的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為45，底端B的俯角為63，則測得黃鶴樓的高度

是m．（參考數(shù)據(jù)：tan632）

【答案】51

【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵．延長BA交距水平地面

102m的水平線于點D，根據(jù)tan632，求出DCAD51m，即可求解．

【詳解】解：延長BA交距水平地面102m的水平線于點D，如圖，

由題可知，BD102m，

設(shè)ADx，

∵DCA45

∴DCADx

BD102

∴tan632

DCx

∴DCAD51m

∴ABBDAD1025151m

故答案為：51．

12．（2024·山東泰安·中考真題）某學(xué)校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動．小明和

小穎去學(xué)校圖書室借閱書籍，小明準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機(jī)選擇一本，小潁準(zhǔn)備

從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機(jī)選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率

是．

【答案】2

9

【分析】本題主要考查列表法與樹狀圖法、概率公式等知識，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是

解答本題的關(guān)鍵．

先列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小明和小穎恰好選中書名相同的書的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計算

即可．

【詳解】解：將《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》、《朝花夕拾》分別記為A，B，C，D，

列表如下：

ABD

A（A，A）（A，B）（A，D）

B（B，A）（B，B）（B，D）

C（C，A）（C，B）（C，D）

共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小穎恰好選中書名相同的書的結(jié)果有2種，

∴小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率為2．

9

故答案為：2．

9

13．（2024·湖南長沙·中考真題）為慶祝中國改革開放46周年，某中學(xué)舉辦了一場精彩紛呈的慶?；顒樱?/p>

現(xiàn)場參與者均為在校中學(xué)生，其中有一個活動項目是“選數(shù)字猜出生年份”，該活動項目主持人要求參與者

從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字中任取一個數(shù)字，先乘以10，再加上4.6，將此時的運算結(jié)果

再乘以10，然后加上1978，最后減去參與者的出生年份（注：出生年份是一個四位數(shù)，比如2010年對應(yīng)

的四位數(shù)是2010），得到最終的運算結(jié)果．只要參與者報出最終的運算結(jié)果，主持人立馬就知道參與者的

出生年份．若某位參與者報出的最終的運算結(jié)果是915，則這位參與者的出生年份是．

【答案】2009

【分析】本題考查二元一次方程的解，理解題意是解答的關(guān)鍵．設(shè)這位參與者的出生年份是x，從九個數(shù)

字中任取一個數(shù)字為a，根據(jù)題意列二元一次方程，整理得x100a1109，根據(jù)a的取值得到x的9種

可能，結(jié)合實際即可求解．

【詳解】解：設(shè)這位參與者的出生年份是x，從九個數(shù)字中任取一個數(shù)字為a，

根據(jù)題意，得10a4.6101978x915，

整理，得100a461978x915

∴x100a1109，

∵a是從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字中任取一個數(shù)字，

∴x的值可能為1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，

∵是為慶祝中國改革開放46周年，且參與者均為在校中學(xué)生，

∴x只能是2009，

故答案為：2009．

14．（2024·上海·中考真題）對于一個二次函數(shù)ya(xm)2k（a0）中存在一點Px,y，使得

11

xmyk0，則稱2xm為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線yx2x3“開口大小”

23

為．

【答案】4

【分析】本題考查新定義運算與二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)性質(zhì)、分式化簡求值等知識，讀懂題意，理

11

解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)將一般式化為頂點式得到1，按照定義

2x

3

求解即可得到答案，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、理解新定義是解決問題的關(guān)鍵．

【詳解】解：根據(jù)拋物線的“開口大小”的定義可知yka(xm)2中存在一點Px,y，使得

yk1

xmyk0，則a，

(xm)2xm

11

yx2x3

23

122

xx3

23

12211

xx3

2399

12211

xx3

23918

2

1155

x，

2318

11

12111

yxx3中存在一點Px,y，有21，解得x2，則2x4，

23x33

3

11

拋物線yx2x3“開口大小”為4，

23

故答案為：4．

15．（2024·重慶·中考真題）一個各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)Mabcd，若滿足adbc9，則稱這

個四位數(shù)為“友誼數(shù)”．例如：四位數(shù)1278，∵18279，∴1278是“友誼數(shù)”．若abcd是一個“友誼

M

數(shù)”，且bacb1，則這個數(shù)為；若Mabcd是一個“友誼數(shù)”，設(shè)FM，且

9

FMabcd

是整數(shù)，則滿足條件的M的最大值是．

13

【答案】34566273

【分析】本題主要考查了新定義，根據(jù)新定義得到adbc9，再由bacb1可求出a、b、c、d

FMabcd3ab6

的值，進(jìn)而可得答案；先求出M999a90b99，進(jìn)而得到9a8，根據(jù)

1313

FMabcd3ab63ab6

是整數(shù)，得到9a8是整數(shù)，即是整數(shù)，則3ab6是13的倍數(shù)，

131313

求出a8，再按照a從大到小的范圍討論求解即可．

【詳解】解：∵abcd是一個“友誼數(shù)”，

∴adbc9，

又∵bacb1，

∴b4，c5，

∴a3，d6，

∴這個數(shù)為3456；

∵M(jìn)abcd是一個“友誼數(shù)”，

∴M1000a100b10cd

1000a100b109b9a

999a90b99，

M

∴FM111a10b11，

9

∴FMabcd

13

111a10b1110ab10cd

13

111a10b1110ab109b9a

13

120ab110

13

117a3ab1046

13

3ab6

9a8，

13

∵FMabcd是整數(shù)，

13

3ab63ab6

∴9a8是整數(shù)，即是整數(shù)，

1313

∴3ab6是13的倍數(shù)，

∵a、b、c、d都是不為0的正整數(shù)，且adbc9，

∴a8，

∴當(dāng)a8時，313ab638，此時不滿足3ab6是13的倍數(shù)，不符合題意；

當(dāng)a7時，283ab635，此時不滿足3ab6是13的倍數(shù)，不符合題意；

當(dāng)a6時，253ab632，此時可以滿足3ab6是13的倍數(shù)，即此時b2，則此時d3，c7，

∵要使M最大，則一定要滿足a最大，

∴滿足題意的M的最大值即為6273；

故答案為：3456；6273．

16．（2024·重慶·中考真題）我們規(guī)定：若一個正整數(shù)A能寫成m2n，其中m與n都是兩位數(shù)，且m與n的

十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為8，則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成m2n的過程，稱為“方減分解”．例

如：因為60225223，25與23的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字5與3的和為8，所以602是“方減數(shù)”，602分

解成60225223的過程就是“方減分解”．按照這個規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是．把一個“方減數(shù)”A進(jìn)

行“方減分解”，即Am2n，將m放在n的左邊組成一個新的四位數(shù)B，若B除以19余數(shù)為1，且2mnk2

（k為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)A為．

【答案】824564

【分析】本題考查了新定義，設(shè)m10ab，則n10a8b（1a9，0b8）根據(jù)最小的“方減數(shù)”

3a4b7

可得m10,n18，代入，即可求解；根據(jù)B除以19余數(shù)為1，且2mnk2（k為整數(shù)），得出

19

為整數(shù)，30ab8是完全平方數(shù)，在1a9，0b8，逐個檢驗計算，即可求解．

【詳解】①設(shè)m10ab，則n10a8b（1a9，0b8）

2

由題意得：m2n10ab10a8b，

∵1a9，“方減數(shù)”最小，

∴a1，

則m10b，n18b，

2

∴m2n10b18b10020bb218b82b221b，

則當(dāng)b0時，m2n最小，為82，

故答案為：82；

②設(shè)m10ab，則n10a8b（1a9，0b8）

∴B1000a100b10a8b1010a99b8

∵B除以19余數(shù)為1，

∴1010a99b7能被19整除

B13a4b7

∴53a5b為整數(shù)，

1919

又2mnk2（k為整數(shù)）

∴210ab10a8b30ab8是完全平方數(shù)，

∵1a9，0b8

∴30ab8最小為49，最大為256

即7k16

設(shè)3a4b719t，t為正整數(shù)，

則1t3

33

當(dāng)t1時，3a4b12，則b3a，則30ab830a3a8是完全平方數(shù)，又1a9，0b8，

44

無整數(shù)解，

313a313a

當(dāng)t2時，3a4b31，則b,則30ab830a8是完全平方數(shù)，又1a9，0b8，

44

無整數(shù)解，

503a503a

當(dāng)t3時，3a4b50，則b，則30ab830a8是完全平方數(shù)，

44

經(jīng)檢驗，當(dāng)a6,b8時，3a4b73648757193，30688196142，t3,k14，

∴m68,n60，

∴A682604564

故答案為：82，4564．

17．（2024·四川樂山·中考真題）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都小于或等于1的點叫做這個函數(shù)圖

象的“近軸點”．例如，點0,1是函數(shù)yx1圖象的“近軸點”．

（1）下列三個函數(shù)的圖象上存在“近軸點”的是（填序號）；

2

①yx3；②y；③yx22x1．

x

（2）若一次函數(shù)ymx3m圖象上存在“近軸點”，則m的取值范圍為．

11

【答案】③m0或0m

22

【分析】本題主要考查了新定義——“近軸點”．正確理解新定義，熟練掌握一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次

函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，是解決問題的關(guān)鍵．

（1）①yx3中，取xy1.5，不存在“近軸點”；

2

②y，由對稱性，取xy2，不存在“近軸點”；

x

2

③yx22x1x1，取x1時，y0，得到1,0是yx22x1的“近軸點”；

11

（2）ymx3mmx3圖象恒過點3,0，當(dāng)直線過1,1時，m，得到0m；當(dāng)直線過1,1

22

11

時，m，得到m0．

22

【詳解】（1）①yx3中，

x1.5時，y1.5，

不存在“近軸點”；

2

②y，

x

由對稱性，當(dāng)xy時，xy2，

不存在“近軸點”；

2

③yx22x1x1，

x1時，y0，

∴1,0是yx22x1的“近軸點”；

∴上面三個函數(shù)的圖象上存在“近軸點”的是③

故答案為：③；

（2）ymx3mmx3中，

x3時，y0，

∴圖象恒過點3,0，

當(dāng)直線過1,1時，1m13，

1

∴m，

2

1

∴0m；

2

當(dāng)直線過1,1時，1m13，

1

∴m，

2

1

∴m0；

2

11

∴m的取值范圍為m0或0m．

22

11

故答案為：m0或0m．

22

三、解答題

18．（2024·吉林·中考真題）吉林省以“綠水青山就是金山銀山，冰天雪地也是金山銀山”為指引，不斷加大

冰雪旅游的宣傳力度，推出各種優(yōu)惠活動，“小土豆”“小砂糖橘”等成為一道靚麗的風(fēng)景線，某滑雪場為吸

引游客，每天抽取一定數(shù)量的幸運游客，每名幸運游客可以從“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三個項目中隨機(jī)

抽取一個免費游玩．若三個項目被抽中的可能性相等，用畫樹狀圖或列表的方法，求幸運游客小明與小亮

恰好抽中同一個項目的概率．

1

【答案】

3

【分析】本題考查了用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或

兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．畫出樹狀圖，可知共有9種

等可能的結(jié)果數(shù)，小明與小亮恰好抽中同一個項目的結(jié)果數(shù)有3種，再由概率公式求解即可．

【詳解】解：將“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三個項目分別記為事件A、B、C，可畫樹狀圖為：

由樹狀圖可知共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，小明與小亮恰好抽中同一個項目的結(jié)果數(shù)有3種，

31

∴幸運游客小明與小亮恰好抽中同一個項目的概率P．

93

19．（2024·四川廣元·中考真題）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質(zhì)發(fā)生折射時，入射角的正

sin

弦值與折射角的正弦值的比值叫做介質(zhì)的“絕對折射率”，簡稱“折射率”．它表示光在介質(zhì)中傳播時，

sin

介質(zhì)對光作用的一種特征．

7

(1)若光從真空射入某介質(zhì)，入射角為，折射角為，且cos，30，求該介質(zhì)的折射率；

4

(2)現(xiàn)有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質(zhì)，如圖①所示，點A，B，C，D分別是長方體棱的中點，

若光線經(jīng)真空從矩形A1D1D2A2對角線交點O處射入，其折射光線恰好從點C處射出．如圖②，已知60，

CD10cm，求截面ABCD的面積．

3

【答案】(1)；

2

(2)1002cm2．

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識，

7

（1）根據(jù)cos，設(shè)b7x，則c4x，利用勾股定理求出a(4x)2(7x)23x，進(jìn)而可得

4

a3x3

sin，問題即可得解；

c4x4

3sinsin6033

（2）根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為，根據(jù)，可得sin，則有

2sinsin23

3

sinOCDsin，在Rt△ODC中，設(shè)OD3x，OC3x，問題隨之得解．

3

7

【詳解】（1）∵cos，

4

∴如圖，

設(shè)b7x，則c4x，由勾股定理得，a(4x)2(7x)23x，

a3x3

∴sin，

c4x4

又∵30，

1

∴sinsin30，

2

3

sin3

∴折射率為：4．

sin12

2

3

（2）根據(jù)折射率與（1）的材料相同，可得折射率為，

2

∵60，

sinsin603

∴，

sinsin2

3

∴sin．

3

∵四邊形ABCD是矩形，點O是AD中點，

∴AD2OD，DD=90°，

又∵OCD，

3

∴sinOCDsin，

3

在Rt△ODC中，設(shè)OD3x，OC3x，

由勾股定理得，CD(3x)2(3x)26x，

OD3x1

∴tan．

CD6x2

又∵CD10cm，

OD1

∴，

102

∴OD52cm，

∴AD102cm，

∴截面ABCD的面積為：102101002cm2．

20．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）綜合與實踐

順次連接任意一個四邊形的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中．點．四．邊．形．．?dāng)?shù)學(xué)

興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用．

以下從對角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個方面展開探究．

【探究一】

原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

如圖1，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是各邊的中點．

求證：中點四邊形EFGH是平行四邊形．

證明：∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，

∴EF、GH分別是ABC和ACD的中位線，

11

∴EFAC，GHAC（____①____）

22

∴EFGH．

同理可得：EHFG．

∴中點四邊形EFGH是平行四邊形．

結(jié)論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形．

（1）請你補(bǔ)全上述過程中的證明依據(jù)①________

【探究二】

原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

ACBD菱形

從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅰ：原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形．

（2）下面我們結(jié)合圖2來證明猜想Ⅰ，請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后．續(xù)．的證明過程．

【探究三】

原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

ACBD②________

（3）從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅱ：原四邊形對角線垂直時，中點四邊形是②________．

（4）下面我們結(jié)合圖3來證明猜想Ⅱ，請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后．續(xù)．的證明過程．

【歸納總結(jié)】

（5）請你根據(jù)上述探究過程，補(bǔ)全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對應(yīng)的圖形．

中點四邊形形狀

原四邊形對角線關(guān)系

③________④________

結(jié)論：原四邊形對角線③________時，中點四邊形是④________．

【答案】（1）①中位線定理

（2）證明見解析

（3）②矩形

（4）證明見解析

（5）補(bǔ)圖見解析；③ACBD且ACBD；④正方形

【分析】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性

質(zhì)等知識

（1）利用三角形中位線定理即可解決問題；

（2）根據(jù)三角形中位線定理，菱形判定定理即可解決問題；

（3）根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問題；

（4）根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問題；

（5）根據(jù)三角形中位線定理，正方形判定定理即可解決問題.

【詳解】（1）①證明依據(jù)是：中位線定理；

（2）證明：∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，

∴EF、GH分別是ABC和ACD的中位線，

11

∴EFAC，GHAC

22

∴EFGH．

同理可得：EHFG．

∵ACBD

∴EFGHEHFG

∴中點四邊形EFGH是菱形．

（3）②矩形；

故答案為：矩形

（4）證明∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，

∴EF、GH分別是ABC和ACD的中位線，

∴EF∥AC，GH∥AC，

∴EF∥GH．

同理可得：EH∥FG．

∵ACBD

∴AODAIH90，∠FEH∠AIH

∴AODEFGFEHEHG90

∴中點四邊形EFGH是矩形．

（5）證明：如圖4，∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，

∴EF、GH分別是ABC和ACD的中位線，

11

∴EFAC，GHAC

22

∴EFGH．

同理可得：EHFG．

∵ACBD

∴EFGHEHFG

∴中點四邊形EFGH是菱形．

∵ACBD

由（4）可知AODEFGFEHEHG90

∴菱形EFGH是正方形．

故答案為：③ACBD且ACBD；④正方形

21．（2024·湖北武漢·中考真題）16世紀(jì)中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火

箭第一級運行路徑形如拋物線，當(dāng)火箭運行一定水平距離時，自動引發(fā)火箭第二級，火箭第二級沿直線運

行．某科技小組運用信息技術(shù)模擬火箭運行過程．如圖，以發(fā)射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的

1

直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別得到拋物線yax2x和直線yxb．其中，當(dāng)火箭運行的

2

水平距離為9km時，自動引發(fā)火箭的第二級．

(1)若火箭第二級的引發(fā)點的高度為3.6km．

①直接寫出a，b的值；

②火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低1.35km，求這兩個位置之間的距離．

(2)直接寫出a滿足什么條件時，火箭落地點與發(fā)射點的水平距離超過15km．

1

【答案】(1)①a，b8.1；②8.4km

15

2

(2)a0

27

【分析】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

2

1211515

（1）①將9,3.6代入即可求解；②將yxx變?yōu)閥x，即可確定頂點坐標(biāo)，得出

151524

y2.4km，進(jìn)而求得當(dāng)y2.4km時，對應(yīng)的x的值，然后進(jìn)行比較再計算即可；

2

（2）若火箭落地點與發(fā)射點的水平距離為15km，求得a，即可求解．

27

【詳解】（1）解：①∵火箭第二級的引發(fā)點的高度為3.6km

1

∴拋物線yax2x和直線yxb均經(jīng)過點9,3.6

2

1

∴3.681a9，3.69b

2

1

解得a，b8.1．

15

11

②由①知，yx8.1，yx2x

215

2

1211515

∴yxxx

151524

15

∴最大值ykm

4

15

當(dāng)y1.352.4km時，

4

1

則x2x2.4

15

解得x112，x23

又∵x9時，y3.62.4

∴當(dāng)y2.4km時，

1

則x8.12.4

2

解得x11.4

11.438.4km

∴這兩個位置之間的距離8.4km．

（2）解：當(dāng)水平距離超過15km時，

火箭第二級的引發(fā)點為9,81a9，

1

將9,81a9，15,0代入yxb，得

2

11

81a99b，015b

22

2

解得b7.5，a

27

2

∴a0．

27

22．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）【實際情境】

手工課堂上，老師給每個制作小組發(fā)放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具．同學(xué)們認(rèn)真觀察后，組裝

了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘．

【模型建立】

（1）如圖1，從花折傘中抽象出“傘形圖”．AMAN，DMDN．求證：AMDAND．

【模型應(yīng)用】

（2）如圖2，AMC中，MAC的平分線AD交MC于點D．請你從以下兩個條件：

①AMD2C；②ACAMMD中選擇一個作為已知條件，另一個作為結(jié)論，并寫出結(jié)論成立的證明

過程．（注：只需選擇一種情況作答）

【拓展提升】

（3）如圖3，AC為O的直徑，ABBC，BAC的平分線AD交BC于點E，交O于點D，連接CD．求

證：AE2CD．

【答案】（1）見解析；（2）選擇②為條件，①為結(jié)論或選擇①為條件，②為結(jié)論；證明見解析；（3）見解

析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形

斜邊上的中線性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等：

（1）利用SSS證明△ADM≌△ADN，即可；

（2）選擇②為條件，①為結(jié)論：在AC取點N，使ANAM，連接DN，證明△ADM≌△ADN，可得DMDN，

AMDAND，再由ACAMMD，可得DNCN，從而得到CCDN，即可；選擇①為條件，

②為結(jié)論：在AC取點N，使ANAM，連接DN，證明△ADM≌△ADN，可得DMDN，AMDAND，

再由AMD2C，可得CCDN，從而得到DNCN，即可；

（3）連接BD，取AE的中點F，連接BF，根據(jù)圓周角定理可得BDCD，從而得到BCDCBD，再

由AC為O的直徑，可得AE2BF2AF，從而得到ABFBAF，然后根據(jù)ABBC，可得ABBC，

可證明△ABF≌△CBD，從而得到BFBDCD，即可．

【詳解】解：（1）在△ADM和△ADN中，

∵AMAN，DMDN，ADAD，

∴ADM≌ADNSSS，

∴AMDAND；

（2）解：選擇②為條件，①為結(jié)論

如圖，在AC取點N，使ANAM，連接DN，

∵AD平分MAC，

∴DAMDAN，

在△ADM和△ADN中，

∵AMAN，DAMDAN，ADAD，

∴ADM≌ADNSAS，

∴DMDN，AMDAND，

∵ACAMMD，ACANNC，

∴DMCN，

∴DNCN，

∴CCDN，

∴AMDANDCDNC2C；

選擇①為條件，②為結(jié)論

如圖，在AC取點N，使ANAM，連接DN，

∵AD平分MAC，

∴DAMDAN，

在△ADM和△ADN中，

∵AMAN，DAMDAN，ADAD，

∴ADM≌ADNSAS，

∴DMDN，AMDAND，

∵AMD2C，

∴AND2CCDNC，

∴CDNC，

∴DNCN，

∴DMCN，

∵ACANNC，

∴ACAMMD；

（3）如圖，連接BD，取AE的中點F，連接BF，

∵BAC的平分線AD，

∴DCBD，

∴BDCD，

∴BCDCBD，

∵AC為O的直徑，

∴ABC90，

∴AE2BF2AF，

∴ABFBAF，

∵BAFBCD，

∴ABFCBD，

∵ABBC，

∴ABBC，

∴△ABF≌△CBD，

∴BFBDCD，

∴AE2CD．

23．（2024·江蘇鹽城·中考真題）請根據(jù)以下素材，完成探究任務(wù)．

制定加工方案

◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風(fēng)”“雅”“正”三種樣式．

背景◆因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風(fēng)”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”

服裝件．

生產(chǎn)背11

◆要求全廠每天加工雅服裝至少件，正服裝總件數(shù)和風(fēng)服裝相等

景“”10“”“”.

背景每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為：

2①“風(fēng)”服裝：24元/件；

②“正”服裝：48元/件；

③“雅”服裝：當(dāng)每天加工10件時，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每

件獲利將減少2元．

現(xiàn)安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，列表如下：

服裝種類加工人數(shù)（人）每人每天加工量（件）平均每件獲利（元）

信息整理風(fēng)y224

雅x1

正148

任務(wù)

探尋變量關(guān)系求x、y之間的數(shù)量關(guān)系．

1

探究任任務(wù)

建立數(shù)學(xué)模型設(shè)該工廠每天的總利潤為w元，求w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．

務(wù)2

任務(wù)

擬定加工方案制定使每天總利潤最大的加工方案．

3

170

【答案】任務(wù)1：yx；任務(wù)2：w2x272x3360(x10)；任務(wù)3：安排19名工人加工“雅”

33

服裝，17名工人加工“風(fēng)”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可獲得最大利潤

【分析】題目主要考查一次函數(shù)及二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．

任務(wù)1：根據(jù)題意安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，得出加工“正”服裝的有70xy

人，然后利用“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等，得出關(guān)系式即可得出結(jié)果；

任務(wù)2：根據(jù)題意得：“雅”服裝每天獲利為：x1002x10，然后將2種服裝的獲利求和即可得出結(jié)

果；

任務(wù)3：根據(jù)任務(wù)2結(jié)果化為頂點式，然后結(jié)合題意，求解即可．

【詳解】解：任務(wù)1：根據(jù)題意安排70名工人加工一批夏季服裝，

∵安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，

∴加工“正”服裝的有70xy人，

∵“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等，

∴70xy12y，

170

整理得：yx；

33

任務(wù)2：根據(jù)題意得：“雅”服裝每天獲利為：x1002x10，

∴w2y2470xy48x1002x10，

整理得：w16x112032x22402x2120x

∴w2x272x3360(x10)

2

任務(wù)3：由任務(wù)2得w2x272x33602x184008，

∴當(dāng)x18時，獲得最大利潤，

17052

y18，

333

∴x18，

∵開口向下，

∴取x17或x19，

53

當(dāng)x17時，y，不符合題意；

3

51

當(dāng)x19時，y17，符合題意；

3

∴70xy34，

綜上：安排19名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風(fēng)”服裝，34名工